重难点培优03 指对同构问题（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦指对同构问题这一核心考点，涵盖积型、商型、和差型等7大题型，按知识精讲-题型深研-分层训练逻辑架构，通过考点梳理、通法指导、真题变式训练，帮助学生构建问题转化与函数单调性应用的分析框架。 讲义以同构法为核心方法，引导学生抽象函数模型培养数学思维，如积型同构例题中通过变形构造单调函数解决恒成立问题。设置巩固过关与创新提升分层练习，配合即时反馈，助力学生高效突破难点，为教师精准把控复习节奏提供实用教学资源。

重难点培优03 指对同构问题内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 题型深研·通法变式提能力 题型01 积型指对同构 题型02 商型指对同构 题型03 和差型指对同构 题型04 利用函数同构解决比较大小问题 题型05 同构法解决函数不等式恒成立问题 题型06 和零点有关的同构问题 题型07 导数中双变量同构问题 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 创新提升 知识精讲·重难聚焦讲技巧 同构法是一种解决等式或不等式问题的有效方法。其核心思路是对给定的等式或不等式进行变形，让等式或不等式的左右两边在结构与形式上达成完全一致，进而构造出一个函数。由于该函数具有单调性这一重要性质，我们可以借助函数的单调性来处理问题。同构法在处理含有指数和对数混合的等式或不等式问题时优势明显。通过同构法，能够将复杂的指数、对数混合问题转化为对函数单调性的研究，简化问题求解过程，帮助我们更高效地找到问题的答案，为解决此类数学问题提供了清晰且实用的思路与途径。 知识点1积型： 知识点2商型： 知识点3和差型： 题型深研·通法变式提能力 题型01 积型指对同构 【例1】若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设有， 当即时，不等式恒成立； 当即时，设，则， 故在上为增函数，而即 因为，故即在上恒成立， 而时，恒成立即恒成立， 故在上恒成立， 设，则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故，故， 故，故选B. 【变式1】 已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】可知， 设，则， 因为在上都是减函数，所以也是减函数， 当时，， 所以在上单调递减，可得 ， ，所以． 【变式2】已知，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法1：因为是上增函数， 则即为， 所以，. 令，则，当时，； 当时，. 所以在单调递减，在单调递增， 故，因此， 即的取值范围是，故选：B. 解法2：因为是上增函数， 则即为， 所以，. 令，则， 当时，；当时，. 故在单调递减，在单调递增， ，因此， 即的取值范围是，故选：B. 【变式3】对，恒有，则实数a的最小值为 . 【答案】 【详解】令，则， 令，有 当时,，当时,，即在上单调递减，在上单调递增， ，因此，在单调递增， 则 令，则， 当时,，当时, 于是得函数在上单调递增，在上单调递减，则当时,，即得 所以实数a的最小值为 题型02 商型指对同构 【例2】已知函数f(x)=aexln x,g(x)=x2+xln a,a>0.设函数h(x)=g(x)-f(x),若h(x)>0对任意的x∈(0,1)恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.  【答案】 【解析】由h(x)>0,得g(x)-f(x)>0, 得aexln x<x2+xln a, 所以<+=, 即>对任意x∈(0,1)恒成立. 设H(x)=,则H′(x)=. 当x∈(0,e)时,H′(x)>0,H(x)单调递增; 当x∈(e,+∞)时,H′(x)<0,H(x)单调递减, 且当x∈(1,+∞)时,H(x)>0; 当x∈(0,1)时,H(x)<0, 若aex≥1>x,则H(aex)≥H(1)=0>H(x), 若0<aex<1,因为H(aex)>H(x), 且H(x)在(0,1)上单调递增,则可得aex>x. 综上可知,aex>x对任意x∈(0,1)恒成立, 即a>对任意x∈(0,1)恒成立. 设G(x)=,x∈(0,1),则G′(x)=>0, 所以G(x)在(0,1)上单调递增, 则G(x)<G(1)=, 所以a≥,即实数a的取值范围为. 【变式1】已知函数f(x)=,若不等式f(x)≥对x∈(0,e]恒成立,求a的取值范围. 【解析】因为≥, 设函数g(x)=,x∈(0,e], 则≥等价于g(eax)≥g(x). ∵g′(x)=, ∴当x∈(0,e]时,g′(x)>0, 则g(x)在(0,e]上单调递增, ∴当x∈(0,e]时,g(eax)≥g(x)等价于eax≥x, 即a≥恒成立. 设函数h(x)=,x∈(0,e], 则h′(x)=≥0, 即h(x)在(0,e]上单调递增, ∴h(x)max=h(e)=,则a≥即可, ∴a的取值范围为. 【变式2】已知函数的图象在处的切线经过点. (1)求的值及函数的单调区间； (2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围. 【解】（1）函数的定义域是， . 所以在点处的切线方程为， 切线经过点，则. ，设， 是的极小值点，且， 因此在恒成立， 所以函数的单调增区间为，无单调减区间. （2）在区间上恒成立，即， 令，则，即. 由（1），只需要，也就是在区间上恒成立. 设，. ， 故是的最大值， 所求的取值范围是. 题型03 和差型指对同构 【例3】已知，若对任意的恒成立，则实数a的最小值为（    ） A．e B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，而，则， 设，则原不等式等价于，又， 即在上单调递增，于是得对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 设，求导得，当时，，当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减，则， 所以实数a的最小值为，故选B 【变式1】已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，由可得，即函数的定义域为， 可得， 即， 构造函数，其中，则，故函数在上单调递增， 所以，可得，则， 即，其中，令，其中， 则，当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，解得. 综上，，故选A. 【变式2】若函数存在零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，令，则， 令， 因为函数，均在上单调递增，所以在上单调递增， 所以由，得，即， 令，，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，当时，， 所以，解得，即的取值范围为, 故选：A. 【变式3】已知函数. （1）若曲线在处的切线方程为，求实数，的值； （2）若，求实数的取值范围. 【解】（1）由题意，，，， 则曲线在处的切线斜率，， 故曲线在处的切线方程为：， 结合题意从而有，，，所以. 所以，． （2）因为，即， 即， 构造函数，问题转化为 注意到函数在其定义域内为增函数， 故，即，所以. 设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取极大值，即为最大值，所以的最大值为， 所以，则，故实数的取值范围为，. 题型04 利用函数同构解决比较大小问题 【例4】若(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法一：对于A、B，由， 可得，令，则， 因为在R上是增函数，所以，故A正确，B错误； 对于C，取，符合，但，故C错误； 对于D，取，符合，但，故D错误. 方法二：对于A、B由，可得，令，则， 因为在上是增函数，所以，即， 对于C，取，符合，但，故C错误； 对于D，取，符合，但，故D错误. 故选：A. 【变式1】（2026·河南·模拟预测）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，，当时，恒成立， 所以在上是增函数， 原不等式变形为，即，所以． 故选：B． 【变式2】（2026·陕西榆林·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 令，其中， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，即，故，则， 所以，，则，A错B对； 无法确定与的大小，故与的大小无法确定，CD都错. 故选：B. 题型05 同构法解决函数不等式恒成立问题 【例5】（2026·贵州贵阳·二模）已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因对任意恒成立，即在上恒成立 变形得在上恒成立，即在上恒成立， 设，则有 ，由，可知函数在上单调递增， 故得，即在上恒成立， 设，则，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故在时取得极大值，也是最大值为， 故得，即实数a的最小值为. 【变式1】已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，e是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意知，即，构造函数， 可得，因为，所以， 所以在上单调递增， 则，两边同乘，即． 故选:B 【变式2】(多选)定义在上的函数满足恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】∵，∴， 而，即， 等价于， 构造函数，则， 即在上单调递减， ，，即， 化简得，故A选项正确，B选项错误； ，，即， 化简得，故C选项正确，D选项错误． 故选：AC． 【变式3】若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】设，则由可得（*）， 因，则，从而，， 由（*）可得， 设函数，则有， 因，当时，，即函数在上单调递增， 故可得，即，， 设函数，，则， 当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 即的最大值为，则. 所以的取值范围是． 题型06 和零点有关的同构问题 【例6】（2026·湖南郴州·模拟预测）已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若有两个零点，则有两个解， 等价于有两个解，因为，，所以， 令，原式等价于有两个解， 因为，则当时，所以在上单调递增， 所以有两个大于零的解. 解，可得，令， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，的图象如图： 所以当时，有两个交点，即有两个零点. 故选：A. 【变式1】已知函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 令，则， ，令，得，且， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 又，，所以函数仅有两个零点， 所以恰有4个零点，即方程和共有4个根， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 故和至多各一个根，不合题意； 当时，，令，得， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， ，且时，，时，， 要使方程和共有4个根，则， 即，解得， 综上，实数的取值范围为，故选C. 【变式2】已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若有两个零点，则有两个解， 等价于有两个解，因为，，所以， 令，原式等价于有两个解， 因为，则当时，所以在上单调递增， 所以有两个大于零的解. 解，可得，令， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，的图象如图： 所以当时，有两个交点，即有两个零点. 故选：A 题型07 导数中双变量同构问题 【例7】（2026·黑龙江绥化一模）已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 设，依题意，当时，恒成立， 故函数在上单调递减， 因，求导得， 则在上恒成立，即， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 故当时，， 故实数的取值范围为. 【变式1】（2026·四川内江·模拟预测）定义在上的函数，对都有，若（），则下列式子一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 得， 得， 得， 得函数在上单调递增， 由，得， 令，则， 即，当时，显然成立， 当时，两边取对数得，， 得，得， 令，得， 由，得，由，得， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得取大值为， 故，故选：C 【变式2】（2026·安徽宿州·期末）已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因为，所以 令函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，所以， 即.令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，，当时，， 且由题干可知，，即， 若，则恒成立， 当时，恒成立等价于当时，， 故时，恒成立，故. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值，所以； 综上所述，正实数的取值范围为.故A正确. 故选：A. 【变式3】（2026·山东枣庄二模）已知函数，若对任意两个不相等的正实数，，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若对任意两个不相等的正实数 都有恒成立,不妨设 所以，即， 令，则，所以函数在上单调递增， 则恒成立，即恒成立， 又函数，当时，等号成立， 所以， 所以实数的取值范围是． 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1.已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可令， 所以在上单调递增，则原不等式等价于， 由，解之得．故选B． 2.（2026·济南二模）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 构造函数，，则， 当时，；当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 由于，，且， 则，即，又，∴.故选A. 3.（2026·山东潍坊·三模）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 所以在上单调递减，因为， 所以不等式可变为，即， 所以，即，所以不等式的解集为，故选：D. 4.已知，不等式恒成立，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】 . 令，则易知在上单调递增，， 令，问题转化为求 在的最小值. 因为，当时，（当且仅当时取“”）. 所以在上单调递增，. 所以的最大值为，故选A 5.（2025江苏扬州中学模拟）若，则（ ） A．        B． C．        D． 【解析】对已知不等式变形可得：． 可得 令，． 易知函数与在上均为增函数， 所以函数在上为增函数． 即，根据函数在上为增函数，可得，则． 因为，所以，则，A错，B对． 无法确定与1的大小，故无法确定与0的大小，CD都错．故选B． 6.（2026湖南长沙模拟）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】因为，不等式成立， 即成立，即， 进而转化为恒成立， 构造函数，可得， 当，，单调递增， 则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立， 进而转化为恒成立， 设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当，函数取得最大值，最大值为， 所以，即实数m的取值范围是. 7.（2026·广东珠海二模）高不等式恒成立，则正数a的取值范围是________． 【解析】由， 当x＋lnx＋1≤0时，原不等式恒成立， 当x＋lnx＋1＞0时，， 由于，当且仅当x＋lnx＝1等号成立， 所以，故． 8.（2026·四川德阳·三模）已知，，，则把、、从小到大排列的顺序是 . 【答案】 【解析】设，则，时，，单调递减， 所以，即，， 设，则，时，，单调递减， 因此，即，， 综上，， 9.（2026·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围 【答案】D 【解析】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，① 因为函数为偶函数，则，② 联立①②可得， 令，则，且不恒为零， 所以，函数在上为减函数，即函数在上为减函数， 故当时，，所以，函数在上为减函数， 由可得， 所以，，整理可得，解得或 实数a的取值范围是 10．（2025·山东泰安一模）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，，求实数a的取值范围. 【解】（1）. 当时，， 所以在单调递增. 当时，令，可得； 令，可得， 所以在单调递增，在单调递减. 综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减. （2）因为当时，，所以， 即， 即， 即. 令，则有对恒成立. 因为，所以在单调递增，           故只需， 即对恒成立. 令， 则， 令，得. 当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以. 因此，所以. 11．（2026·江西赣州二模）已知函数. (1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若a＝e，证明：当x>0时，. 【解】（1）由题意知，. 因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当x>0时，，即恒成立． 令（），则，时，，时，， g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则g(x)max＝g(1)＝1， 所以，即. 故实数a的取值范围是；. （2）证明：若a＝e，要证， 只需证，即. 令（x>0），则， 易知h(x)在上单调递减，在上单调递增，则， 所以. 再令（），则，时，，时，， 易知φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 则，所以. 因为h(x)与φ(x)不同时为0，所以，故原不等式成立． 创新提升 12．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设，若对恒成立，求的取值范围． 【解】（1）因为，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）要证，即证． 又，即证． 设，， 所以在上单调递增． 所以．所以 （3）因为，所以当时，且，即，所以在上是增函数， 因为，， 若对恒成立，则， 设，， ①时，显然，所以在单调递增， 当时，，所以对任意有，即，所以符合题意． ②当时，显然，． ↘ 极小值 ↗ 由上表知，． 依题意，所以． 综上可知的取值范围为． 13．（2026·海南三亚·一模）已知函数（），． (1)讨论函数的单调性； (2)若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值； (3)当时，证明：对任意的，恒成立． 【解】（1）因为， 所以， 当时，，在上单调递增； 当时，令，得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增；在上单调递减； （2）因为， 所以，， 所以， 所以切线的方程为， 设直线：与函数相切于点， 因为， 所以且， 解得， 所以； （3）证明：当时，， 要证明对任意的，恒成立， 即证明，即， 令，则， 令，得， 所以当时，单调递减；当时，单调递增； 所以， 所以，即， 令， 则有， 又因为， 所以， 所以对任意的，恒成立． 14．（24-25高三上·云南昆明·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：且） (3)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 【解】（1）的定义域为，所以， 当时，，在上单调递增， 当时，令，得， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在上单调递减， 综上可得，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在区间上单调递减； （2）当时，， 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 故，即在上恒成立， 所以当时，， 令且，则， 即，，…，， 所以累加得， 故当且时，. （3）由题对任意，都有恒成立， 即在上恒成立， 令，，即在上恒成立， ①当时，由于， 则有， 令，所以， 令，得， 所以当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 所以当时，， 令，则，令，所以， 令，得， 所以当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以当时，， 即在上恒成立，符合题意， ②当时，由于在上单调递增且，， 故存在唯一，使得，即，即，即， 此时这与在上恒成立不符， 综上，实数得到取值范围是 15.已知函数. (1)若，求的极值； (2)，若函数有两个零点，且，求证：. 【解】（1）当时，定义域为， 求导得， 令， 求导得，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得极大值，无极小值， 所以的极大值为，无极小值. （2）依题意，，，因为函数有两个零点，且， 而，则， 因此函数的两个零点分别是直线与函数图象的两个交点横坐标， ，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 而，时，恒有，时，，于是，即， 令，显然有， 则有，令， 求导得，即函数在上单调递增，， 即有，从而，又，所以. 16．（2026·福建宁德·二模）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)若恒成立，求的取值范围. 【解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，由，得或， ①当时，由，得或，由，得， 函数在和上单调递增，在上单调递减； ②当时，由，得或，由，得， 函数在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，由，得，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； ④当时，由，则函数在上单调递增. 所以当时，函数的单调增区间为，减区间为； 当时，函数的单调增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调增区间为，无减区间； 当时，函数的单调增区间为和，减区间为. （3）当时，不等式转化为， 令函数，求导得， 令（），求导得，函数在上单调递减， 且，，则函数在内存在唯一的零点， 当时，，，在上单调递减， 当时，，，在上单调递增， 则，又，即， 则，即， 所以，即实数的取值范围为. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优03 指对同构问题内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 题型深研·通法变式提能力 题型01 积型指对同构 题型02 商型指对同构 题型03 和差型指对同构 题型04 利用函数同构解决比较大小问题 题型05 同构法解决函数不等式恒成立问题 题型06 和零点有关的同构问题 题型07 导数中双变量同构问题 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 创新提升 知识精讲·重难聚焦讲技巧 同构法是一种解决等式或不等式问题的有效方法。其核心思路是对给定的等式或不等式进行变形，让等式或不等式的左右两边在结构与形式上达成完全一致，进而构造出一个函数。由于该函数具有单调性这一重要性质，我们可以借助函数的单调性来处理问题。同构法在处理含有指数和对数混合的等式或不等式问题时优势明显。通过同构法，能够将复杂的指数、对数混合问题转化为对函数单调性的研究，简化问题求解过程，帮助我们更高效地找到问题的答案，为解决此类数学问题提供了清晰且实用的思路与途径。 知识点1积型： 知识点2商型： 知识点3和差型： 题型深研·通法变式提能力 题型01 积型指对同构 【例1】若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【变式1】 已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】对，恒有，则实数a的最小值为 . 题型02 商型指对同构 【例2】已知函数f(x)=aexln x,g(x)=x2+xln a,a>0.设函数h(x)=g(x)-f(x),若h(x)>0对任意的x∈(0,1)恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.  【变式1】已知函数f(x)=,若不等式f(x)≥对x∈(0,e]恒成立,求a的取值范围. 【变式2】已知函数的图象在处的切线经过点. (1)求的值及函数的单调区间； (2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围. 题型03 和差型指对同构 【例3】已知，若对任意的恒成立，则实数a的最小值为（    ） A．e B． C． D． 【变式1】已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式2】若函数存在零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数. （1）若曲线在处的切线方程为，求实数，的值； （2）若，求实数的取值范围. 题型04 利用函数同构解决比较大小问题 【例4】若(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·河南·模拟预测）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西榆林·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 题型05 同构法解决函数不等式恒成立问题 【例5】（2026·贵州贵阳·二模）已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，e是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】(多选)定义在上的函数满足恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是_____. 题型06 和零点有关的同构问题 【例6】（2026·湖南郴州·模拟预测）已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型07 导数中双变量同构问题 【例7】（2026·黑龙江绥化一模）已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·四川内江·模拟预测）定义在上的函数，对都有，若（），则下列式子一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽宿州·期末）已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·山东枣庄二模）已知函数，若对任意两个不相等的正实数，，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1.已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.（2026·济南二模）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3.（2026·山东潍坊·三模）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4.已知，不等式恒成立，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 5.（2025江苏扬州中学模拟）若，则（ ） A．        B． C．        D． 6.（2026湖南长沙模拟）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7.（2026·广东珠海二模）高不等式恒成立，则正数a的取值范围是________． 8.（2026·四川德阳·三模）已知，，，则把、、从小到大排列的顺序是 . 9.（2026·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围 10．（2025·山东泰安一模）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，，求实数a的取值范围. 11．（2026·江西赣州二模）已知函数. (1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若a＝e，证明：当x>0时，. 创新提升 12．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设，若对恒成立，求的取值范围． 13．（2026·海南三亚·一模）已知函数（），． (1)讨论函数的单调性； (2)若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值； (3)当时，证明：对任意的，恒成立． 14．（24-25高三上·云南昆明·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：且） (3)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 15.已知函数. (1)若，求的极值； (2)，若函数有两个零点，且，求证：. 16．（2026·福建宁德·二模）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)若恒成立，求的取值范围. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $