2025-2026学年高一下学期直线与平面，平面与平面的性质定理复习

该高中数学课件系统梳理了直线与平面、平面与平面垂直的性质定理，通过“定理表述-例题解析-练习巩固-学霸笔记”的结构，将线面垂直性质（垂直同一平面的两直线平行）和面面垂直性质（平面内垂直交线的直线垂直另一平面）等核心内容串联，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“定理应用-逻辑推理-方法提炼”的复习策略，如例1正方体中利用线面垂直证平行，练习3菱形中结合面面垂直证线面垂直，培养学生空间观念和推理能力。分层练习设计让不同水平学生巩固知识，教师可借助资料精准把握复习重点，提升教学效率。

有关直线与平面、平面与平面垂直 的性质定理复习 4.直线与平面垂直的性质 一、线面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行. (若a⊥α，b⊥α，则a//b) [例1]正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC上一点，N是A1C的中点， MN⊥平面A1DC，求证：MN//AD1. 解： 又MN⊥平面A1DC 所以MN//AD1. 垂直于同一条直线的两条直线平行？ 练习1 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 返回导航 3 证明：∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB. 又AB∥CD，∴AE⊥CD. ∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. ∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD. 又MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN. 返回导航 4 学霸笔记：(1)在证明与垂直相关的平行问题时，可以考虑线面垂直的性质定理，利用已知的垂直关系构造线面垂直，关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面． (2)注意线面垂直性质定理的推论的应用，利用平行关系转化为垂直关系，或将垂直关系转化为平行关系． 返回导航 5 二.面面垂直的性质定理 二、面面垂直的性质定理： 两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 若α⊥β，α∩β=m，则β内任意一条直线l与m有什么关系？相应的l与面α有什么位置关系？ ①l // m时， l // α; ②l⊥m时， l⊥α. α β m l α β m l ①符号： ②若α⊥β，直线l⊥β， lα， 则l //α. m a b l b ③若α⊥β，直线l //β， 则l与α的位置关系为_________________. m a b 平行、相交或在面内 4.面面垂直的性质定理 [例2]三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC， 则△ABC是______三角形. O 证明：取AB的中点O，连接PO. ∵PA＝PB，∴PO⊥AB. ∵面PAB⊥面ABC，面PAB∩面ABC＝AB， ∴PO⊥面ABC. ∵OC⊂面ABC，∴PO⊥OC. ∵PO为公共边，PA＝PB＝PC， ∴Rt△POC≌Rt△POA≌Rt△POB(HL)， ∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，且是AB的中点， ∴△ABC是直角三角形. 直角 4.面面垂直的性质定理 [P160-例10]如图，已知PA⊥面ABC，面PAB⊥面PBC， 求证：BC⊥面PAB. E P A B C E 证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E， 又∵面PAB⊥面PBC，面PAB∩面PBC=PB， AE⊂面PAB，∴AE⊥面PBC. ∵BC⊂面PBC，∴AE⊥BC. ∵PA⊥面ABC，BC⊂面ABC,∴PA⊥BC. 又∵PA∩AE=A，∴BC⊥面PAB. 练习2： 在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB. 返回导航 9 证明：如图所示，在平面PAB内作AD⊥PB于点D. ∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB， ∴AD⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC. ∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB. 又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB. 返回导航 10 学霸笔记：(1)若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件； ②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线． (2)在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直． 返回导航 11 练习3　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点．求证：BG⊥平面PAD. 返回导航 12 证明：由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD， ∴PG⊥平面ABCD，由BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG. 又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°， ∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD. 又AD∩PG＝G，AD，PG⊂平面PAD，∴BG⊥平面PAD. 返回导航 13 4.面面垂直的性质定理 [练习4]三棱台ABC－DEF中，面BCFE⊥面ABC，∠ACB＝90°， BE＝EF＝FC＝1，BC＝2. 求证：BF⊥平面ACFD. 证明：∵∠ACB＝90°，AC⊥BC； 又∵面BCFE⊥面ABC，面BCFE∩面ABC＝BC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥平面BCK. ∵BF⊂面BCFE，∴AC ⊥BF. 三棱台中，延长AD，BE，CF相交于一点P， ∵EF∥BC，EF＝1，BC＝2，∴E, F分别是PB, PC的中点， ∴PB＝PC＝PC＝2， ∴△PBC为等边三角形，且F为CP的中点，∴BF ⊥CF. P ∵CP∩AC=C，CK, AC⊂平面ACFD，∴BF⊥平面ACFD. $