第八章　立体几何初步 习题课　平面与平面垂直-课件-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦立体几何中平面与平面垂直，围绕二面角概念、面面垂直的判定与性质定理展开。通过回顾线面垂直等前置知识搭建学习支架，引导学生从已学内容自然过渡到新知探究。 其亮点在于通过多选题辨析、证明题推理及计算题应用，培养学生的逻辑推理与空间观念。采用转化与化归方法，结合要点归纳中的知识清单和常见误区，帮助学生系统掌握知识，教师可借此提升教学效率，促进学生数学思维与表达能力的发展。

第八章　立体几何初步 习题课　平面与平面垂直 【课标要求】 1.理解二面角、二面角的平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法,会求简单的二面角的平面角. 2.理解两个平面互相垂直的概念,并能用定义和判定定理证明相关的简单命题. 3.理解平面与平面垂直的性质定理,能用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　面面垂直的判定与性质定理 【例1】 (多选题)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是(　　 ) A.若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β B.若m∥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β C.若m⊥n,m∥α,n∥β,则α∥β D.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则a∥β ABD 解析 若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则显然α⊥β,A正确;若m∥n,m⊥α,则n⊥α,又n∥β,则平面β内存在直线c,使得c∥n,所以c⊥α,所以α⊥β,B正确;若m⊥n, m∥α,n∥β,则α,β可能相交,可能平行,C错误;若m∥n,m⊥α,则n⊥α,又n⊥β,易得a∥β,D正确. 变式训练1(多选题)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,点C是圆周上异于点A,B的任一点,则下列结论中正确的是(　　) A.PC⊥BC B.AC⊥平面PBC C.平面PAB⊥平面PBC D.平面PAC⊥平面PBC AD 解析 对于A,因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,PA⊥AC.因为直径所对的圆周角为直角,所以BC⊥AC.又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,从而PC⊥BC,故A正确;对于D,又因为BC⊂平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC,所以D正确;对于B,若AC⊥平面PBC,则AC⊥PC,显然不成立,故B错误;对于C,若平面PAB⊥平面PBC,又平面PBC⊥平面PAC,平面PAC∩平面PAB=PA,可得PA⊥平面PBC.又PA⊥平面ABC,且平面PBC∩平面ABC=BC,所以不成立,故C错误.故选AD. 探究点二　面面垂直的证明和性质定理 【例2】 如图,在空间四边形ABCD中,AB=BC,CD=DA,E,F,G分别是CD, DA,AC的中点,求证:平面BEF⊥平面BGD. 解 ∵AB=BC,G为AC中点,所以AC⊥BG, 又由CD=DA, 同理可证AC⊥DG, 又∵BG∩DG=G,BG,DG⊂平面BGD,AC⊄平面BGD, ∴AC⊥平面BGD. ∵E,F分别为CD,DA的中点,∴EF∥AC, ∴EF⊥平面BGD. 又∵EF⊂平面BEF,∴平面BEF⊥平面BGD. 变式训练2如图,在几何体ABCDEF中,矩形BDEF所在平面与平面ABCD互相垂直,且AB=BC=BF=1,AD=CD=,EF=2.求证:BC⊥平面CDE. 证明 在矩形BDEF中,DE⊥BD, 又平面BDEF⊥平面ABCD,平面ABCD∩平面BDEF=BD,DE⊄平面ABCD, 所以DE⊥平面ABCD, 又BC⊂平面ABCD,所以DE⊥BC, 在矩形BDEF中,BD=EF=2, 又BC=1,CD=,所以BD2=4=BC2+CD2, 所以BC⊥CD,又DE∩CD=D,DE,CD⊂平面CDE, 所以BC⊥平面CDE. 探究点三　夹角与长度问题 【例3】 过正方形ABCD的顶点A,作PA⊥平面ABCD,若PA=BA,则平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小是_____. 45° 解析 根据已知条件可将四棱锥补成正方体如图所示,连接CE,则平面CDP和平面CPE为同一个平面,所以平面ABP∩平面CDP=PE.因为DA⊥平面ABP,且AP⊥PE,所以∠DPA为平面ABP和平面CDP所成的锐二面角,大小为45°. 变式训练3如图,直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则CD的长为　　　　　.  解析 如图,连接BC,因为二面角α-l-β为直二面角,AC⊂α,且AC⊥l, 所以AC⊥β.又BC⊂β, 所以AC⊥BC,所以BC2=AB2-AC2=3. 因为BD⊥l,所以CD=. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)二面角及二面角的平面角. (2)平面与平面垂直的定义. (3)平面与平面垂直的判定定理、性质定理. 2.方法归纳:转化与化归. 3.常见误区: 面面垂直的性质定理漏条件. $