8.6.2直线与平面垂直（第3课时：直线与平面垂直的性质定理、直线与平面垂直关系的综合应用） 同步练习题-2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本同步练习通过“例题示范-基础巩固-能力提升”三层设计，以直线与平面垂直性质定理为核心，构建从单一概念到综合应用的知识巩固路径，培养几何直观与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|直线与平面垂直性质定理的综合应用|4道证明题，结合三棱锥、四棱锥模型，示范性质定理灵活应用，发展推理能力| |A组基础达标|性质定理辨析、线面垂直判定与性质直接应用|选择（6）、填空（2）、解答（2）题，覆盖定义辨析（单选1-5）、简单证明（解答11），融入生活情境（单选6海关大楼时钟）| |B组能力提升|线面垂直关系的动态探究与综合论证|含存在性问题（3题）、动点问题（4题），需空间想象与逻辑推理，提升创新意识|

8.6.2　直线与平面垂直 （第3课时：直线与平面垂直的性质定理、直线与平面垂直关系的综合应用） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】如图，是等边三角形，直线平面ABC，直线平面ABC，且，F是线段EB的中点．求证：平面ABC． 【例2】如图，在四棱锥－中，底面是矩形，平面，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：． 【例3】如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. (1)求证：平面； (2)在直线上是否存在点，使得？说明理由. 【例4】如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知.证明：； 【A组基础达标】 一、单选题 1．直线平面，，直线，则，的位置关系是（    ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 2．若，为空间中两条不同的直线，、为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 3．已知直线平面于点O，，，，，且．若平面，垂足为C，平面，垂足为D，，则（   ） A．2 B．1 C． D． 4．如图所示，已知是矩形，且平面，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，为异面直线，平面，平面.若直线满足，，，，则（    ） A．， B．与相交，且交线平行于 C．， D．与相交，且交线垂直于 6．如图，位于上海外滩的海关大楼上方的建筑体可以看成一个正四棱柱.这个正四棱柱的每个侧面上各有一个时钟，相邻侧面上的两个时钟的时针在每天的0点到12点（含0点不含12点）内一共能够相互垂直（   ）次.    A．0 B．2 C．4 D．12 二、多选题 7．直线和在正方体的两个不同平面内，则可以使成立的条件是（    ） A．和垂直于正方体的同一个面 B．和与正方体的同一个面平行 C．和平行于同一条棱 D．和与正方体的同一条棱垂直 8．下列命题中其中正确命题的为（    ） A．平行于同一直线的两个平面平行； B．平行于同一平面的两个平面平行； C．垂直于同一直线的两直线平行； D．垂直于同一平面的两直线平行． 三、填空题 9．在长方体中，点是平面内异于点的一点，平面，且平面，则与的位置关系是__________． 10．如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且，则________. 四、解答题 11．如图所示，四边形为菱形，平面，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，，，求直线与所成角的余弦值. 12．在多面体中，已知，且平面与平面均垂直于平面为的中点． 证明：． 【B组能力提升】 1．已知空间中四条直线，，，满足：，，，，，则直线与位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 2．如果直线和是空间中两条不相交的直线，则必定存在平面，使得（    ） A． B． C． D． 3．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面是的中点，分别在上，且．则与的位置关系为________． 4．如图，已知直四棱柱的底面是边长为4的正方形，点M为CG的中点，点P为底面上的动点，若存在唯一的点P满足，则________. 5．如图，在三棱台中，平面，为的中点，平面. (1)证明： . (2)求的长. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6.2　直线与平面垂直 （第3课时：直线与平面垂直的性质定理、直线与平面垂直关系的综合应用） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】如图，是等边三角形，直线平面ABC，直线平面ABC，且，F是线段EB的中点．求证：平面ABC． 【答案】证明见解析 【分析】取AB的中点M，先证四边形是平行四边形，则，再利用线面垂直的性质、线面平行的判定推理得证． 【详解】取AB的中点M，连接FM和CM， 在中，F是EB的中点，M是AB的中点，则且， 由平面，而平面，得， 所以，，因此四边形是平行四边形，， 而平面，平面，所以平面． 【例2】如图，在四棱锥－中，底面是矩形，平面，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理可证平面，平面，则可得． 【详解】∵平面，平面，∴， 又，∴， ∵，是的中点，∴， 又，，平面，∴平面， ∵，，∴， 又，，，平面， ∴平面，∴． 【例3】如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. (1)求证：平面； (2)在直线上是否存在点，使得？说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)当点与点重合时，，理由见解析 【分析】（1）由题意得，由线面平行的判定即可求证平面； （2）由题意可得平面，由线面垂直的性质可得，所以当点与点重合时，得证. 【详解】（1）因为底面为正方形，所以. 又平面平面， 所以平面. （2）在直线上存在点，使得，证明如下： 因为底面为正方形，所以， 因为平面，所以， 又平面，平面，，所以平面. 因为平面，所以. 所以当点与点重合时，. 【例4】如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知. 证明：； 【详解】因为底面，底面，所以. 又底面为矩形，所以， 又平面，且，所以平面. 又平面，所以. 【A组基础达标】 一、单选题 1．直线平面，，直线，则，的位置关系是（    ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 【答案】D 【详解】直线平面，，平面， ， 2．若，为空间中两条不同的直线，、为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】A选项，由线面垂直的性质可得A正确；B选项，由线面平行得到面面平行，进而由线面垂直得到面面垂直，推出B正确；C选项，先得到，又，则；D选项，可举出反例. 【详解】A：若，，则，故A正确； B：，存在平面，使得且， 因为，所以，故，故B正确； C：若，，则，又，则，故C正确； D：若，，则或与异面或与相交，故D错误 故选：D． 3．已知直线平面于点O，，，，，且．若平面，垂足为C，平面，垂足为D，，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据平面，平面得，结合相似三角形的性质即可求解. 【详解】如图，因为平面，平面，所以． 连接OD，所以． 因为，所以． 因为，所以． 故选：A． 4．如图所示，已知是矩形，且平面，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面，易得，结合可证平面可判断A，同理可证平面可判断B，若可得平面，结合平面，则矛盾可判断C，由平面，易得. 【详解】平面，平面，， 又是矩形，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，故A正确； 同理可得，可证平面，可得，故B正确； 又平面，所以，故D正确； 对于C，若，又，平面， 所以平面，又平面，所以与题目矛盾，故C错误. 故选：C. 5．已知，为异面直线，平面，平面.若直线满足，，，，则（    ） A．， B．与相交，且交线平行于 C．， D．与相交，且交线垂直于 【答案】B 【分析】假设得到矛盾，确定与相交，设，过直线一点，作， 设与确定的平面为，根据，得到答案. 【详解】若，则由平面，平面，可得，这与m，n是异面直线矛盾， 故与相交，A错误； 设，过直线一点，作， 设与确定的平面为. 因为，所以，又，与相交，，所以， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，，又与相交，，所以， 又因为，，所以l与a不重合，所以，B正确，D错误； 因为，，，所以，C错误. 故选：B. 6．如图，位于上海外滩的海关大楼上方的建筑体可以看成一个正四棱柱.这个正四棱柱的每个侧面上各有一个时钟，相邻侧面上的两个时钟的时针在每天的0点到12点（含0点不含12点）内一共能够相互垂直（   ）次.    A．0 B．2 C．4 D．12 【答案】B 【分析】根据面面垂直的性质定理，分析即可得答案. 【详解】因为正四棱柱相邻两侧面垂直， 所以当一个时钟的时针位于3点或9点位置时，时针垂直交线， 所以该时针垂直另一个侧面，则该时针垂直另一个时针，共有2次. 即，所以平面，则平面内任意一条直线. 假设其他位置时，两时针垂直，不妨设， 因为，平面，， 所以平面， 因为平面，所以，与条件矛盾，故假设不成立，    所以相邻侧面上的两个时钟的时针在每天的0点到12点（含0点不含12点）内一共能够相互垂直2次. 故选：B 二、多选题 7．直线和在正方体的两个不同平面内，则可以使成立的条件是（    ） A．和垂直于正方体的同一个面 B．和与正方体的同一个面平行 C．和平行于同一条棱 D．和与正方体的同一条棱垂直 【答案】AC 【分析】根据空间中的直线与直线，直线与平面的位置关系即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A，根据垂直于同一平面的两直线平行，可知A正确， 对于B，与同一平面平行的两直线可能平行，可能相交，可能异面，故B错误， 对于C，根据平行的传递性可知：平移于同一条的棱的两直线平行，故C正确， 对于D，与同一条直线垂直的两直线可能平行，可能相交，可能异面，故D错误， 故选：AC 8．下列命题中其中正确命题的为（    ） A．平行于同一直线的两个平面平行； B．平行于同一平面的两个平面平行； C．垂直于同一直线的两直线平行； D．垂直于同一平面的两直线平行． 【答案】BD 【分析】利用平面与平面的位置关系对A进行判断，利用面面平行的判定和面面平行的性质对B进行判断，利用空间中直线与直线的位置关系对C进行判断，利用线面垂直的性质对D进行判断，从而得结论 【详解】对于A，因为平行于同一直线的两个平面平行可能平行，也可能相交，所以A不正确； 对于B，设，，取直线且， 因为，所以在内存在，且 又因为，所以在内存在，且， 因此，又因为，，所以，同理可得， 而，，因此，所以B正确； 对于C，因为垂直于同一直线的两直线可能平行、相交或异面，所以C不正确； 对于D，由线面垂直的性质知：垂直于同一平面的两直线平行，所以D正确． 故选：BD 三、填空题 9．在长方体中，点是平面内异于点的一点，平面，且平面，则与的位置关系是__________． 【答案】平行 【分析】根据线面垂直的性质可得出结论. 【详解】如下图所示： 在长方体中，平面， 因为平面，所以，， 故答案为：平行. 10．如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且，则________. 【答案】6 【分析】根据题意结合线面垂直的性质分析求解. 【详解】∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，则AF//DE， 又∵，则四边形AFED为平行四边形， ∴. 故答案为：6. 四、解答题 11．如图所示，四边形为菱形，平面，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，，，求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，再结合证明平面，从而再由面面平行知识即可求解证明； （2）连接，由题意可得就是直线与所成角，从而可求解. 【详解】（1）由题意平面，平面，则， 又因为平面，平面，所以平面， 因为四边形为菱形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，，所以平面平面. （2）连接，由四边形为菱形，所以， 所以得就是直线与所成角，由，，， 则得， 又因为平面，平面，所以， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 12．在多面体中，已知，且平面与平面均垂直于平面为的中点． 证明：． 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，证明四边形为平行四边形即可得证. 【详解】如图，分别取的中点，连接， 因为，故， 又平面平面，且平面平面，平面， 因此平面，同理可知，平面， 又，所以， 因此且，故四边形为平行四边形， 所以， 又因为，所以． 【B组能力提升】 1．已知空间中四条直线，，，满足：，，，，，则直线与位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 【答案】B 【分析】分为相交垂直和异面垂直两种情况，结合平面的基本性质，线面垂直的判定和线面垂直的性质得. 【详解】若直线为相交垂直，故这两条直线确定一个平面，设为， 又因为直线满足，，，， 由线面垂直的判定定理得，，由线面垂直的性质定理得， 若直线为异面垂直，将两条直线平移到， 一定能让两条直线相交垂直，从而确定一个平面， 同上，可以得到， 综上，直线与位置关系为平行. 故选：B 2．如果直线和是空间中两条不相交的直线，则必定存在平面，使得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间两直线的位置关系逐项判断作答. 【详解】由直线和是空间中两条不相交的直线，知直线和可以是平行直线、可以是异面直线， 对于A，当直线和是异面直线时，不成立，A错误； 对于B，由，知，当直线和是异面直线时，不成立，B错误； 对于D，由，知，当直线和是平行直线时，不成立，D错误； 对于C，若，当时，； 当直线和是异面直线时，在直线上取点，过点作直线，显然直线确定一个平面，    令此平面为，有，则， 综上知，必定存在平面，使得，C正确. 故选：C 3．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面是的中点，分别在上，且．则与的位置关系为________． 【答案】 【详解】平面，平面， ，又， ． ，是的中点， ，，平面， 平面． ，， ． ，，平面， 平面． ． 4．如图，已知直四棱柱的底面是边长为4的正方形，点M为CG的中点，点P为底面上的动点，若存在唯一的点P满足，则________. 【答案】4 【分析】由球面的性质结合已知可得线段为直径的球与平面相切，取线段中点，在直角梯形中计算求解. 【详解】直四棱柱的底面是边长为4的正方形， 以线段为直径构造球，则点与球上任意一点（除外）均能构成直角， 因此该球与平面相切时存在唯一P点，使得， 取线段中点，连接，则平面，而平面， 于是，则，， 在直角梯形中，,，， 则，所以. 故答案为：4. 5．如图，在三棱台中，平面，为的中点，平面. (1)证明： . (2)求的长. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)； 【分析】（1）先证明，，再证明平面，即可求证； （2）先证明，再在中利用勾股定理即可求得； 【详解】（1）因平面，平面，则， 因平面，平面，则， 又为三棱台，则相交， 又平面，则平面， 又因平面，则. （2）连接， 因平面，平面，则， 因为的中点，则, 因，则， 因平面，平面，则， 则在中，可得. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $