1.3 矩形的性质与判定专项训练（七大题型）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦矩形性质的理解与应用，通过七类题型构建从基础概念到综合应用的递进训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形性质理解|3题|对比菱形与矩形性质，结合概率、对角线计算|从概念辨析到性质初步应用| |求角度|3题|结合对角线、角平分线、延长线等条件|性质与三角形内角和定理综合| |求线段长|3题|涉及垂直平分线、折叠、角平分线|性质与勾股定理、方程思想结合| |求面积|3题|利用对角线夹角、边长变化、折叠等|面积公式与性质的综合应用| |证明|3题|判定线段关系、角关系及特殊图形|性质与全等、等腰三角形推理| |坐标系中的坐标|3题|平移、垂直平分线、折叠与坐标计算|几何性质与坐标系知识融合| |折叠问题|3题|顶点折叠、中点折叠等情境|折叠性质与矩形性质的综合运用|

1.3 矩形的性质与判定 题型一 矩形性质理解 1．菱形具有且矩形不一定具有的性质是（     ） A．四条边都相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相平分 D．对称轴互相垂直 【答案】A 【分析】根据菱形和矩形的性质逐一判断选项即可求解． 【详解】解：、菱形的四条边都相等，矩形的四条边不一定都相等，该选项符合题意； 、矩形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角，该选项不符合题意； 、菱形和矩形的对角线都互相平分，该选项不符合题意； 、菱形和矩形的对称轴都互相垂直，该选项不符合题意． 2．如图是一块矩形飞镖游戏板，向游戏板随机投掷飞镖，飞镖扎在阴影区域内的概率为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了几何概率，以及矩形的性质，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．用阴影区域所占的面积除以总面积即可得出答案． 【详解】解：观察发现：由矩形的中心对称性得图中阴影部分面积， ∴针头扎在阴影区域内的概率为； 故答案为：． 3．如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，，求这个矩形对角线的长． 【答案】5 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OD，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质可得即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴（矩形的对角线相等）， （矩形的对角线互相平分）． ∴． ∴， ∴． 又∵（矩形的四个角都是直角）， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的内角和定理及直角三角形的性质，熟记矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键． 题型二 利用矩形的性质求角度 4．如图，四边形是矩形，对角线相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和性质，先由矩形的性质得，则，再结合过点作的垂线交于点，得出，最后进行角的运算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ∵过点作的垂线交于点， ， ， 故选：C． 5．如图，在矩形中，是对角线，点E在的延长线上，，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．连接，交于点，由矩形的性质得，从而得到，由等腰三角形性质得，再由三角形内角和定理求得，即可推出，再根据等边对角即可解答． 【详解】解：连接，交于点， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 6．如图，在矩形中，，相交于点，平分，交于点，若，求的度数．    【答案】 【分析】根据四边形是矩形及平分，可得，从而得出．又由可得，最后得出． 【详解】解：四边形是矩形，平分， ， ． 又， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 题型三 利用矩形的性质求线段长 7．如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点、，连接，则的长为（     ） ​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得出，，，根据垂直平分线的性质得出，设，则，在中，利用勾股定理列方程求出的值即可得出答案． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，， ∵对角线的垂直平分线分别交、于点、， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：，即的长为． 8．如图，在矩形中，点E在边上，且平分，若，，则_________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质推出，证明，结合为等腰直角三角形解题即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 解得． 9．如图，已知矩形中，，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为． (1)求证：； (2)求折痕的长． 【答案】(1)证明：四边形为矩形， ， ， 由折叠知， ， ； (2) 【分析】（1）由折叠知，由得，再得，得证； （2）设，则，由勾股定理得到方程，得到、的长，作于点G，再由勾股定理得出的长． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 由折叠知， ， ． （2）解：由折叠知， 四边形为矩形， ， 又， 设，则， 在中，， ， ，， 如图，过点E作于点G， ， 四边形为矩形， ，， 由（1）知， ， 在中，， ． 题型四 利用矩形的性质求面积 10．如图，矩形中，，两条对角线交于点O，且，则矩形的面积是（     ） A．16 B．18 C． D． 【答案】D 【分析】因为矩形对角线相等且互相平分，所以可得，结合，可判断为等边三角形，得到对角线长度．因为矩形内角为直角，所以在中，可利用勾股定理求出的长度．因为矩形面积为相邻两边长度的乘积，所以代入和的长度即可得到结果． 【详解】解：根据矩形性质得 ，． ， 是等边三角形， ， ． 由勾股定理得： ， 矩形面积 ． 11．如图，将矩形的长边增加宽边增加 得到一个面积为147的正方形．则原矩形的面积是____________． 【答案】 【分析】先根据正方形面积求出正方形边长，再用边长减去，分别求出矩形的长和宽，求出矩形面积． 【详解】正方形面积为147， 正方形边长为， ，， ． 12．已知：如图，矩形的对角线、相交于点，，交的延长线于点 (1)求证：； (2)若，求矩形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ； (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得，则可证明四边形是平行四边形，得到，据此可证明 ； （2）由矩形的性质得到，求出，则可证明是等边三角形，得到，，再由勾股定理得到，进而求得矩形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型五 利用矩形的性质证明 13．在凸四边形中，，，点在线段（不与端点重合）上，且，连接，．则下列结论错误的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，根据题意添加合适的辅助线是解题关键． A、证得，可推得，即可求解； B、通过题意进行等量代换即可求解； C、延长，作于点，证得四边形是矩形，结合直角三角形的斜边与两条直角边的关系即可求解； D、结合C选项和勾股定理即可求解． 【详解】解：A、根据题意，如图所示： 在和中， ， ， ， ， ， ， ，故A选项正确，但不符合题意； B、，， ， ， ， ，故B选项正确，但不符合题意； C、如图，延长，作于点， ， 四边形是矩形， ， 是的斜边， ， ， ，故C选项正确，但不符合题意； D、由C选项得：， 在中，， 无法判断和的大小，故D选项错误，但符合题意． 故选：D． 14．如图，在矩形中，，E为中点，连接交于点F，连接，下列结论：①；②；③．正确的有______． 【答案】①③#③① 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键．证明，推出，可得，判断①；过点F作于点G，设，则，证，推出，求出和，判断②；计算出，，判断③ 【详解】解：∵E为中点， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，①正确； 如图，过点F作于点G， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即，， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故③正确； 故答案为：①③ 15．如图，点E在矩形的边上，平分． (1)求证：； (2)过A作于F，连接，若平分，求的大小． 【答案】(1)证明：∵矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）先证明，结合，可得，进一步可得答案； （2）先证明，，可得，可得，进一步利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型六 求矩形在坐标系中的坐标 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，对角线，交于点，，．将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，得出矩形向左平移2个单位，即可求出结论． 【详解】解：在矩形中，，， ， ，即， ∵将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时， ∴点的对应点坐标，即矩形向左平移2个单位， ∴平移后点的对应点的坐标为． 17．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA 在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E，交AC于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形，则点 P的坐标为____． 【答案】，或 【分析】设AE=m，根据勾股定理求出m的值，得到点E（1，），设点P坐标为（0，y），根据勾股定理列出方程，即可得到答案． 【详解】∵对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E， ∴AE=CE， ∵OA=1，OC=2， ∴AB=OC=2，BC=OA=1， ∴设AE=m，则BE=2-m，CE=m， ∴在Rt∆BCE中，BE2+ BC2=CE2，即：（2-m）2+12=m2， 解得：m=， ∴E（1，）， 设点P坐标为（0，y）， ∵△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形， 当AP=AE，则(1-0)2+(0-y)2= (1-1)2+(0-)2，解得：y=， 当EP=AE，则(1-0)2+(-y)2= (1-1)2+(0-)2，解得：y=， ∴点 P的坐标为，，， 故答案是：，，． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的性质，垂直平分线的性质，掌握勾股定理，列出方程，是解题的关键． 18．如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以为边在第一象限内作矩形．        (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交AC于点，交于点D，折痕，求线段的长度和直线的解析式； (3)在第（2）的条件下，在坐标平面内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，或或 【分析】（1）根据直线与x轴、y轴分别交于点A、C，得到，，结合四边形是矩形，得到，继而得到． （2）根据，确定，折叠的性质，得到，利用勾股定理求解，确定点D的坐标，设直线解析式为，代入计算即可． （3）根据全等三角形的判定方法，分类证明，计算即可． 【详解】（1）∵直线与x轴、y轴分别交于点A、C， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． （2）∵，对折，使得点A与点C重合， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 故， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为． （3）存在，且或或．理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故当P与O重合时，满足条件，此时； 如图，过点B作,交的延长线于点P， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，符合题意， ∵, 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故点； 如图，设与交于点G， 则四边形是菱形， ∴，， 故, 点O作,交的延长线于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，符合题意， ∵, 故直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故点； ∴或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，待定系数法求解析式，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，待定系数法求解析式，平行线的性质，勾股定理是解题的关键． 题型七 矩形与折叠问题 19．如图，折叠矩形纸片的一边，使点D落在边上的点F处，已知，，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据图形翻折变换的性质得出，在中利用勾股定理求出的长，进而得出的长，设，则，，在中由勾股定理可求出x的值，同理在中利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：∵由翻折而成， ∴，，， ∴中， ， ∴， 设，则，， 在中， ，即，， 解得，即， 再在中， ． 20．如图，四边形是长方形，E是的中点，将折叠后得到，延长交于点F，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，根据矩形性质求出的长，由折叠性质可得，，，结合中点定义可得，利用证明，从而求出的长，进而得到的长，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ，， ， 四边形是长方形， ，， 由折叠的性质可知，， ，，， ， 是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：． 21．如图，将长方形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上．若，求的长． 【答案】8 【分析】根据矩形和折叠的性质可知，，，然后在中利用勾股定理建立方程解答即可． 【详解】解：∵将长方形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上，， ∴，，， 设，则， ∵在中，，即， 解得， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 矩形的性质与判定 题型一 矩形性质理解 1．菱形具有且矩形不一定具有的性质是（     ） A．四条边都相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相平分 D．对称轴互相垂直 2．如图是一块矩形飞镖游戏板，向游戏板随机投掷飞镖，飞镖扎在阴影区域内的概率为________． 3．如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，，求这个矩形对角线的长． 题型二 利用矩形的性质求角度 4．如图，四边形是矩形，对角线相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，是对角线，点E在的延长线上，，，则__________． 6．如图，在矩形中，，相交于点，平分，交于点，若，求的度数．    题型三 利用矩形的性质求线段长 7．如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点、，连接，则的长为（     ） ​ A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，点E在边上，且平分，若，，则_________． 9．如图，已知矩形中，，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为． (1)求证：； (2)求折痕的长． 题型四 利用矩形的性质求面积 10．如图，矩形中，，两条对角线交于点O，且，则矩形的面积是（     ） A．16 B．18 C． D． 11．如图，将矩形的长边增加宽边增加 得到一个面积为147的正方形．则原矩形的面积是____________． 12．已知：如图，矩形的对角线、相交于点，，交的延长线于点 (1)求证：； (2)若，求矩形的面积． 题型五 利用矩形的性质证明 13．在凸四边形中，，，点在线段（不与端点重合）上，且，连接，．则下列结论错误的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则 14．如图，在矩形中，，E为中点，连接交于点F，连接，下列结论：①；②；③．正确的有______． 15．如图，点E在矩形的边上，平分． (1)求证：； (2)过A作于F，连接，若平分，求的大小． 题型六 求矩形在坐标系中的坐标 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，对角线，交于点，，．将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 17．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA 在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E，交AC于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形，则点 P的坐标为____． 18．如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以为边在第一象限内作矩形．        (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交AC于点，交于点D，折痕，求线段的长度和直线的解析式； (3)在第（2）的条件下，在坐标平面内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型七 矩形与折叠问题 19．如图，折叠矩形纸片的一边，使点D落在边上的点F处，已知，，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 20．如图，四边形是长方形，E是的中点，将折叠后得到，延长交于点F，若，，则的长为______． 21．如图，将长方形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上．若，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $