第01讲 一元二次方程的概念（暑假预习跟踪训练） 2025--2026学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程概念，通过基础辨析、性质应用到实际建模的三阶分层设计，强化抽象能力、推理意识与模型意识，适配暑假预习的渐进式巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|概念判断、一般形式转化|定义辨析题（如题型1）强化抽象能力，夯实概念本质| |能力层|根的性质应用、代数式求值|根与系数关系题（如题型5）发展推理意识，提升代数变形能力| |应用层|实际问题建模|销售增长、握手问题（题型6）培养模型意识，衔接生活情境|

第01讲 一元二次方程的的概念（暑假预习） 【新教材人教版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 一元二次方程的定义判断】 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列关于的方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．在下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．下列方程中，属于关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 由一元二次方程的定义求字母的值】 5．若是关于的一元二次方程，则___________． 6．已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 7．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 8．已知是关于的一元二次方程，则_____． 【题型3 一元二次方程化为一般形式】 9．把一元二次方程化为一般形式为______________________ 10．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 11．方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 12．将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．2，3 B． C．2，7 D． 【题型4 由一元二次方程的根求待定字母的值】 13．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为__________． 14．若是方程的一个根，则的值为______． 15．若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为_________． 16．关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 【题型5 由一元二次方程的根求代数式的值】 17．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 18．已知是方程的一个根，则的值为_________． 19．若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____． 20．若是方程的根，则代数式的值是____． 【题型6 根据等量关系列一元二次方程解决实际问题】 21．如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________ 22．某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 23．某商店今年1月份的销售额为200万元，经过促销第一季度（1月、2月、3月）总销售额达到798万元．设2、3月份每月销售额的平均增长率为，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 24．2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 课后作业 1．下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 2．将一元二次方程化为一般形式是(        ) A． B． C． D． 3．一元二次方程的二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 6．若是方程的两个根，则代数式的值为（    ）． A． B．2 C． D．6 7．写出一个常数项不为0，有一个根为2的一元二次方程：_______________． 8．若关于x的一元二次方程的解是，则的值是________． 9．若m是方程的一个根，则的值为_____． 10．若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 11．已知，是关于的一元二次方程两个实根，且满足，则的值为_______． 12．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的宽与长各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为_______． 13．某楼盘2020年房价为每平方米8100元，经过两年连续涨价后，2022年房价为每平方米12100元．设该楼盘这两年平均每年房价上涨的百分率为x，根据题意可列方程______ ． 14．如图，在一块长12m、宽8m的长方形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程：______． 15．已知是方程的一个根，求代数式的值． 16．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 一元二次方程的的概念（暑假预习） 【新教材人教版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 一元二次方程的定义判断】 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程，符合题意； D、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意. 2．下列关于的方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程必须满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，依次判断各选项即可． 【详解】选项A中，原方程整理得 ，满足一元二次方程的全部条件，故A符合要求； 选项B中，原方程是分式方程，不是整式方程，故B不符合要求； 选项C中，原方程含有两个未知数，故C不符合要求； 选项D中，原方程整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，故D不符合要求． 故选：A． 3．在下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 选项A， 中，未知数最高次数为3，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； ∵ 选项B ， 中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程； ∵ 选项C， 中，含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； ∵ 选项D， ，只含有1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义． 4．下列方程中，属于关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程），逐一分析各选项即可得出答案. 【详解】解：A、含有分式，不是一元二次方程； B、是一元二次方程； C、含有2个未知数，不是一元二次方程； D、方程化简，得，是一元一次方程，不是一元二次方程. 【题型2 由一元二次方程的定义求字母的值】 5．若是关于的一元二次方程，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可知未知项的最高次应是次，所以可得：，解方程求出值即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 解得：． 故答案为：． 6．已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 7．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般式为．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0． 【详解】解：由一元二次方程的定义，得且． 解方程，得． 即． 当时，，不符合二次项系数不为0的条件； 当时，，符合条件． 故答案为：1． 8．已知是关于的一元二次方程，则_____． 【答案】1 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是根据一元二次方程的定义列出关于的条件并求解． 根据一元二次方程的定义，未知数最高次数是2且二次项系数不为0，根据题意列出关于的条件，进而求解的值． 【详解】解：因为是关于的一元二次方程，所以需要满足： 二次项系数不为0，即，解得， 未知数的最高次数是2，即， 解，可得，即或， 又因为．所以． 故答案为：1． 【题型3 一元二次方程化为一般形式】 9．把一元二次方程化为一般形式为______________________ 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴. 10．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将原方程化为一般形式，并通过乘以使二次项系数为1，从而得到一次项系数． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项得， 再乘以得 ， 此时二次项系数为1，一次项系数为2． 故答案为：2． 11．方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 【详解】将原方程化为一元二次方程的一般形式为，所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故选：D 12．将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．2，3 B． C．2，7 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程化为（）的形式，从而确定二次项系数和一次项系数； 先展开方程左边的完全平方，再移项合并同类项，得到一般形式，进而确定二次项系数和一次项系数． 【详解】解： 二次项系数为2，一次项系数为，此选项B符合题意． 故选：B． 【题型4 由一元二次方程的根求待定字母的值】 13．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是， 将代入方程得：， 整理得：， 解得：． 14．若是方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】把代入原方程得到一个关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴． 15．若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据方程的根的定义，将已知根代入原一元二次方程，可得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：将代入方程得， 整理得 ， 解得 ． 16．关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 【答案】 【分析】把代入方程，得到关于的方程，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可. 【详解】解：由题意，且， 解得. 【题型5 由一元二次方程的根求代数式的值】 17．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 18．已知是方程的一个根，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，关键是熟练应用定义解题；根据方程根的定义，得到 ，再代入求值即可． 【详解】解：∵ 是方程 的一个根， ∴ ，即 ， ∴ ， 故答案为：． 19．若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程，求出的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程（）的解， ， 整理得 ， ． 20．若是方程的根，则代数式的值是____． 【答案】2029 【分析】利用方程的根的定义，得到；两边同除以，构造出的形式；对平方，求出的值；代入代数式，直接算出最终结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ， 方程两边同时除以，得： 整理得： ∴ 化简得： 移项得： 将其代入代数式得： ． 【题型6 根据等量关系列一元二次方程解决实际问题】 21．如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________ 【答案】 【分析】根据草坪的总面积为长为，宽为的长方形的面积，列出方程即可. 【详解】解：由题意，可列方程为. 22．某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用总盈利=每箱盈利×每天销售量的关系，分别表示出降价后每箱的盈利和每天的销售量，即可列出方程． 【详解】设每箱降价元， 原来每箱盈利元，降价元后，每箱盈利为元， 原来每天售出箱，每降价元可多销售箱，降价元后，每天销售量为箱， ∵要求总盈利为元， ∴依题意可列方程为． 23．某商店今年1月份的销售额为200万元，经过促销第一季度（1月、2月、3月）总销售额达到798万元．设2、3月份每月销售额的平均增长率为，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别表示出三个月的销售额，再根据第一季度总销售额为798万元列出等式即可． 【详解】解：∵1月份销售额为200万元，2、3月份每月销售额的平均增长率为， ∴2月份销售额为万元，3月份销售额为万元， 由题意得：． 24．2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，属于握手问题，解题思路是先确定每人的握手次数，再去掉重复计算的部分，根据总握手次数列出方程． 【详解】解：∵设有人参加聚会， ∴每个人需要和除自身外的人握手， 又∵每两人之间仅握手1次，上述计算中每一次握手被重复计算了1次， ∴总握手次数为，结合题意总握手次数为次， 可得方程．故选C． 课后作业 1．下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义逐个判断方程，统计符合条件的个数即可得到结果，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解： ∵①满足所有条件， ∴①是一元二次方程 ∵②未说明，当时不是一元二次方程， ∴②不符合要求 ∵③是分式方程，不是整式方程， ∴③不符合要求 ∵④满足所有条件， ∴④是一元二次方程 ∵⑤含有x，y两个未知数， ∴⑤不符合要求 ∵⑥展开整理原方程得，化简得，未知数最高次数为1， ∴⑥不是一元二次方程； 综上，一元二次方程共有2个． 2．将一元二次方程化为一般形式是(        ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对原方程依次进行去括号、移项、合并同类项，整理得到符合要求的一般形式即可． 【详解】解：∵原方程为 先去括号，可得 将所有项移到等号左侧，移项变号得 合并同类项得． 3．一元二次方程的二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式（），再根据定义确定一次项系数和常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为， 方程可整理为， 一次项系数、常数项分别是，， 故选：D． 4．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足两个条件：最高次项的次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 5．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根． 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 6．若是方程的两个根，则代数式的值为（    ）． A． B．2 C． D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握方程的解为，则、是解题的关键． 由根与系数的关系可得、，再对变形，然后将、整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴，，（由方程变形得）， ∴ 代数式 ， ． 故选D． 7．写出一个常数项不为0，有一个根为2的一元二次方程：_______________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：常数项不为0，有一个根为2的一元二次方程可以是： ．（答案不唯一） 8．若关于x的一元二次方程的解是，则的值是________． 【答案】2024 【分析】将代入原方程得到关于、的等式，整理得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴， 整理得， ∴． 9．若m是方程的一个根，则的值为_____． 【答案】 【分析】利用整体代入法求代数式的值，根据根的定义得到关于的关系式，再将所求代数式变形后整体代入计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， 整理得， 又， ∴将代入得：原式． 10．若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义，掌握方程的根满足原方程是解题的关键，先利用根的定义对所求代数式中的部分式子进行变形，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴由方程根的定义可得， ，即 ， 同理可得，， 将代入方程左边，得 ，因此， 将两边同时除以，得 ，整理得 ， 因此 ， 故答案为． 11．已知，是关于的一元二次方程两个实根，且满足，则的值为_______． 【答案】5 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，用含m的式子表示，求出的值，从而将已知条件转化为关于m的方程，求出m的值，再根据根的判别式求出m的取值范围，确定最终结果即可． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系，得，， 由根的判别式，可知， 解得或， ∴， 解得或， ∵， ∴不符合题意， ∴ ． 12．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的宽与长各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为_______． 【答案】（或） 【分析】可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可． 【详解】解：设宽为步，则长为步， 根据题意得， 化为一般式为：． 13．某楼盘2020年房价为每平方米8100元，经过两年连续涨价后，2022年房价为每平方米12100元．设该楼盘这两年平均每年房价上涨的百分率为x，根据题意可列方程______ ． 【答案】 【分析】设该楼盘这两年平均每年房价上涨的百分率为，根据该楼盘2020年和2022年的房价，找出等量关系，即可列出关于的一元二次方程. 【详解】解：设该楼盘这两年平均每年房价上涨的百分率为， 则2021年房价为每平方米元，2022年房价为每平方米元， 根据题意得：. 14．如图，在一块长12m、宽8m的长方形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程：______． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 把所修的两条道路分别移到矩形的最上边和最左边，根据平行四边形与矩形面积公式可知：路的面积没变，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：∵道路的宽应为， ∴由题意得，， 故答案为：． 15．已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【分析】将代入方程中，得，再化简，得到，最后代入数值6，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 16．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的定义、根的判别式及解一元二次方程，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）由方程有两个实数根，利用根的判别式得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围即可； （2）根据一元二次方程的根的定义得出，代入，得到关于的一元二次方程，解方程求出的值，根据（1）中所得的取值范围，确定的值即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：． （2）解：∵是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， 由（1）可知，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $