已知函数的单调性、极值或极值点、最值求参数问题专项训练-2025-2026学年高二下学期期末复习人教A版（2019）选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦导数应用中参数求解，以单调性、极值、最值为递进模块，通过精选例题与变式构建系统训练，培养数学思维的推理能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |已知函数的单调性求参数问题|8题（4例+4变式）|涵盖区间单调、存在单调区间、单调增减性判断|基于导数与单调性关系，从恒成立到存在性问题递进| |已知函数的极值或极值点求参数问题|8题（4例+4变式）|涉及极值点存在、极值大小、极值点性质判断|围绕导数为零与极值关系，结合极值点验证深化逻辑推理| |已知函数的最值求参数问题|8题（4例+4变式）|包含最值存在性、最值大小、区间最值求解|衔接极值与端点值比较，构建最值参数求解的模型观念|

期末复习：已知函数的单调性、极值或极值点、最值求参数问题专项训练 期末复习：已知函数的单调性、极值或极值点、最值求参数问题专项训练 考点目录 已知函数的单调性求参数问题 已知函数的极值或极值点求参数问题 已知函数的最值求参数问题 考点一 已知函数的单调性求参数问题 例1．（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为恒成立问题，然后参变分离，构造函数，利用导数即可求解. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 因为，所以必有，故转化为在区间上恒成立， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，即，即. 例2．（25-26高二下·四川成都·月考）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，. 函数在上存在单调递增区间， 在上有解，即在上有解； 在上有解，即. 令，； 在上单调递减， 时，取得最大值； ，即实数的取值范围为. 例3．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知函数在上单调递增，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】求导得，再分三种情况，利用导数得到单调区间，结合题意求解． 【详解】． 当时，在上单调递增，符合题意． 当时，令，解得或， 所以在和上单调递增，符合题意． 当时，令，解得或，令，解得， 所以在和上单调递减，在上单调递增，不符合题意． 故的取值范围为． 例4．（24-25高二下·上海·阶段检测）若在上严格增，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】求出函数的导数，由给定单调区间建立恒成立的不等式并分离参数求解. 【详解】函数，求导得， 由函数在上严格增，得，， 而，当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 变式1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，由给定的单调区间及单调性建立恒成立的不等式求解. 【详解】由函数在上单调递增，得， 恒成立，而当时，，则，又， 所以实数的取值范围是. 变式2．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】条件可转化为在上恒成立，利用导数求的取值范围，可得结论. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，，则， 在上单调递增，又， 所以当时，的取值范围为， 所以的取值范围为. 变式3．（25-26高二下·四川成都·月考）若函数在是增函数，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】将“函数在是增函数”转化为“在上恒成立”，分离参数，并利用基本不等式可得的取值范围. 【详解】函数的定义域为， . 因为在上是增函数，所以在上恒成立， 所以 ，即在恒成立. 当时，，当且仅当，即时等号成立. 因此，即. 故的取值范围是. 变式4．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）已知函数为减函数，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题可得在R上恒成立，据此可得答案. 【详解】由题设可得在上恒成立，则. ， 当且仅当时取等号，则. 考点二 已知函数的极值或极值点求参数问题 例1．（2026·陕西渭南·三模）已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对函数求导得，找到临界点和，再按、、三种情况判断极小值点，代入极小值求解，验证后得到. 【详解】. 令，得临界点，. ①当时，，，函数单调递增，无极小值，舍去. ②当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，即，符合. ③当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，不在选项中，舍去. 例2．（2026·重庆·三模）已知函数若，且不是的极值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，由题意且为导函数（二次函数）的唯一零点 所以，联立解得，则. 例3．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）已知函数在处取得极小值，则___________． 【答案】1 【分析】求导，令，求出的值，再将的值代回中，再根据的符号判断在处是否取得极小值即可得到答案． 【详解】由，则， 又在处取得极小值，则，解得或， 当时，， 则若时，，此时单调递增；若时，，此时单调递减， 此时在处取得极大值，不满足条件； 当时，， 则若时，，此时单调递减；若时，，此时单调递增， 此时在处取得极小值，满足条件． 综上所述，． 例4．（25-26高二下·天津武清·期中）已知函数在处取得极大值0，则________. 【答案】/ 【分析】由和得或，分两种情况，检验后得到答案 【详解】，由题意得，即，故， 且，解得或， 当时，，则， 令得，令得，故为极大值点，满足要求， 所以， 当时，，则， 令得，令得，故为极小值点，不满足要求， 综上，. 变式1．（25-26高二下·山东临沂·阶段检测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把已知函数有两个极值点问题转化为导数有两个不同零点问题，构造函数，求导并分析单调性、极值，作出大致图像，利用图像求实数的取值范围． 【详解】函数有两个极值点等价于有两个不同的变号零点， 令，即， 设，求导得， 当时，，单调递增，值域为； 当时： 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 在处取得极大值，，即为最大值，故值域为； 作出的大致图像如下： 由图像可知，当时，与有两个交点， 故实数的取值范围为． 变式2．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期中）若函数在处取得极值，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合结论函数在点处可导且取得极值，则求，再验证结论. 【详解】由题意知函数的定义域为， 由可得， 函数在处取得极值，， ，此时， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 经检验时函数在处取得极值. 变式3．（25-26高二下·四川南充·月考）若函数在处有极小值，则常数的值为________． 【答案】 【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，计算并验证即可． 【详解】由， 则， 又函数在处有极小值， 则，解得或， 当时，令，解得，或， 则当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增， 此时在处有极小值，符合题意； 当时，令，解得，或， 则当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增， 此时在处有极大值，不符合题意， 综上所述：． 变式4．（25-26高二下·上海闵行·月考）已知，函数在处取得极大值，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出导数，然后分，和三种情况讨论，利用导数得到函数的单调性，再根据极值点的定义进行判断，即可得解. 【详解】函数的定义域为，对求导可得 . 令，解得或. ①当，即时， 当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意； ②当，即时，恒成立， 所以在上单调递增，无极值，不符合题意； ③当，即时， 当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，不符合题意， 综上，的取值范围是. 考点三 已知函数的最值求参数问题 例1．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】法1：（1）当时，由，解得， 故函数定义域为. ①当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； ②当时，此时，， 故最大值不为，不合题意； ③当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； （2）当时，则，则函数定义域为. 且由最大值为可知，， 即对任意恒成立，且等号能取到. 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，当且仅当时，， 由对任意恒成立，可知， 又当时，恒有，取不到等号，所以有， 故选：B. 法2：， 由选项知，则定义域为， 故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为， 由， 则由，可得①， 且，即②， 联立①②解得. 验证：当时，， 则， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； ，且， 且当，；当，； 作出函数的大致图象， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 则，满足题意，故. 法3：由选项知，则定义域为， 由，解得. 同法2验证可得，故满足题意，由选项唯一可得.. 法4：由选项知，则定义域为， 由，解得. 验证：当时，由不等式可得， 故，当且仅当时等号成立， 故满足题意，由选项唯一可得. 例2．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）若函数的最小值为，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数的单调性，根据单调性得到函数的最小值的表达式，结合题意即可求解. 【详解】已知函数，则， 令，由于，正实数，所以得， 令，则，由于，正实数，所以恒成立， 所以是一个单调递增的函数，当时，；当时，； 因此方程有且仅有一个实数根，设为，即， 因为，当时，有，解得，矛盾，因此， 当时，，即，函数单调递减； 当时，，即，函数单调递增； 所以函数在处取得最小值， 由于函数的最小值为，即，则有， 同时极值点满足， 代入上式得，解得， 则有，解得，故A正确. 例3．（24-25高二下·广东河源·阶段检测）若曲线在处有最值，则实数的值为_________    【答案】1 【分析】先求出导函数，再根据函数单调性得出最值即可求参. 【详解】曲线，定义域为，所以， 当时，所以单调递减，无最大值不合题意； 当时，单调递减，单调递增，所以时函数取最大值， 因为函数在处有最值，所以 故答案为： 例4．（2025·湖南常德·一模）若函数有最小值，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用导数探讨函数在上单调性及对应函数值集合，再由给定最值情况求出范围. 【详解】当时，，求导得， 函数在上单调递增，在时的取值集合为， 当时，，没有最小值， 由函数在R上有最小值，得在上单调递减，且， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 变式1．（25-26高二下·安徽合肥·期中）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数进行求导，导数的零点需落在指定区间上，从而求出的范围 【详解】，又， 令，，则的零点与的零点相同， 因为函数图象开口向下且，要使在区间上有最大值， 所以和，解得. 变式2．（2026·湖北随州·三模）已知，函数的最大值为0，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】结合函数图像分析，从而得到当与相切时，取得最小值，进而构造函数，求导，分析函数的单调性，从而求出最值，进而得到的最小值． 【详解】依题意可得函数的定义域为， 由函数的最大值为0， 即在上恒成立， 即的图象在的下方， 结合图象可得，当函数的图象过原点，且与相切时，取得最小值， 根据对称性，不妨只考虑的情况， 即当与相切时，取得最小值， 即在上恒成立， 令，即时，取得最小值， 则，令，则， 又时，，即在上单调递增； 时，，即在上单调递减， 所以，解得． 故选：A 变式3．（25-26高二下·天津·阶段检测）若函数有最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】分和两种情况，利用导数法及单调性讨论的最小值，从而求解实数的取值范围. 【详解】当时，,则, 当时，且，故，因此在上严格单调递增， 由此可得，当时，，即此段函数的值域为，无法取到； 当时，是一次函数，其单调性由斜率决定： 若，则，函数在上单调递增， 当时，，整个函数无最小值， 若，则为常数函数，此时，结合时函数值域， 整个函数的下确界为但无法取到，无最小值， 若，则，函数在上单调递减，最小值在处取得，为， 要使整个函数有最小值，必须满足，解得, 结合的条件，所以实数的取值范围为. 变式4．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数在上有最大值，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】函数在开区间内有最大值，需要同时满足极大值点在区间内和区间端点处的函数值小于等于极大值两个条件，列出不等式组求解即可. 【详解】已知函数，求导得， 令，解得或， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因此，函数在处取得极大值， 为了使在区间上有最大值，需要同时满足以下两个条件： ①极大值点在区间内，即，解得； ②区间端点处的函数值小于等于极大值，即且，由函数的单调性可知，当时，恒成立， ，解得； 综上所述，的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：已知函数的单调性、极值或极值点、最值求参数问题专项训练 期末复习：已知函数的单调性、极值或极值点、最值求参数问题专项训练 考点目录 已知函数的单调性求参数问题 已知函数的极值或极值点求参数问题 已知函数的最值求参数问题 考点一 已知函数的单调性求参数问题 例1．（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·四川成都·月考）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知函数在上单调递增，则的取值范围为__________． 例4．（24-25高二下·上海·阶段检测）若在上严格增，则实数的取值范围是______． 变式1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·四川成都·月考）若函数在是增函数，则的取值范围是__________． 变式4．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）已知函数为减函数，则的取值范围是______． 考点二 已知函数的极值或极值点求参数问题 例1．（2026·陕西渭南·三模）已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A． B． C． D． 例2．（2026·重庆·三模）已知函数若，且不是的极值，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）已知函数在处取得极小值，则___________． 例4．（25-26高二下·天津武清·期中）已知函数在处取得极大值0，则________. 变式1．（25-26高二下·山东临沂·阶段检测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期中）若函数在处取得极值，则实数（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·四川南充·月考）若函数在处有极小值，则常数的值为________． 变式4．（25-26高二下·上海闵行·月考）已知，函数在处取得极大值，则的取值范围是________． 考点三 已知函数的最值求参数问题 例1．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 例2．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）若函数的最小值为，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高二下·广东河源·阶段检测）若曲线在处有最值，则实数的值为_________    例4．（2025·湖南常德·一模）若函数有最小值，则实数的取值范围是______. 变式1．（25-26高二下·安徽合肥·期中）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·湖北随州·三模）已知，函数的最大值为0，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 变式3．（25-26高二下·天津·阶段检测）若函数有最小值，则实数的取值范围是______． 变式4．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数在上有最大值，则的取值范围是__________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $