精品解析：上海市金山区2025－2026学年第二学期期末学情调研初一数学试卷

2025学年第二学期期末学情调研 初一数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共8题，每题3分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确的选项并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 下列数中是不等式的解的是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 在中，若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上三种情况都有可能 3. 现有长度为、、的三根木条，三根木条首尾相接，能组成三角形．的大小可以是（ ） A. 1 B. 4 C. 5 D. 6 4. 下列有关不等式的解法中，错误的是（ ） A. ，两边同加2，得 B. ，两边同除以3，得 C. ，两边同乘，得 D. ，两边同除以，得 5. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，把一张两边分别平行的纸片沿着折叠，交于点，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，、相交于点，平分．可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例是（ ） A. B. C. D. 8. 规定：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，那么这样的三角形称为“倍角三角形”．如果是“倍角三角形”，且，那么的度数不可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 9. 用适当的不等式表示“与的和大于”为________． 10. 如图，直线与相交于点，，直线与的夹角的度数是______度． 11. 在中，若，则________． 12. 命题“等角对等边”改成“如果……,那么……”的形式：_____________ 13. 在等边中，若过点作，垂足为点，则________． 14. 如果一个等腰三角形顶角的外角是，那么它的底角的度数是_______． 15. 如图，一块三角形模具碎成了三块，可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具，你选择带的那块编号是________． 16. 某次知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错一道题扣1分，不答题不得分．在这次竞赛中，小海有两道题没有作答，若希望取得不低于80分的成绩，小海至少要答对几道题？设小海答对了道题，那么由题意可列不等式为________． 17. 如图，在中，点在边上，点在线段上，且，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）． 18. 在中，，的角度记为，为边的中点，将绕点按逆时针方向旋转，得点的对应点，连接，那么的大小为________．（用含的代数式表示） 三、解答题（本大题共7题，满分46分） 19. 解不等式组 20. 如图，已知：、、分别是线段、、上的点，，．求证：．把以下解答过程补充完整． 证明：， ________（________）， 又， ________， ________________（________）， ．（两直线平行，同位角相等） 21. 如图，在中，的垂直平分线交边于点，交边于点． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，如果，，求的周长． 22. 如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：． 23. 如图，已知：点、分别在线段、上，，． （1）求证：； （2）不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 24. 在学习全等三角形及其性质中例题16后，受此启发，小海和小明有了新的探究． 例16 证明：两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等． 如图，已知：在和中，，，、分别是边、上的中线，且．求证：． （1）小海发现：“两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等”是真命题． ①如图，请根据题意在图中画出示意图；并根据条件和结论，参照你的示意图，写出“已知”和“求证”； ②写出由条件推出结论的完整过程． （2）小明发现：“两边对应相等且其中一组等边上的高相等的两个三角形全等”是真命题．该结论是否正确？请简单说明理由，无需完整过程． 25. 取长度为的相同积木，四边对齐叠放，如图1所示．沿平行于积木长边的方向水平向右推动一块积木而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下研究积木可延伸多远．结合课本中预备知识解决下列问题． （1）先推动积木①至最远，那么积木①的最远延伸长度是________；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远；最后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图2，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） （2）不推动积木①，保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，那么积木①②组合的最远延伸长度是________；保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图3，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） （3）先推动积木①，使得积木①的延伸长度为；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，此时积木①②组合的最远延伸长度是多少？然后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远，此时积木①②③组合的最远延伸长度是多少？（用含的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期末学情调研 初一数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共8题，每题3分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确的选项并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 下列数中是不等式的解的是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】解： ， ， 解得 选项中只有，故D符合题意． 2. 在中，若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上三种情况都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的分类定义判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形． 3. 现有长度为、、的三根木条，三根木条首尾相接，能组成三角形．的大小可以是（ ） A. 1 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边求解即可． 【详解】解：∵已知三角形的两边长分别为和，第三边长为 ∴即 对比选项，只有满足该范围 ． 4. 下列有关不等式的解法中，错误的是（ ） A. ，两边同加2，得 B. ，两边同除以3，得 C. ，两边同乘，得 D. ，两边同除以，得 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质逐一判断各选项解法即可找出错误项，不等式基本性质为：不等式两边加减同一个数，不等号方向不变；乘除同一个正数，不等号方向不变；乘除同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：选项A：，两边同加2，不等号方向不变，得，解法正确，不符合题意； 选项B：，两边同除以正数3，不等号方向不变，得，解法正确，不符合题意； 选项C：，两边同乘，不等号方向改变，得，解法正确，不符合题意； 选项D：，两边同除以，不等号方向需要改变，正确结果应为，题中解法未改变不 等号方向，得到，解法错误，符合题意． 5. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，把一张两边分别平行的纸片沿着折叠，交于点，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，由于折叠得到，即可求出，即可得到答案． 【详解】解：如图  纸片两边分别平行， ， 沿着折叠， ， ， ． 7. 如图，在中，、相交于点，平分．可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要说明命题“相等的角是对顶角”是假命题，需要举出一个反例，即找到两个角相等，但它们不是对顶角；根据角平分线的定义可得，这两个角相等但不是对顶角，符合反例的要求． 【详解】解：∵平分， ∴； 又∵与有公共边，它们不是对顶角， ∴可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例； 对于B选项，与是对顶角，不能作为反例； 对于A、C选项，角不相等，不满足命题的题设． 8. 规定：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，那么这样的三角形称为“倍角三角形”．如果是“倍角三角形”，且，那么的度数不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“倍角三角形”的定义，结合三角形内角和为，逐个验证选项即可得出答案． 【详解】解：已知，由三角形内角和得，逐个验证选项： A、若，则，，符合倍角三角形定义，因此A可能，排除； B、若，则，，符合倍角三角形定义，因此B可能，排除； C、若，则，验证倍角关系：，三角形中不存在；，三角形中不存在，没有满足条件的倍角关系，因此不可能； D、若，则，，符合倍角三角形定义，因此D可能，排除． 二、填空题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 9. 用适当的不等式表示“与的和大于”为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：“与的和大于”可用不等式表示为． 10. 如图，直线与相交于点，，直线与的夹角的度数是______度． 【答案】60 【解析】 【分析】根据邻补角互补可得∠AOC的度数，进而可得答案． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴直线AB与CD的夹角是60°， 故答案为：60． 【点睛】此题主要考查了邻补角，做题的关键是掌握邻补角互补． 11. 在中，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用三角形内角和定理，根据三个角的比例关系设未知数，求解出各角度数后计算角度差即可． 【详解】解：由题意设，则， 根据三角形内角和定理，得 解得 因此， 则． 12. 命题“等角对等边”改成“如果……,那么……”的形式：_____________ 【答案】在同一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 【解析】 【分析】分析原命题，找出其条件与结论，然后写成“如果…那么…”形式即可． 【详解】解：因为条件是：在同一个三角形中，有两个角相等，结论为：这两个角所对的边也相等． 所以改写后为：在同一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 故答案为在同一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 【点睛】本题考查命题的定义，难度适中，正确找到条件与结论是解题关键． 13. 在等边中，若过点作，垂足为点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得到，再结合等腰三角形三线合一的性质，可得平分，即可计算出的度数． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ∴平分， ． 14. 如果一个等腰三角形顶角的外角是，那么它的底角的度数是_______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质，得到两底角相等，结合三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和，可直接得到结果． 【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和， ∴每一个底角为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质与三角形内角与外角的关系；本题比较简单，属于基础题． 15. 如图，一块三角形模具碎成了三块，可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具，你选择带的那块编号是________． 【答案】 【解析】 【分析】要配一块与原来一样的三角形模具，即要构造一个与原三角形全等的三角形，需根据全等三角形的判定定理寻找包含足够条件的碎片． 【详解】第块只保留了一个角和部分边，无法确定三角形的形状和大小； 第块不包含完整的边和角，无法确定三角形的形状和大小； 第块保留了两个角和这两个角的夹边，根据全等三角形的判定定理“角边角”，即两角及其夹边对应相等的两个三角形全等， 带第块去商店，可以配一块与原来一样的三角形模具． 16. 某次知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错一道题扣1分，不答题不得分．在这次竞赛中，小海有两道题没有作答，若希望取得不低于80分的成绩，小海至少要答对几道题？设小海答对了道题，那么由题意可列不等式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用. 解题思路为：先根据已知条件确定答错的题数. 再根据得分规则与成绩要求，结合“不低于”的含义列出对应不等式. 【详解】解：由题意可知，小海答对道题，共有道题未作答，总题数为道，因此答错的题数为道. 答对一道题得分，因此答对总分为，答错一道题扣分，因此答错总扣分为， 成绩不低于分，即总得分大于等于，因此可列不等式：. 17. 如图，在中，点在边上，点在线段上，且，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】要得到，即点为的中点，结合图形可考虑利用等腰三角形“三线合一”的性质.已知，若添加，可利用等边对等角及角的和差关系推出，进而证明，得到，最后利用等腰三角形顶角平分线也是底边中线的性质即可得证． 【详解】解：添加条件：； 理由如下： 因为， 所以， 因为， 所以， 即， 所以， 在和中， ， 所以， 所以， 即平分， 在中，因为，平分， 所以． 18. 在中，，的角度记为，为边的中点，将绕点按逆时针方向旋转，得点的对应点，连接，那么的大小为________．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】先根据旋转得到对应边相等和旋转角，再利用等腰三角形三线合一得到垂直关系，最后通过角度和的关系计算出的度数． 【详解】解：如图，连接， 根据旋转的性质可知，，； 因为，为的中点， 所以， 所以； 在中，， 所以是等腰三角形， 所以； 所以 ． 三、解答题（本大题共7题，满分46分） 19. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题先分别求解不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据不等式组解集的确定法则得到最终结果，运用一元一次不等式的基本求解方法即可解题． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：． 20. 如图，已知：、、分别是线段、、上的点，，．求证：．把以下解答过程补充完整． 证明：， ________（________）， 又， ________， ________________（________）， ．（两直线平行，同位角相等） 【答案】 （两直线平行，内错角相等），，（同位角相等，两直线平行） 【解析】 【分析】根据平行线的判定和性质证明即可． 【详解】略 21. 如图，在中，的垂直平分线交边于点，交边于点． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，如果，，求的周长． 【答案】（1） （2）22 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作线段的垂直平分线，交边于点，交边于点，则点即为所求． （2）由垂直平分线的性质得，从而可求出的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由作图得：是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 22. 如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：． 【答案】（1）在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，得到，即可得证； （2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 证明：略 23. 如图，已知：点、分别在线段、上，，． （1）求证：； （2）不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴ （2）方法一：如图，连接，得到， 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 方法二：如图，连接，得到， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ 【解析】 【分析】（1）在和中，结合已知的、公共角与，依据即可证明两三角形全等； （2）可连接，得到；由（1）得，由全等性质可知、，结合推得，再根据三边对应相等，依据即可证明；也可连接，得到，同上得、，依据即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 在学习全等三角形及其性质中例题16后，受此启发，小海和小明有了新的探究． 例16 证明：两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等． 如图，已知：在和中，，，、分别是边、上的中线，且．求证：． （1）小海发现：“两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等”是真命题． ①如图，请根据题意在图中画出示意图；并根据条件和结论，参照你的示意图，写出“已知”和“求证”； ②写出由条件推出结论的完整过程． （2）小明发现：“两边对应相等且其中一组等边上的高相等的两个三角形全等”是真命题．该结论是否正确？请简单说明理由，无需完整过程． 【答案】（1）①如图： 已知：在和中，，，平分，平分，且；求证：． ② 证明：∵平分，平分， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）结论不正确，理由：可以构造反例：两个三角形有两边对应相等，且其中一组等边上的高相等，但这两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，它们不全等．如图： ，，，则与不全等． 【解析】 【分析】（1）①在和中，分别作和的角平分线、； 已知：在和中，，，平分，平分，且；求证：． ② 先证明，根据证明，得，再根据即可证明； （2）结论不正确，可以举反例说明． 【小问1详解】 解：①在和中，分别作和的角平分线、； ②略 【小问2详解】 略 25. 取长度为的相同积木，四边对齐叠放，如图1所示．沿平行于积木长边的方向水平向右推动一块积木而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下研究积木可延伸多远．结合课本中预备知识解决下列问题． （1）先推动积木①至最远，那么积木①的最远延伸长度是________；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远；最后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图2，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） （2）不推动积木①，保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，那么积木①②组合的最远延伸长度是________；保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图3，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） （3）先推动积木①，使得积木①的延伸长度为；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，此时积木①②组合的最远延伸长度是多少？然后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远，此时积木①②③组合的最远延伸长度是多少？（用含的代数式表示） 【答案】（1）； （2）； （3）积木①②组合的最远延伸长度是；积木①②③组合的最远延伸长度是 【解析】 【分析】（1）根据题干性质求解即可； （2）根据题干性质求解即可； （3）根据题干性质求解即可． 【小问1详解】 解：均匀积木重心在中点，上层积木最多能超出下层；多层依次外伸时，第1块相对第2块最多伸，第2块相对第3块最多伸，第3块相对第4块最多伸，…，第n块相对下一块最多伸； 只推积木①至最远：①相对②最多延伸； 再固定①②推②：①②总质量为，②相对③最多延伸， 再叠加①相对②的，总延伸； 再固定①②②推③：①②②总质量为，相对④最多延伸， 总延伸； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：固定①，推②至最远：②相对③最多伸，①跟着②一起外伸，总延伸； 固定①②相对位置，三块①②③放在④上，推③至最远， 设③相对④向右伸出，支撑边界为④的右端， 各块重心坐标（以④右端为，向右为正）： ① ②同①，为， ③， 三块总重心等于（临界平衡）： ， 解得 总延伸长度（最右端超出④的总长） ． 【小问3详解】 解：1．积木①先延伸 (相对②超出)，再固定①②推②： 设②相对③最远可伸， 由题意得，解得， 所以①②组合总延伸：； 2．再固定①②推③：①②②总质量为，③相对下层最远可伸， 总延伸：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $