精品解析：上海市金山区世外学校2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷

上海市金山区世外学校2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共8题，每题3分，满分24分） 1. 下列不等式的解法中，正确的是（ ） A. ，两边同乘，得 B. ，两边同乘，得 C. ，两边同时除以，得 D. ，两边同时除以，得 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，进行求解即可． 【详解】解：A．，两边同乘，得，故A错误； B．，两边同乘，得，故B错误； C．，两边同时除以2，得，故C错误； D．，两边同时除以，得，故D正确． 2. 如图，已知，，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，可得直线平行，再由直线平行的性质求解即可． 【详解】解：记直线，与，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3. 一个底面半径为，高为的圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式底面积高计算即可． 【详解】解：根据题意，该圆锥的体积是． 4. 已知如果两条平行线被第三条直线所截，那么下列说法正确的是（ ） A. 截得的一对同旁内角相等 B. 截得的一对同旁内角的角平分线互相平行 C. 截得的一对内错角的角平分线互相平行 D. 截得的一对同位角的角平分线互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质，结合图形分析平分角之后得到的角之间的位置关系，运用平行线的判定判断是否平行；若不平行，则进一步探究其特殊性． 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故该选项说法错误，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，其角平分线分得的不同的两角互余，从而推出两条角平分线相交成角，即互相垂直，故该选项说法错误，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等，其角平分线分得的角也相等；根据内错角相等，两直线平行可判断角平分线互相平行，故该选项说法正确，符合题意； D、两直线平行，同位角相等，其角平分线分得的角也相等；根据同位角相等，两直线平行可判断角平分线互相平行，而不是互相垂直，故该选项说法错误，不符合题意． 5. 下列判定两个等腰三角形全等的方法中，一定正确的是（ ） A. 两角对应相等 B. 两腰对应相等 C. 一边一角对应相等 D. 一腰和底边对应相等 【答案】D 【解析】 【分析】依据全等三角形的判定定理回答即可，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 【详解】解：A、两角对应相等，没有边的参与，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项错误，不符合题意； B、两腰对应相等，第三边不一定对应相等，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项错误； C、一边一角对应相等，此条件未明确边角关系而不能保证全等。例如，若一个等腰三角形的腰与另一个等腰三角形的底边对应相等，顶角与另一个的底角对应相等，则无法判定两个等腰三角形全等，故本选项错误； D、一腰和底边对应相等，相当于两腰和底边对应相等，利用可以证得两个等腰三角形全等，故本选项正确． 6. 如图，点是上任意一点，．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定和性质逐个选项进行判断即可． 【详解】解：A、补充，不能推出，故此选项符合题意； B、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； C、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； D、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； 故选：A． 7. 到三角形三个顶点距离都相等的点是（ ） A. 三角形的三条角平分线的交点 B. 三角形的三边垂直平分线的交点 C. 三角形的三条高线的交点 D. 三角形的三条中线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上进行作答即可． 【详解】解：∵到三角形三个顶点距离都相等的点， ∴该点是三角形的三边垂直平分线的交点， 故选：B 8. 如图，，的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，下列结论中：①；②；③；④周长，正确的有（ ） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由中，与的平分线交于点，，易证得和都是等腰三角形，继而可得，又由的周长为：；即可得的周长等于与的和． 【详解】解：， ，， 中，与的平分线交于点， ，， ，， ，，故①正确； 与不一定相等，故②错误； ∵在中，和的平分线相交于点， ∴，， ， ，故③正确； 的周长为： ，故④正确； 综上，正确的有①③④． 二、填空题（本大题共30题，每小题3分，满分30分） 9. 根据题意列不等式：与的3倍的和不大于10：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式，根据与的3倍的和不大于10得出，即可作答． 【详解】解：∵与的3倍的和不大于10 ∴． 10. 用弧长为的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为________． 【答案】4 【解析】 【分析】圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，据此列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥底面半径为， 则根据题意得 ，， 解得， 圆锥底面半径为， 故答案为：4 ． 11. 如图 , CD ∥ BE ,如果ABE 120 ，那么直线AB 、CD 的夹角是_____度． 【答案】60 【解析】 【分析】设AB与CD交于点F，由CD ∥ BE，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠BFD的度数，此题得解. 【详解】设AB与CD交于点F，如图， ∵CD ∥ BE， ∴∠ABE+∠BFD=180, ∵ABE 120 ， ∴∠BFD=180-ABE 60， 故填：60. 【点睛】此题考查平行线的性质，由平行证得同旁内角互补，由此求得夹角的度数. 12. 等腰三角形的两边长分别为，其周长为_______cm． 【答案】 【解析】 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和13cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：由题意知，应分两种情况： ①当腰长为6cm时，三角形三边长为6，6，13， ∵6+6<13， ∴不能构成三角形； ②当腰长为15cm时，三角形三边长为6，13，13， 周长， 故答案为32． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 13. 如图，△ABC中AB＝AC，D是AC上一点且BC＝BD，若∠CBD＝46°，则∠A＝_____°． 【答案】46 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】∵BC=BD，∠CBD=46°， ∴∠C=∠BDC=（180°-46°）=67°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=67°， ∴∠A=46°， 故答案为46． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解． 14. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长是，则的周长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后等量代换得到的周长为，进而可得的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ，， 的周长为：， 的周长为：． 15. 已知等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分为当等腰三角形为锐角三角形时和当等腰三角形为钝角三角形时两种情况，分别画图进行讨论． 【详解】解：如图，当等腰三角形为锐角三角形时， ∵，， ∴， 即． 如图，当等腰三角形为钝角三角形时， ∵，， ∴， ∴． 综上，该等腰三角形的顶角为或． 16. 如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF+∠CEF＝_____． 【答案】120° 【解析】 【分析】由等边三角形的性质证得∠ADE+∠AED=120º,根据折叠性质及平角定义即可得出结论． 【详解】∵三角形ABC是等边三角形， ∴∠A=60º， ∴∠ADE+∠AED=180º-60º=120º， 由折叠性质得：∠ADE=∠EDF,∠AED=∠DEF， ∴∠BDF+∠CEF=(180º-2∠ADE)+(180º-2∠AED) =360º-2(∠ADE+∠AED) =360º-240º =120º， 故答案为：120º． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形的内角和定理、折叠性质、平角定义，熟练掌握等边三角形的性质和折叠性质是解答的关键． 17. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________． 【答案】或 【解析】 【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解． 【详解】解：①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为： ∴特征值 ②当为底角时，顶角的度数为： ∴特征值 综上所述，特征值为或． 故答案为或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏． 18. 如图，在中，，，点P在的三边上运动，当为等腰三角形时，顶角的度数是________． 【答案】或或 【解析】 【分析】作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解． 【详解】解：①如图1， 点P在上时，，顶角为， ②∵，， ∴， 如图2，点P在上时，若， 顶角为， 如图3，若， 则顶角为， 综上所述，顶角为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，注意要分情况讨论求解． 三、简答题（本大题共7题，满分46分） 19. 如图，在中，点在线段上，点在线段延长线上，且，，求证：． 解：， （ ）， ， ． 即． （ ）， 在和中， ∵， （SSS）． （ ）， ， （ ）． 【答案】等边对等角，等角对等边，全等三角形的对应角相等，等腰三角形三线合一 【解析】 【分析】根据等腰三角形的判定和性质即可解答． 【详解】解：， （等边对等角）， ， ． 即． （等角对等边）， 在和中， ∵， （SSS）． （全等三角形的对应角相等）， ， （等腰三角形三线合一）． 20. 如图，已知线段、．求作：，使，且，高． 【答案】见解析 【解析】 【分析】作线段，作线段的垂直平分线，交于点，在射线上截取线段，使得，连接、，即可得出结果． 【详解】解：作线段，作线段的垂直平分线，交于点，在射线上截取线段，使得，连接、，则即为所求 21. 从底面直径为的圆柱形水桶中取出一块底面积为且完全浸泡在水中的圆锥形钢材，取出后水面下降．求该圆锥形钢材的高（取3.14）． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，这个圆锥形钢材的体积就是下降的水的体积，由此根据圆柱的体积公式可以求出这个圆锥的体积，再利用圆锥的体积公式即可求出这个圆锥的高． 【详解】解： 由题意得，， 答：该圆锥形钢材的高． 22. 小普经营一家服装店，某次进了100件衬衫，花了8000元．销售时先每件加价20元销售，在销售了若干件以后，剩余部分以每件亏损5元价格售完，现已知小普在此次经营中盈利大于1000元．问：他加价销售的衬衫至少有多少件？ 【答案】至少有61件 【解析】 【分析】先计算单件进价，设加价销售的衬衫有件，则剩余降价销售的衬衫为件，根据“盈利大于1000元”，总销售额减去总成本大于1000，列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 100件衬衫总进价8000元， ∴每件衬衫进价为元， 设加价销售的衬衫有件，则剩余降价销售的衬衫为件， 加价销售单件售价为元，亏损销售单件售价为元， 根据题意得， 解得， 因为是衬衫件数，为正整数， 因此的最小值为61 即他加价销售的衬衫至少有61件． 23. 如图，在中，点是上一点，且，把边绕着点顺时针旋转一定角度得到，连接，交于点． （1）若，求的度数． （2）若，求证：平分． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质＝＝，由外角的性质可求解； （2）由可证，可得＝，可证＝，可得结论． 【小问1详解】 解： ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：， ， 在和中， ， （）， ， ， ， 平分． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，等边对等角，全等三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 24. 如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． （1）求证：． （2）连接，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）的度数为或 【解析】 【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到，，，然后证明出，即可得到； （2）首先求出，然后根据等腰三角形的定义分三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵，是等边三角形， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∵是等腰三角形 ∴①如图，当时， ∴ ∴ ∴； ②如图，当时， ∴ ∴ ∴ ∴点O在上，即点O和点D重合，不存在，不符合题意； ③如图，当时， ∵ ∴垂直平分 ∴ 综上，的度数为或． 25. 如图，在中，，高、相交于点，，且． （1）请说明的理由； （2）动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为． （3）在(2)的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值． 【答案】（1）见解析 （2）当为或时，的面积为 （3）或时，与全等 【解析】 【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识， （1）首先推导出，通过即可证明； （2）分两种情形讨论求解即可①当点在线段上时，②当点在射线上时，时；依据三角形面积计算公式解答即可； （3）分两种情形求解即可①如图中，当时，．②如图中，当时，． 【小问1详解】 如图1中， 是高， ， 是高， ， ，， ， 在和中， ， ， 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ， ， 由题意 ①当点在线段上时， ， 解得：； ②当点在延长线上时，， ， 解得：， 综上，当为或时，的面积为； 【小问3详解】 存在． ①如图2中，当时， ，， ． ， ， 解得， ②如图中，当时， ，， ． ， ， 解得． 综上所述，或时，与全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市金山区世外学校2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共8题，每题3分，满分24分） 1. 下列不等式的解法中，正确的是（ ） A. ，两边同乘，得 B. ，两边同乘，得 C. ，两边同时除以，得 D. ，两边同时除以，得 2. 如图，已知，，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 一个底面半径为，高为的圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. 4. 已知如果两条平行线被第三条直线所截，那么下列说法正确的是（ ） A. 截得的一对同旁内角相等 B. 截得的一对同旁内角的角平分线互相平行 C. 截得的一对内错角的角平分线互相平行 D. 截得的一对同位角的角平分线互相垂直 5. 下列判定两个等腰三角形全等的方法中，一定正确的是（ ） A. 两角对应相等 B. 两腰对应相等 C. 一边一角对应相等 D. 一腰和底边对应相等 6. 如图，点是上任意一点，．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（ ） A. B. C. D. 7. 到三角形三个顶点距离都相等的点是（ ） A. 三角形的三条角平分线的交点 B. 三角形的三边垂直平分线的交点 C. 三角形的三条高线的交点 D. 三角形的三条中线的交点 8. 如图，，的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，下列结论中：①；②；③；④周长，正确的有（ ） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共30题，每小题3分，满分30分） 9. 根据题意列不等式：与的3倍的和不大于10：________． 10. 用弧长为的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为________． 11. 如图 , CD ∥ BE ,如果ABE 120 ，那么直线AB 、CD 的夹角是_____度． 12. 等腰三角形的两边长分别为，其周长为_______cm． 13. 如图，△ABC中AB＝AC，D是AC上一点且BC＝BD，若∠CBD＝46°，则∠A＝_____°． 14. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长是，则的周长是_____． 15. 已知等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为_____． 16. 如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF+∠CEF＝_____． 17. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________． 18. 如图，在中，，，点P在的三边上运动，当为等腰三角形时，顶角的度数是________． 三、简答题（本大题共7题，满分46分） 19. 如图，在中，点在线段上，点在线段延长线上，且，，求证：． 解：， （ ）， ， ． 即． （ ）， 在和中， ∵， （SSS）． （ ）， ， （ ）． 20. 如图，已知线段、．求作：，使，且，高． 21. 从底面直径为的圆柱形水桶中取出一块底面积为且完全浸泡在水中的圆锥形钢材，取出后水面下降．求该圆锥形钢材的高（取3.14）． 22. 小普经营一家服装店，某次进了100件衬衫，花了8000元．销售时先每件加价20元销售，在销售了若干件以后，剩余部分以每件亏损5元价格售完，现已知小普在此次经营中盈利大于1000元．问：他加价销售的衬衫至少有多少件？ 23. 如图，在中，点是上一点，且，把边绕着点顺时针旋转一定角度得到，连接，交于点． （1）若，求的度数． （2）若，求证：平分． 24. 如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． （1）求证：． （2）连接，当是等腰三角形时，求的度数． 25. 如图，在中，，高、相交于点，，且． （1）请说明的理由； （2）动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为． （3）在(2)的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $