2025-2026高二下学期综合测试卷选择性必修一

**基本信息** 这份高二数学选择性必修一期末综合测试卷，以景德镇瓷器烧制、俱乐部资格测试等真实情境为载体，融合双曲线、向量、概率统计等知识，考查数学眼光、思维与语言，适配期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|双曲线焦距、向量运算、回归方程等|基础概念与运算，如第3题用温差与感冒人数数据考查回归方程| |多选题|3|直线距离、向量表示、椭圆性质|多角度辨析，如第10题结合等腰梯形考查向量分解| |填空题|3|二项式系数、异面直线所成角、双曲线渐近线|空间想象与计算，如第14题综合双曲线与圆的几何关系| |解答题|5|圆的切线、概率分布、立体几何、独立性检验、椭圆综合|情境化综合应用，如16题以景德镇瓷器为背景考查概率期望，19题椭圆综合题论证定点问题|

2025-2026高二数学选择性必修一综合测试卷 一、单选题 1．双曲线的焦距为（   ） A． B． C．4 D．8 2．已知向量，若，则（    ） A．7 B．5 C． D． 3．某校当天的新增感冒人数与温差（单位：）的5组数据如下表： 5 7 8 9 11 9 17 20 由于保存不善，有两个数据模糊不清，用，代替，已知关于的经验回归方程为，则（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 4．将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（    ） A．78 B．92 C．100 D．122 5．设随机变量，已知，则（    ） A．0.037 B．0.074 C．0.926 D．0.975 6．直线与直线垂直，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．椭圆 的右顶点为 ，右焦点为 为椭圆在第二象限上的点，直线 交椭圆 于点 ，延长直线 交线段 于 ，若 ，则椭圆 的离心率是 （        ） A． B． C． D． 8．如图，在平行六面体中，，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知两条平行直线与间的距离为3，则的值为（    ） A． B． C．22 D．21 10．在等腰梯形中，，是边的中点，与交于点．设，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 11．已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，则（ ） A．的长轴长为5 B．的离心率等于 C． D．的周长为16 三、填空题 12．的展开式中的系数为 （用数字作答）． 13．如图所示的三棱锥中，平面，是棱的中点，若，， ，则与所成角的余弦值为 14．过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若以线段MN为直径的圆过C的右焦点F，且，则C的渐近线方程为 ． 四、解答题 15．已知圆的圆心为，且过点． (1)求过点的圆的切线方程； (2)若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程． 16．景德镇瓷器是中国传统的手工艺品之一，因产于江西省景德镇而得名．景德镇瓷器以其精美的工艺、独特的风格和高质量的品质而闻名于世．景德镇瓷器的历史可以追溯到唐代，经过宋、元、明、清等朝代的发展，逐渐形成了独特的风格．景德镇瓷器的制作过程非常复杂，需要经过多道工序，包括制坯、彩绘、烧制等．其中，彩绘是景德镇瓷器的一大特色，采用的是传统的釉下彩和釉上彩技法，色彩鲜绝、图案精美．假设景德镇的青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷10个，其中5个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，2个由工匠丙烧制，甲、乙、丙这三人烧制青花瓷的成品率依次为0.5，0.8，0.9． (1)若从这10个青花瓷中任取1个，求取出的青花瓷是成品的概率； (2)若每件青花瓷成品的收入为600元，每件青花瓷废品的收入为0元，记随机变量为乙烧制的这3个青花瓷的总收入，求的分布列及数学期望． 17．如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，点为中点，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)过作与垂直的平面，平面交直线于点，求线段的长度． 18．俱乐部是具有某种相同兴趣的人进行社会交际、文化娱乐等活动的团体或场所．一些顶尖的俱乐部不仅对会员的要求非常严苛，加入也要经过现任会员邀请并接受资格测试和对个人素养、社会地位等的综合考察．研究人员通过模型预测某俱乐部标准资格测试的参试成绩（总计100份），绘制成下表（已知B卷难度更大）． 不及格 及格 A卷 a B卷 20 20 (1)若至少有5%的把握认为是否及格与试卷难度无关，求a的最小值； (2)在预测的40份B卷参试成绩中随机挑选3份，记不及格的份数为X，求X的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19．已知椭圆的离心率是，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线l与椭圆C相交于两个不同的点，直线分别与轴相交于点，证明：线段的中点为定点。 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 庐山外国语学校高二数学寒假作业2参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C B C A B AD BC 题号 11 答案 CD 1．B 【分析】由题可得双曲线的标准方程，解得，从而得焦距. 【详解】由题知双曲线的标准方程为， 故，得， 故焦距为． 故选：B. 2．D 【分析】根据空间向量共线定理进行求解即可. 【详解】因为，所以， 即. 故选：D 3．B 【分析】计算样本中心点，代入计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B 4．C 【分析】分体育书分给甲和乙两种情况求解. 【详解】若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有种， 当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有种. 综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是. 同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50. 故不同的分配方法数是. 故选：C 5．B 【分析】由于随机变量，故对称轴为，因此，结合题干数据，即得解 【详解】由题意， 由于随机变量，故对称轴为 故选：B 6．C 【分析】根据互相垂直两直线方程系数的关系进行求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以. 故选：C 7．A 【分析】设点，则，中点为，根据三点共线得到，得到答案. 【详解】如图， 设点，则，，， 由 知，为线段的中点，则， 由三点共线，故，化简得到，故. 故选：A. 8．B 【分析】以、、为基底向量，计算基底间的数量积，进而表示出与，通过向量的数量积与模长公式，结合异面 直线所成角的余弦公式（向量夹角余弦的绝对值）求解. 【详解】记，，， 则，，， 又，， 所以， ， ， 记与所成的角为，则． 故选：B 9．AD 【分析】由两平行线间的距离公式计算即可. 【详解】由题意得，解得或. 故选：AD. 10．BC 【分析】根据等腰梯形的性质结合已知条件，运用投影向量与平面向量基本定理计算求解． 【详解】连接， 为的中点，， ，故B正确. 三点共线，存在x，y满足，且， 又三点共线， ， 由平面向量基本定理得，， ，，故A错误，C正确； 四边形是等腰梯形，，过点作，垂足为， ，即， 在上的投影向量为，故D错误． 故选：BC． 11．CD 【分析】由椭圆方程得到，进而逐项判断即可. 【详解】由题意知， 所以的长轴长为10，， 所以离心率为的周长为， 故AB错误，CD正确. 故选：CD. 12．112 【分析】利用二项式定理求出展开式中含的项即可. 【详解】的展开式中含的项为， 所以所求系数为112. 故答案为：112 13． 【解析】根据平面，，过点作，以为坐标原点，直线、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求得向量，，然后由求解. 【详解】∵平面，∴、， 过点作，又，则、、两两垂直， 如图，以为坐标原点，直线、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则、、、， 又为中点，则，故，， ∴， 故答案为： 14． 【分析】由题可得四边形为矩形，则，由，结合，求出，再利用勾股定理即可求解. 【详解】如图，设为C的左焦点，连接，则四边形为平行四边形， 因为以线段MN为直径的圆过F，所以，从而四边形为矩形， 所以． 由双曲线的定义，得，即， 又因为，所以． 由，得，解得， 所以，故C的渐近线方程为． 15．(1)或 (2)或 【分析】（1）求出半径及圆的方程，点在圆外，分不存在及存在时讨论，利用点斜式方程，结合圆心到直线的距离为半径求出斜率，继而即可求解； （2）利用弦心距与半径、弦长的关系，结合勾股定理求出弦心距，利用点斜式方程、点到直线的距离公式求出斜率，继而即可求解. 【详解】（1）， 所以圆的方程为：， ， 所以点在圆外， 当不存在时，直线方程为与圆相切， 当存在时，设切线方程为：，即， 则圆心到直线的距离， 可得，解得， 所以切线方程为，即， 综上：过点的圆的切线方程为或. （2）显然，直线斜率存在， 所以设直线的方程为：，即， 设圆心到直线的距离为， 又， 化简得，即， 所以或7， 所以直线的方程为：或. 16．(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. （2）求出的可能值，借助独立重复试验的概率求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）记事件为“取出的青花瓷是甲烧制的”，事件为“取出的青花瓷是乙烧制的”， 事件为“取出的青花瓷是丙烧制的”，设事件为“取出的青花瓷是成品”， 则，，，，，， 所以 ． （2）的所有可能取值为， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 600 1200 1800 数学期望． 17．(1)证明见解析； (2)； (3)1. 【分析】（1）通过证明，即可证明平面； （2）建立空间直角坐标系，通过求平面和平面的法向量即可求二面角； （3）根据平面，由确定Q的位置即可得. 【详解】（1）因为是等腰直角三角形，且为斜边， 所以，为中点， 所以； 又由，可知， 因为平面, 故平面. （2）因为为正三角形，为中点， 所以， 由（1）知，平面， 平面， 所以，， 如图以为原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系， 则， 由（1）知，平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量， 且， 所以， 不妨设，则， 所以. 设平面与平面的夹角为， 又， 即. 由图可知，即二面角余弦值为. （3）设，， 则， 所以， 所以, 又因为为中点， 所以， 所以， 因为过作与垂直的平面，交直线于点， 所以，则， 所以， 解得， 所以，则， 所以， 即. 18．(1)19 (2)分布列见解析，期望为 【分析】（1）根据卡方的计算即可求解， （2）利用超几何分布的性质求解概率，即可得分布列，由期望公式即可求解. 【详解】（1）由题意可得，故， 完善二联表为： 不及格 及格 总计 A卷 a B卷 20 20 40 总计 100 至少有5%的把握认为是否及格与试卷难度无关，则， 即， 由于，随的增大而减小，且为整数，故，故最小取19， （2）由题意可知的取值为0,1,2,3， ；， 分布列为 0 1 2 3 ． 19．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据直线求得两点的横坐标，进而计算出线段的中点为定点． 【详解】（1）依题意，解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，过点的直线与椭圆C相交于两个不同的点， 画出图象如下图所示，由图可知直线的斜率存在，且， 设直线的方程为， 由消去并化简得， ， 设，则， 而，所以直线的方程为，令，解得， 同理可求得， 则 ， 所以线段的中点为定点.    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $