立体几何期末复习训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以向量法为核心，系统整合空间坐标、线面关系证明及空间量计算，形成“概念-运算-应用”三阶逻辑链，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-5、填空7-8|坐标变换、投影向量公式|从空间点对称到法向量投影，构建坐标几何基础| |空间证明|解答9(1)、10(1)等|中位线法、向量共线定理|线面平行/垂直判定与空间基底性质结合，强化逻辑推理| |空间量计算|解答9(2)、10(2)等|向量法求角、点面距离公式|从线面角到二面角，实现空间量计算的模型化表达|

《2026高二下数学期末专题复习一一立体几何》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A C B D D BD BD 1.点A(-2,3,-4)关于坐标平面xOz对称点A的坐标为( A.(-2,-3,-4) B.(2,-3,4) C.(-2,-3,4) D.(2,3,-4) 点A的坐标中横、竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数即得A'的坐标为(-2，-3，-4) 2.1 知向量a=(-11,3),6=(0,2,-1),则(a+2)a=() A.7 B.8 C.9 D.10 由题意可得a+25=(-1,5,1),则(a+2)a=(-1)×(-1)+5×1+1x3=9 M 3.如图，在空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA 上，且OM=2MA,点N为BC中点，则N=() N B A. D.- 2 3 3 2 2 项-a5+丽o1+o-0网-o丽)号a++ 2 4.在空间直角坐标系中，直线1经过点O(0,0,0),且其方向向量方=(1,0,1)，则点M(0,1,1) 到直线1的距离为() A.5B.6 C.3 D 6 2 【详解】由题OM=(0,1,1), 所以点M(0,1,1)到直线1的距离为 =2 5.在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),D(3,3,1),则点D到平面ABC的 距离为( A. 2V5 B. 2v6 C.45 D. 5V5 3 3 3 3 【详解】由题设有AB=(01,-1),AC=(-1,1,0),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), n·AB=0 则 AD.n 5W5 而AD=(2,3,0),故点D到平面ABC的距离为 n 3 3 6.下列命题正确的有()A.若向量a,满足，a.b<0,则向量a,的夹角是钝角 B.若向量组{ā，b,c}是空间的一个基底，则向量a,方，c中不能有向量为零向量 C.若直线1的方向向量为e=(1,0,0),平面a的法向量为万=(1,0,2)，则1与平面α所成角 对于A,若a,6反向，满足ā.万=-，<0，但向量a,万的夹角不是钝角，故A错误； 假设a,6,c中有向量为零向量，则3个向量共面，则{ā，b,c不能作为空间的基底，B对； e列 设l与a所成角为0，则sin0= e同 即5o成角的暖约C澳 向量ā在向量b上的投影向量为 a-6 5-(20-20-》D止确 7.己知三棱锥P-ABC中，平面ABC的一个法向量为i=(1,2,-1),若AP=(3,4,-1),则向 量4P在法向量n上的投影向量为 向量n=(1,2,-1),4P=(3,4,-1),n-AP=1×3+2×4+(-1)×(-1)=12,1n=V6, n·AP- 所以向量丽在向量分上的投影向量为m平n=2n=2,4-2). 故答案为：(2,4，-2) 8.在空间直角坐标系中，平面的一个法向量的坐标为(4,4，-7)，直线1的一个方向向量的 坐标为(8，-4,1)，则直线1与平面α所成角的余弦值为 设平面a的一个法向量为n=（4,4,-7),直线1的一个方向向量ā=(8，-4,1)， 9-1 吸直线与平面u所成角为9，所以s加9=co元，a,xg,7 所以cosp-Vsim2a=4W5 9.如图，在直三棱柱ABC-AB,C,中，E是BC中点 B (1)求证：AB/1平面AEC1: (2)若∠BAC=90°，且AB=AC=A4=2, ①求平面AEC,与平面ABB,A所成锐二面角的余弦值.②求点A到平面AEC,的距离 (1)如图所示，连接A,C交AC于F点，连接EF, 由三棱柱的特征可知侧面ACC,A,是平行四边形，则F是A,C的中点， 又E是BC中点则EF/1AB, 因为EFc平面平面AEC1,A,B文平面平面AEC,所以A,B/I平面AEC 9.如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，E是BC中点 (2)由已知可得AA⊥底面ABC,AB⊥AC,所以可以A为中心建立空间直角坐标系，建 立如图所示的空间直角坐标系，则AE=(1,1,0),AC=(0,2,2), 设平面AEC的一个法向量为n=(x,y),则 E=x+y=0 i,AC=2y+2:=0 取y=-1,则x=1,=1,即n=(1,-1,1), ①易知AC=(0,2,0)是平面ABBA的一个法向量， n.AC 2 3 设平面AEC与平面ABBA所成角为0，则cosB= 2×V5 A4.n 2 ②易知A4=(0,0,2),则点A到平面AEC的距离d= 25 n 3 10.如图，长方体ABCD-AB,CD中，BC=BB,=4,AB=3,E,F分别为AD,B,C,的中 ZA 点，G在线段CC上，且CG=3GC: (I)求证：GF⊥平面EBF; (2)求直线BG与平面EFG所成角的正弦值， (1)解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系， 则B(4,3,0),E(2,0,4),F(2,3,4),G(0,3,3),∴.EF=(0,3,0),EB=(2,3,-4),FG=(-2,0,-1) EF =3b =0 设m=(a,b,c)是平面EBF的法向量，则 mEB=2a+3b-4c=0' 令a=2,则b=0,c=1, ∴.而=(2,0,1)是平面EBF的一个法向量， 易知FG=-m,∴.FG也是平面EBF的一个法向量，∴.GF⊥平面EBF; (2)由(1)中建立的空间直角坐标系，可得FG=(-2,0,-1),BG=(-4,0,3),EF=(0,3,0), 设平面EFG的法向量为n=（x,,), 则 元F=3y=0。,令x=1,则=-2)=0， 7FG=-2x-2=0 ∴.方=(1,0，-2)是平面EFG的一个法向量， 设直线BG与平面EFG所成的角为， 则sna=-oG,列- BG列_10_25 BG· 司5xV55，·BG与平面EFG所成角的正弦值为25 11.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,PA=2, AB=BC=1,AD=2,M是PD的中点. (I)求证：CM//平面PAB; M (2)若AB⊥AD,(i)求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； (i)在线段BD上是否存在点Q,使得点D到平面PAQ的距 离为1？若存在，求出器的值：若不存在，诗说明理由。 I1.(I)取PA中点N,连接BN,MW,因为M为PD中点，所以WI/AD,且MW=)4D=1, 又BC=1,BC//AD,所以BCI/MN,BC=MN, 所以四边形BCMN为平行四边形，即CM/BN, 又BNC平面PAB,CMt平面PAB,所以CMI/平面PAB; (2)()因为PA⊥平面ABCD,且AB⊥AD,以点A为原点，建立所示空间直角坐标系： 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(11,0),D(0,2,0),P(0,0,2), 所以AB=(1,0,0),AP=(0,0,2),PD=(0,2,-2),CD=（-11,0), 因为PA⊥平面ABCD,PAC平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABCD, 又因为平面PABO平面ABCD=AB,AB⊥AD,ADC平面ABCD, 所以AD⊥平面PAB,所以平面PAB的一个法向量为AD=(O,2,O), PD.n=2b-2c=0 设平面PCD的法向量为n=(a,b,c),则 CD.i=-a+b=0 2 不妨取a=1,则n=1,1,1),则cos AD,i= 5 2V1+1+1 3 所以平面PB与平面QD夹角的正弦值为，-C停-5： (i)存在点Q满足题意，易知BD=(-1,2,0), 假设存在点Q满足题意，设BQ=1BD=(-,2入，0)(0≤≤1)， 所以Q(1-入，2入，0)，AQ=(1-入，2,0)， AP.m=2:=0 设平面PAQ的法向量为m=(x,y,=),则 AQ.m=1-2)x+2y=0'卡B 令x=2入，则m=(2,入-1,0)， ADm 2(2-1 所以点D到平面PAQ的距离d= =1,化简可得12+62-3=0， m V(2)2+(2-1)2 解得元=-3+25或元=3-2N5(舍去)，即B0=-3+25. BD 12.如图，在矩形CDEF中，CD=1,DE=2,A,B分别是DE,CF的中点，点P,Q分别是对 角线AC,BE上的动点（不包括端点），且 CP=BQ=a(0<a<N2),将四边形ABCD沿AB B 翻折，使平面ABCD⊥平面ABFE. (I)求证：BD⊥平面AEC; (2)求线段P9的长（用a表示）： (3)当线段PQ的长最小时，求平面PQA与平面 AEC夹角的余弦值. 12.(1)证明：在矩形CDEF中，CD=1,DE=2,点A,B分别是DE,CF的中点， 所以四边形ABCD和EFBA是全等的正方形，所以BD⊥AC,AE⊥AB, 因为平面ABCD⊥平面ABFE,平面ABCD⌒平面ABFE=AB,AEC平面ABFE, 所以AE⊥平面ABCD,因为BDC平面ABCD,所以AE⊥BD, 又因为BD⊥AC,AEOAC=A,AE,ACC平面AEC,所以BD⊥平面AEC; (2)以B为原点，BA,BF,BC所在直线分别为x轴、y轴、：轴，建立如图所示的空间直 角坐标系，则B(0,0,0),A(1,0,0),E(1,1,0),F(0,1,0),C(0,0,1),D(1,0,1), 则CA=(1,0,-1),CB=(0,0,-1),BE=(1,1,0),因为CP=BQ=a, 所以=a-经），吧=旺0 则西-c+m蹈0要小 所以p网-+(-)-G-a+i0<月)， D 所以线段Pe的长为va2-V2a+1(0<a<√2)； 3》因为F网--a1-a+，所以当a=时，线段P0最， 2 此时rQ分别为线段4c,E的中点，，P0-(0分司》，则0-(2号0， P0-y- 2=0 21 设方=（x,y,)是平面P9A的一个法向量，则 ,令x=1,则y=2=1, A0=-x+ 1 1 22 y=0 所以平面PQA的一个法向量为方=(1,1,1)，由(1)知，BD=(1,0,1)为平面AEC的一个法 BD 向量，则os<元D 2 D 所以平面PQ,A与平面4EC夹角的余弦值为V6 2026高二下数学期末专题复习——立体几何 班级：___________姓名：___________学号：___________ 一、单选题 1．点关于坐标平面对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．如图，在空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（     ） A． B． C．3 D． 5．在空间直角坐标系中，已知点，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 6．下列命题正确的有（    ）A．若向量，满足，，则向量，的夹角是钝角 B．若向量组是空间的一个基底，则向量，，中不能有向量为零向量 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则与平面所成角的余弦值为 D．已知向量，，则向量在向量上的投影向量是 三、填空题 7．已知三棱锥中，平面的一个法向量为，若，则向量在法向量上的投影向量为____________． 8．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量的坐标为，直线的一个方向向量的坐标为，则直线与平面所成角的余弦值为__________. 四、解答题 9．如图，在直三棱柱中，是中点. (1)求证：平面； (2)若，且， ①求平面与平面所成锐二面角的余弦值. ②求点到平面的距离. 10．如图，长方体中，，，分别为的中点，在线段上，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 11．如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若，（i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 12．如图，在矩形中，，分别是的中点，点分别是对角线上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面． (1)求证：平面； (2)求线段的长（用表示）； (3)当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2026高二下数学期末专题复习——立体几何》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A C B D D BD BD 1．A 【详解】点A的坐标中横、竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数即得的坐标为． 2．C 【详解】由题意可得，则． 3．B 【分析】由向量的线性运算结合条件即得. 【详解】. 故选：B 4．D 【分析】由向量法求点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题， 所以点到直线的距离为. 5．D 【详解】由题设有，设平面的法向量为， 则，故，取， 而，故点到平面的距离为. 6．BD 【分析】利用向量数量积的定义举反例排除A项；根据空间的基底定义即可判断B项；利用空间向量的夹角公式计算判断C项；根据投影向量的定义计算判断D项. 【详解】对于A，若，反向，满足，但向量，的夹角不是钝角，故A错误； 对于B，假设，，中有向量为零向量，则3个向量共面，则不能作为空间的基底，故B正确； 对于C，设与所成角为，则，即与所成角的正弦值为，故C错误； 对于D，向量在向量上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 7． 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量，，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 8． 【分析】利用向量的夹角公式求，再利用平方关系求即可. 【详解】设平面的一个法向量为，直线的一个方向向量， 设直线与平面所成角为，所以， 所以， 故答案为：. 9．(1)证明见解析； (2)；. 【分析】（1）连接交，利用中位线的性质判定线线平行，再证线面平行即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角及点面距离即可. 【详解】（1）如图所示，连接交于F点，连接， 由三棱柱的特征可知侧面是平行四边形，则是的中点， 又是中点. 则， 因为平面平面，平面平面， 所以平面    （2）由已知可得底面，，所以可以为中心建立空间直角坐标系，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，即， ①易知是平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为， 则； ②易知，则点到平面的距离. 10．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量证明线面垂直即可； （2）求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法计算线面角即可． 【详解】（1）解：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则， ∴， 设是平面的法向量， 则，令，则， ∴是平面的一个法向量， 易知，∴也是平面的一个法向量， ∴平面； （2）由（1）中建立的空间直角坐标系，可得， 设平面的法向量为， 则，令，则， ∴是平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则， ∴直线与平面所成角的正弦值为． 11．(1) 取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，所以平面； (2)（i）（ii）存在， 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值； （ii）设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【详解】（1）略 （2）（i）因为平面，且， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 因为平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为； （ii）存在点满足题意， 易知， 假设存在点满足题意，设， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以点到平面的距离，化简可得， 解得或（舍去），即. 12．(1)证明见解析 (2)； (3)． 【分析】(1) 要证明 平面 ，需根据线面垂直判定定理，证明 垂直于平面 内的两条相交直线.由正方形性质可得 ，再结合面面垂直的性质证明 平面 ，得到 ，即可满足判定条件. (2) 以 为原点建立空间直角坐标系，写出各顶点坐标，根据 将点 、 的坐标用参数 表示，通过向量模长公式即可求出 的长度表达式. (3) 先对 长度的表达式配方，求出 最短时对应的 值，确定此时 、 的坐标，再分别求出平面 与平面 的法向量，利用空间向量夹角公式计算两法向量夹角的余弦值，取绝对值即为两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：在矩形中，，点分别是的中点， 所以四边形和是全等的正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面； （2）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 则 ， ， ， 因为， 所以 ， ， 则 ， 所以 ， 所以线段的长为 ； （3）因为， 所以当时，线段最短， 此时分别为线段的中点， ， ， 则 ， 设是平面的一个法向量， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 由（1）知， 为平面的一个法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 答案第8页，共8页 答案第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $