第02讲 降次---解一元二次方程（暑假预习） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第02讲 降次---解一元二次方程 （4大考点9大题型） 学习目标 1．理解一元二次方程的解法——配方法．会用开平方法解形如(x十m)＝n(n0)的方程． 2．理解一元二次方程的求根公式的推导，会用求根公式解一元二次方程 3．会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。 考点整理 一、一元二次方程的解法 1．直接开方法解一元二次方程： 　　(1)直接开方法解一元二次方程： 　　　 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 　　(2)直接开平方法的理论依据： 　　　 平方根的定义. 　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 　　　 ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根； 　　　 　若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 　　　 　若，则方程无实数根． 　　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 　　　　 . 要点： 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 2．配方法解一元二次方程： 　　(1)配方法解一元二次方程： 　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. 　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　　①把原方程化为的形式； 　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 二、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 三、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 　一元二次方程，当时，. 2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． 　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根； 　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根； 　　　 ③当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤 　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： 　　　 ①把一元二次方程化为一般形式； 　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）； 　　　 ③求出的值； 　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解； 　　　 　若，则原方程无实根. 要点： （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. （2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：. ② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：. ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根. 四、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 　　（1）将方程右边化为0； 　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积； 　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 题型归纳 【题型1 解一元二次方程---直接开平方法】 1．解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 开平方得 解得，； （2）解：， 移项得 ， 配方，两边同时加得 ， 整理得 ， 开平方得 ， 解得，． 2．若，该方程的解为______． 【答案】 ， 【详解】解： 或 ∴，． 3．解方程： 【答案】， 【分析】利用直接开平方法得出两个一元一次方程，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解： ∴， 则或， 解得：，． 4．方程的根是________． 【答案】 【分析】等式两边同时除以，将未知数的系数化为1，再根据乘方的计算即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或（舍去）， ∴ ． 【题型2 解一元二次方程---配方法】 5．将方程化为的形式，n的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】通过配方将原方程化为题目要求的形式，即可得到的值. 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， 给方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，得， 整理得 ， 对比，可得. 6．解方程：． 【答案】， 【分析】根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ． ， ，． 7．用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【答案】 【分析】先把方程的常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，即可得到要求形式的结果． 【详解】解：， ， ， 即． 8．用配方法解方程，变形后结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵配方法需要在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程为，一次项系数为，一半的平方为 ， ∴方程两边同时加，得， 整理得. 【题型3 配方法的应用】 9．将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 【答案】 【分析】用配方法对二次代数式变形，根据完全平方式的非负性即可求出代数式的最小值． 【详解】解：对进行配方， ， ， 因此该代数式的最小值为． 10．若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 【答案】/ 【分析】利用已知条件对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 【详解】解：，且都不为， ， ， 设则，原式， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 11．一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②，则；③若有且只有一个的值，使代数式的值为0，则；④若，则的值不可能是．其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】①④ 【分析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故正确； ②∵， ∴， 解得：， ∴；故错误； ③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴；故错误； ④当，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，所以c的值不可能是，说法正确； 综上所述：正确的结论有①④ 12．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完美数的定义变形成，即可得到答案； （2）将根据完全平方公式进行配方即可； （3）将式子化简成，根据“完美数”的定义得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 其中只有是两个平方数的和， ； （2）解： ， ， ； （3）解：， 要使S对任意整数x, y都为“完美数”，则， 解得． 【题型4 根据判别式判断根的情况】 13．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，只需计算根的判别式的值与0的大小关系即可判断方程根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程 可得 ，，， ， ∴ 方程有两个不相等的实数根 14．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 【答案】D 【详解】解：由题意，可得， ∴该方程有两个实数根． 15．当时，关于x的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，根据的条件推导判别式的符号即可得到结论． 【详解】解：， 整理得，， ∴， 又∵， ∴，即， ∴原方程没有实数根． 16．关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可判断根的情况． 【详解】解：∵ 对于一元二次方程 ，，，， ∴， ∵ ， ∴， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 【题型5 根据根的情况求参数】 17．若关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 【答案】/0.25 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得，再求出解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 18．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程需满足二次项系数不为0，且判别式大于等于0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根 ∴，解得且． 综上，的取值范围是且． 19．若关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论，分别根据方程有实数根求解，再综合得到的取值范围即可． 【详解】解：当时，原方程为， 解得：，方程有实数根，符合题意； 当时，方程是一元二次方程， ∵一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得且； 综上所述：的取值范围是． 20．若关于方程有且只有一个实数根，则实数的值是（     ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需分类讨论方程的类型，结合一元一次方程，一元二次方程根的概念求解，注意一元二次方程中两个相等的实数根仍属于两个根。 【详解】∵ 题目未明确方程为一元二次方程，需对二次项系数分类讨论， 当时，原方程化简为，属于一元一次方程，有且只有一个实数根，符合题意， 当时，原方程是一元二次方程，即使判别式，方程也只有两个相等的实数根，并非一个实数根，不符合题意， ∴ 只有满足条件． 【题型6 公式法求一元二次方程的根】 21．解下列方程： (1)(配方法)； (2)(公式法)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 22．已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求 的值． 【答案】(1)证明：方程为一元二次方程，故即， 判别式， 方程总有两个实数根． (2)或 【分析】（1）证明即可； （2）根据求根公式，表示出两个根，利用整数的性质，求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：由求根公式得      计算得，， 两根均为整数，为整数， ， 解得或 ． 23．方程的正根介于正整数与之间，则________． 【答案】2 【分析】先求解方程得到正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：， ∴ ， ∴方程的正根为， ， ， ，则． 24．用公式法解方程：． 【答案】 ， 【分析】找准方程各项系数，正确计算判别式后代入求根公式求解即可； 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴代入求根公式得， ∴，． 【题型7 因式分解法解一元二次方程】 25．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得，； （2）解：， ， ， ， 解得. 26．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将原方程转化为，然后利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：∵， ∴，即， ∴或， 解得：，． 27．小明同学解方程：的过程如下： 小明：两边同除以，得，第一步 则．第二步 你认为小明的解法是否正确？若不正确，从第__________步开始出现错误；并写出你的解答过程． 【答案】解：小明的解法不正确，从第一步开始出错． 正确解答过程如下： 原方程为， 移项，得， 提取公因式，得， 整理得， 则 或 ， 解得，． 【分析】小明的错误是忽略了可能为0，等式两边不能同时除以值可能为0的式子，直接除以会漏掉这个根，正确方法为移项后用因式分解法求解． 【详解】略． 28．用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据方程特征选择合适方法求解，整理一般的形式，可以因式分解就用因式分解法求解，无法直接因式分解，就选用求根公式法求解即可． 【详解】（1）解： 代入求根公式得 ∴， （2）解： 整理得 因式分解得 ∴或 解得， 【题型8 换元法解一元二次方程】 29．（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）9或；（2）1 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，完全平方公式，幂的运算，掌握通过换元将复杂方程转化为简单方程，利用整体思想简化计算是解题的关键． （1）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，因式分解求解； （2）设，将原方程转化为关于的完全平方式，求解后计算幂的值． 【详解】解：（1）设， 则原方程可化为， 因式分解，得， 解得，， 的值为9或． （2）根据题意，设， 代入原方程，得，即， 解得，即， ． 30．关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 【答案】， 【分析】此题主要考查利用整体代换思想解方程．熟练掌握该知识点是关键；通过观察方程结构，可将第二个方程中的看作一个整体，则该整体的值应等于第一个方程的解，从而求出的值． 【详解】解：关于的方程的解是，，，均为常数，， 方程变形为， 即此方程中或， 解得或． 故答案为：，． 31．已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 通过变量替换，令，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于的方程． 【详解】令，则方程化为, ∵方程的解为，， ∴或， ∴或， 解得或 ∴新方程的解为， 故选：A． 32．阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，换元法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，模仿题干解题方法，进行计算，即可作答． （2）先整理得，则，再得，解得，，再逐个分析检验，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则， 原方程化为， ∴， 解得，．当时，无意义，舍去； 当时，，解得， ∴原方程的解为，． （2）解：依题意，， 设， 原方程化为， ∴， ∴， 解得，． 当时，， ∴， 当时，， ∴无意义，舍去； 综上：． 【题型9 解分式方程（化为一元二次方程）】 33．方程的解为________． 【答案】 【分析】把分式方程转化为一元二次方程进行求解，需要对根进行检验． 【详解】， ， ， ， ， ， 解得：， 检验：当时，，是增根，舍去， 当时，，是原分式方程的根， 方程的解为． 34．方程的根是______． 【答案】 【详解】解：方程两边同乘得， 整理得， 解得，， 经检验，使原方程分母为0，是增根，舍去，是原方程的根. 35．解方程：． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，则是增根，舍去； 当时，，满足方程， ∴原方程的解为． 36．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 【答案】 【分析】将代入原方程，把原方程转化为含的分式方程，再去分母整理即可得到关于的整式方程． 【详解】解：设，则，， 原方程可化为， 两边同时乘以得， 整理得， 得到关于的整式方程是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 根与系数的关系、判别式的应用 （2大考点2大题型） 学习目标 1．探索一元二次方程的根与系数的关系． 2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题． 重点：一元二次方程根与系数的关系。 难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。 考点整理 一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 二、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 题型归纳 【题型1 根据根的判别式判断根的情况】 1．一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【分析】求出判别式Δ＝b2﹣4ac，判断其的符号就即可． 【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17＞0， ∴2x2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根， 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根是解决问题的关键． 2．已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值． 【分析】（1）计算根的判别式的值得到Δ＝（a﹣2）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）利用因式分解法解方程得到x1＝1，x2＝a﹣1，根据题意得a为整数，a﹣1＝2×1或1＝2（a﹣1），然后解一次方程得到a的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣a）2﹣4（a﹣1） ＝a2﹣4a+4 ＝（a﹣2）2≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：x2﹣ax+a﹣1＝0． （x﹣1）[x﹣（a﹣1）]＝0， x﹣1＝0或x﹣（a﹣1）＝0， ∴x1＝1，x2＝a﹣1， ∵方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍， ∴a为整数，a﹣1＝2×1或1＝2（a﹣1）， 解得a＝3或a＝（舍去）， ∴a的值为3． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 3．下列方程没有实数根的是（　　） A．x2﹣x﹣1＝0 B．x2﹣6x+5＝0 C．x2﹣3x+3＝0 D．x2+2x+2＝0 【分析】根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac，逐个进行判断即可． 【解答】解：在方程x2﹣x﹣1＝0中，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意； 在方程x2﹣6x+5＝0中，Δ＝（﹣6）2﹣4×5＝16＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意； 在方程中，Δ＝＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，故C选项不符合题意； 在方程x2+2x+2＝0中，Δ＝22﹣4×2＝﹣4＜0， ∴该方程没有实数根，故D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的符合与方程解的个数之间的关系是解题的关键． 4．已知关于x的方程k2x2﹣2（k+1）x+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为符合条件的最小整数，求此方程的根． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k2≠0且Δ＝4（k+1）2﹣4k2≥0，然后解两个不等式，求出它们的公共部分即可； （2）直接得出k的值，进而解方程得出答案． 【解答】解：（1）根据题意得k2≠0且Δ＝4（k+1）2﹣4k2＝8k+4≥0， 解得：k≥﹣且k≠0； （2）∵k≥﹣且k≠0，k为符合条件的最小整数， ∴k＝1， 故x2﹣4x+1＝0， 则x2﹣4x+4＝﹣1+4， 故（x﹣2）2＝3， 则x﹣2＝±， 解得：x1＝2+，x2＝2﹣． 【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0，方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0，方程没有实数根． 5．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围． 【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案． （2）根据因式分解法求出两根，然后列出不等式即可求出答案． 【解答】解：（1）由题意可知：Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2 ∵（m﹣2）2≥0， ∴方程总有两个实数根． （2）由题意可知：x＝m﹣1或x＝1 ∵方程有一个根为负数， ∴m﹣1＜0． ∴m＜1． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 【题型2 根与系数的关系】 6．若方程ax2+bx+c＝0（其中a，b，c为常数且a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝　﹣　，x1x2＝　　．（用a，b，c表示） 【分析】利用根与系数的关系可得出：x1+x2＝﹣，x1x2＝． 【解答】解：∵x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣，x1x2＝． 故答案为：﹣；． 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键． 7．关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是﹣1，则它的另一个根是 　3　． 【分析】设方程x2+mx﹣3＝0的两根为α、β，由根与系数的关系可得出α•β＝﹣3，结合α＝﹣1即可求出β值． 【解答】解：设方程x2+mx﹣3＝0的两根为α、β， 则有：α•β＝﹣3， ∵α＝﹣1， ∴β＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系得出α•β＝﹣3．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程的系数结合根与系数的关系得出两根之积是关键． 8．若m，n是方程x2+2021x﹣2022＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值为 　1　． 【分析】利用根与系数的关系可得出m+n＝﹣2021，mn＝﹣2022，再将其代入m+n﹣mn中即可求出结论． 【解答】解：∵m，n是方程x2+2021x﹣2022＝0的两个实数根， ∴m+n＝﹣2021，mn＝﹣2022， ∴m+n﹣mn＝﹣2021﹣（﹣2022）＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键． 9．已知方程x2﹣3x+m＝0的一个根是x1＝1，求方程的另一个根x2． 【分析】利用两根之和等于﹣，即可得出关于x2的一元一次方程，解之即可得出x2的值． 【解答】解：依题意得：x1+x2＝3， 即1+x2＝3， 解得：x2＝2． ∴方程的另一个根x2＝2． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键． 10．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根； （2）若x1，x2是原方程的两根，且x12+x22＝2，求m的值． 【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案． （2）根据根与系数的关系以及配方法即可求出答案． 【解答】解：（1）证明：∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+2） ＝（m+1）2， ∵无论m取何值，（m+1）2≥0， ∴原方程总有两个实数根． （2）∵x1，x2是原方程的两根， ∴x1+x2＝﹣（m+3），x1x2＝m+2， ∵x12+x22＝2， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝2， ∴代入化简可得：m2+4m+3＝0， 解得：m＝﹣3或m＝﹣1 【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 11．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）． （1）若它的一个实数根是方程2（x﹣1）﹣4＝0的根，则m＝　1　，方程的另一个根为 　x＝0　； （2）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值； （3）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求m+n的最小值． 【分析】（1）两个方程的根相同，把（1）中的方程解出来的根代入题干的方程中求m即可； （2）两个方程里面含有两个未知数，解决方法是消元； （3）利用题干和（3）中的两个方程消去里面的x，得到m和n的关系式，从而构造出新的函数关系，求最小值． 【解答】解：（1）解2（x﹣1）﹣4＝0得：x＝3， 将x＝3代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得：m＝1， 将m＝1代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得：x＝3或x＝0， ∴另一个解为x＝0， 故答案为1；x＝0． （2）由2（x﹣m）﹣4＝0得：x＝2+m， 将x＝2+m代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得（2+m﹣1）（2+m﹣2）＝m+1， 解得：m＝1或m＝﹣1， 答：m的值为1或﹣1． （3）由2（x﹣n）﹣4＝0得：x＝2+n， 将x＝2+n代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得（2+n﹣1）（2+n﹣2）＝m+1， 整理得：m＝n2+n﹣1， ∴m+n＝n2+2n﹣1＝（n+1）2﹣2≥﹣2， 当n＝﹣1时，m+n有最小值﹣2， 答：m+n的最小值为﹣2． 【点评】本题考查一元二次方程含参及二次函数最值问题，可将m或n视为新的未知数，利用消元思想，将问题转化为学过的一元问题，属于基础题． 12．已知方程的两根是、，则__________． 【答案】/ 【分析】利用一元二次方程根和系数的关系可得，，再把分式通分后代入计算即可求解． 【详解】解：∵方程的两根是、， ∴，， ∴． 13．已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和． 【详解】解：由题意得，在一元二次方程中，． 14．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 15．若点与点关于y轴对称，则下面关于x的一元二次方程根的说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．是原方程的一个根 C．两根之和为 D．两根之积为 【答案】D 【分析】先根据关于y轴对称的点的坐标特征求出m的值，再代入一元二次方程，结合一元二次方程根的判别式和根与系数的关系判断各选项即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称，关于轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数 ∴ 将代入方程得 方程中，， ∵ ∴方程有两个不相等的实数根，A错误； 将代入方程，左边 ∴不是原方程的根，B错误； 对于一元二次方程，两根之和为 ∴两根之和为 ，C错误； 对于一元二次方程，两根之积为 ∴ 两根之积为 ，D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 根与系数的关系、判别式的应用 （2大考点2大题型） 学习目标 1．探索一元二次方程的根与系数的关系． 2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题． 重点：一元二次方程根与系数的关系。 难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。 考点整理 一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 二、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 题型归纳 【题型1 根据根的判别式判断根的情况】 1．一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 2．已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值． 3．下列方程没有实数根的是（　　） A．x2﹣x﹣1＝0 B．x2﹣6x+5＝0 C．x2﹣3x+3＝0 D．x2+2x+2＝0 4．已知关于x的方程k2x2﹣2（k+1）x+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为符合条件的最小整数，求此方程的根． 5．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围． 【题型2 根与系数的关系】 6．若方程ax2+bx+c＝0（其中a，b，c为常数且a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝　　，x1x2＝　　．（用a，b，c表示） 7．关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是﹣1，则它的另一个根是 　　． 8．若m，n是方程x2+2021x﹣2022＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值为 　　． 9．已知方程x2﹣3x+m＝0的一个根是x1＝1，求方程的另一个根x2． 10．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根； （2）若x1，x2是原方程的两根，且x12+x22＝2，求m的值． 11．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）． （1）若它的一个实数根是方程2（x﹣1）﹣4＝0的根，则m＝　1　，方程的另一个根为 　　； （2）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值； （3）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求m+n的最小值． 12．已知方程的两根是、，则__________． 13．已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 14．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 15．若点与点关于y轴对称，则下面关于x的一元二次方程根的说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．是原方程的一个根 C．两根之和为 D．两根之积为 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 降次---解一元二次方程 （4大考点9大题型） 学习目标 1．理解一元二次方程的解法——配方法．会用开平方法解形如(x十m)＝n(n0)的方程． 2．理解一元二次方程的求根公式的推导，会用求根公式解一元二次方程 3．会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。 考点整理 一、一元二次方程的解法 1．直接开方法解一元二次方程： 　　(1)直接开方法解一元二次方程： 　　　 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 　　(2)直接开平方法的理论依据： 　　　 平方根的定义. 　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 　　　 ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根； 　　　 　若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 　　　 　若，则方程无实数根． 　　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 　　　　 . 要点： 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 2．配方法解一元二次方程： 　　(1)配方法解一元二次方程： 　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. 　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　　①把原方程化为的形式； 　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 二、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 三、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 　一元二次方程，当时，. 2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． 　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根； 　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根； 　　　 ③当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤 　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： 　　　 ①把一元二次方程化为一般形式； 　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）； 　　　 ③求出的值； 　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解； 　　　 　若，则原方程无实根. 要点： （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. （2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：. ② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：. ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根. 四、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 　　（1）将方程右边化为0； 　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积； 　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 题型归纳 【题型1 解一元二次方程---直接开平方法】 1．解方程 (1) (2) 2．若，该方程的解为______． 3．解方程： 4．方程的根是________． 【题型2 解一元二次方程---配方法】 5．将方程化为的形式，n的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．解方程：． 7．用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 8．用配方法解方程，变形后结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型3 配方法的应用】 9．将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 10．若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 11．一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②，则；③若有且只有一个的值，使代数式的值为0，则；④若，则的值不可能是．其中所有正确结论的序号是_____． 12．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 【题型4 根据判别式判断根的情况】 13．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 14．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 15．当时，关于x的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 16．关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【题型5 根据根的情况求参数】 17．若关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 18．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 19．若关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 20．若关于方程有且只有一个实数根，则实数的值是（     ） A．或 B． C． D． 【题型6 公式法求一元二次方程的根】 21．解下列方程： (1)(配方法)； (2)(公式法)． 22．已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求 的值． 23．方程的正根介于正整数与之间，则________． 24．用公式法解方程：． 【题型7 因式分解法解一元二次方程】 25．解方程： (1)； (2)． 26．解方程： (1)． (2)． 27．小明同学解方程：的过程如下： 小明：两边同除以，得，第一步 则．第二步 你认为小明的解法是否正确？若不正确，从第__________步开始出现错误；并写出你的解答过程． 28．用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 【题型8 换元法解一元二次方程】 29．（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 30．关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 31．已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 32．阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 【题型9 解分式方程（化为一元二次方程）】 33．方程的解为________． 34．方程的根是______． 35．解方程：． 36．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 学科网（北京）股份有限公司 $