第04讲 一元二次方程的应用（暑假预习）2026-2027学年人教版九年级数学上册

第04讲 一元二次方程的应用 （2大考点9大题型） 学习目标 1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤； 2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 考点整理 一．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 二．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 题型归纳 【题型1 传播问题】 1．某人患有甲型流感，经过两轮传染后共有36个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染个人，则根据题意可列方程_____． 2．冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后，共有144人患支原体肺炎，则每轮传染中平均一人传染_____人． 4．冬季流感频发，某公司有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论错误的是（    ） A．第1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可列方程 D．按照这样的传播速度，三轮后一共会有245人患流感 【题型2 增长率问题】 5．某厂家2026年月份销售的电车数量如图所示．若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（     ） A． B． C． D． 6．某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 8．某水泥厂一月份总产量为吨，第一季度的总产量为吨，若平均每月的增长率为，则可列方程为______． 【题型3 与图形有关的问题】 9．某人利用米长的墙为一边，用长米的竹篱笆作为另三边，围成一个面积为平方米的长方形菜园，长方形菜园的长和宽各是多少？ 10．如图，某中学课外兴趣活动小组准备围建一个面积为平方米的矩形苗圃园，其中一边靠米的墙，另外三边是周长为米的篱笆围成，则这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． 依题意可列方程为：___________________；其中x的取值范围为：______________________ 11．如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 12．如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________ 【题型4 数字问题】 13．如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（     ） 豆包 内容由AI生成 有没有这样一个数，先计算它的平方， 然后加上它的3倍，运算结果与这个 数的相反数减4相同． A． B． C． D．1 14．有一个正数m，m与1的和乘以m与1的差仍得m，则m的值为____． 15．如图，这是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，前n行的点数之和不能是以下哪个结果（   ） A．28 B．44 C．55 D．66 16．两个连续的偶数乘积为168，设较小的偶数为，可得方程为___________． 【题型5 营销问题】 17．某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 18．为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 19．某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 20．综合与应用 【问题情境】某农科院研制了一款优质新品种葡萄，并广泛种植．某葡萄种植基地2024年种植该品种葡萄，2026年该品种葡萄的种植面积达到 【提出问题】 (1)求这个基地年新品种葡萄种植面积的年平均增长率． 【问题拓展】 (2) 某超市调查发现，当该品种葡萄的售价为每千克8元时，每周能售出，每千克售价每上涨1元，每周销售量将减少．已知该品种葡萄的进价为每千克6元，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品种葡萄售价不能超过每千克15元．要使每周销售该品种葡萄的利润为2240元，则该品种葡萄每千克售价应上涨多少元？ 【题型6 动态几何问题】 21．如图，平行四边形中，，，点以的速度从点 出发沿向点运动，同时点以的速度从点 出发沿向点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为． (1)求平行四边形的面积； (2)当的面积为平行四边形的面积的时，求的值； (3)求面积的最大值． 22．在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为． (1)当时，求长． (2)当的面积为时，求t的值． (3)当时，求t的值． 23．如图，在中，，，，，垂足为．甲虫由点以的速度沿向点爬行，同时乙虫由点以的速度沿向点爬行，当乙虫到达目的地点时，甲乙两虫停止爬行． （1）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形． （2）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形的面积等于． 24．如图，在中，，，．点从点出发向终点以的速度移动，点从点出发向终点以的速度移动，，两点同时出发，其中一点到达终点则两点同时停止运动．当的面积等于时，两点运动了（    ） A． B． C． D．或 【题型7 工程问题】 25．全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 26．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 27．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 28．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 【题型8 行程问题】 29．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 30．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 31．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 32．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系为：，那么行驶需要多长时间？ 33．2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． B． C． D． 【题型9 握手、循环赛问题】 34．四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 35．某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有_____人． 36．某学校进行初二年级篮球比赛，赛制为单循环（两支队伍只赛一场），总共进行了45场比赛，那么这个学校初二年级有__________个班级． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 一元二次方程的应用 （2大考点9大题型） 学习目标 1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤； 2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 考点整理 一．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 二．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 题型归纳 【题型1 传播问题】 1．某人患有甲型流感，经过两轮传染后共有36个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染个人，则根据题意可列方程_____． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据有一个人患流感，经过两轮传染后共有36个人患流感，列出一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 2．冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据传染模型，每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以的平方，即可作答． 【详解】解：∵初始患病人数为1， ∴第一轮传染后，患病人数为 ∴第二轮传染时，有人，每人传染x人， ∴ 新传染人数为， ∴第二轮后总患病人数为， 又∵ 两轮后共有16人患流感， ∴， 故选：A 3．秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后，共有144人患支原体肺炎，则每轮传染中平均一人传染_____人． 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一人传染x人，根据两轮传染后总患病人数列出方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染x人． 经过第一轮传染后，患病人数为； 经过第二轮传染后，患病人数为． 根据题意，得， 解得，（舍去）， 故每轮传染中平均一人传染11人． 故答案为：11． 4．冬季流感频发，某公司有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论错误的是（    ） A．第1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可列方程 D．按照这样的传播速度，三轮后一共会有245人患流感 【答案】D 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出代数式和方程． 根据题意，列出代数式和方程，逐项进行分析即可． 【详解】解：A.∵ 每轮传染中平均一人传染人， ∴ 第一轮后患病人数为， 故A正确，不符合题意； B.∵ 第一轮后有人，每人传染人， ∴ 第二轮新增加 人， 故B正确，不符合题意； C.∵ 两轮后总患病人数为，且给定为 49， ∴ 列方程 ， 故C正确，不符合题意； D.解方程 ， 解得（舍去负值）， ∴ ， 三轮后总人数应为 ， 但D说245人，故错误，符合题意； 故选：D． 【题型2 增长率问题】 5．某厂家2026年月份销售的电车数量如图所示．若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知，3月销量为368，5月销量为450，且从3月份到5月份平均月增长率为， ∴可列方程：． 6．某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 7．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 根据题意得． 8．某水泥厂一月份总产量为吨，第一季度的总产量为吨，若平均每月的增长率为，则可列方程为______． 【答案】 【分析】先根据平均月增长率分别表示出二月和三月的产量，再根据第一季度总产量等于三个月产量之和列出方程即可． 【详解】解：∵一月份总产量为吨，平均每月的增长率为， ∴二月份的产量为吨 ，三月份产量为吨， ∴可列方程． 【题型3 与图形有关的问题】 9．某人利用米长的墙为一边，用长米的竹篱笆作为另三边，围成一个面积为平方米的长方形菜园，长方形菜园的长和宽各是多少？ 【答案】长方形菜园的长和宽分别是米和米 【分析】设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，由墙长为米，可得，根据长方形菜园的面积为20平方米，列方程解方程即可求解． 【详解】解：设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米， ∵墙长为米， ∴， 解得， ∵长方形菜园的面积为20平方米， ∴， 整理得， ∴， ∴（舍去，∵），， 当时，， ∴长方形菜园的长和宽分别是米和米， 答：长方形菜园的长和宽分别是米和米． 10．如图，某中学课外兴趣活动小组准备围建一个面积为平方米的矩形苗圃园，其中一边靠米的墙，另外三边是周长为米的篱笆围成，则这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． 依题意可列方程为：___________________；其中x的取值范围为：______________________ 【答案】 【分析】利用长方形的面积公式，依据已知条件，找出平行于墙的一边的长度，列出方程即可，再根据长方形的长度范围即可求出取值范围． 【详解】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，根据题意得， ， ，， ，， ． 11．如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 【答案】 【分析】根据题意，设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此列式求解即可． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：小路的宽是． 12．如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________ 【答案】 【分析】根据草坪的总面积为长为，宽为的长方形的面积，列出方程即可. 【详解】解：由题意，可列方程为. 【题型4 数字问题】 13．如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（     ） 豆包 内容由AI生成 有没有这样一个数，先计算它的平方， 然后加上它的3倍，运算结果与这个 数的相反数减4相同． A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】设这个数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个数为， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴这个数是 ． 14．有一个正数m，m与1的和乘以m与1的差仍得m，则m的值为____． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据方程的特点选择合适的求解方法．根据题意列出方程，解方程后根据正数条件确定解． 【详解】解：由题意，得． 整理得． 解得． 因为是正数， 所以． 故答案为：． 15．如图，这是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，前n行的点数之和不能是以下哪个结果（   ） A．28 B．44 C．55 D．66 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，求出前n行的点数之和是解题的关键． 先求出前n行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为28、44、55、66时n的值，再进行判断即可解答． 【详解】解：由题意可得：前n行的点数之和为， A．当前n行的点数之和为28，则，解得：或（不合题意舍去），故A不符合题意； B．当前n行的点数之和为44，则，解得：都不是整数，不可能，故B符合题意； C．当前n行的点数之和为55，则，解得：或（不合题意舍去），故C不符合题意； D．当前n行的点数之和为66，则，解得：或（不合题意舍去），故D不符合题意． 故选：B． 16．两个连续的偶数乘积为168，设较小的偶数为，可得方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了列一元二次方程，设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据“两个连续的偶数乘积为168”列出方程即可． 【详解】解：设较小的偶数为，则较大的偶数为， 由题意得：， 故答案为：． 【题型5 营销问题】 17．某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用总盈利=每箱盈利×每天销售量的关系，分别表示出降价后每箱的盈利和每天的销售量，即可列出方程． 【详解】设每箱降价元， 原来每箱盈利元，降价元后，每箱盈利为元， 原来每天售出箱，每降价元可多销售箱，降价元后，每天销售量为箱， ∵要求总盈利为元， ∴依题意可列方程为． 18．为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】(1) (2)该款文创产品每件的售价为35元． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 19．某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际利润问题，解题核心是利用“总盈利等于每枚徽章盈利乘以销售量”的关系，根据降价情况分别表示出降价后的每枚盈利和销售量，即可列出方程． 【详解】解：∵设每件商品降价元， ∴降价后每枚徽章的盈利为元， ∵每降价元平均每天可多售出枚， ∴降价元后，每天的销售量为枚， 又∵平均日盈利为元， ∴可列方程为． 20．综合与应用 【问题情境】某农科院研制了一款优质新品种葡萄，并广泛种植．某葡萄种植基地2024年种植该品种葡萄，2026年该品种葡萄的种植面积达到 【提出问题】 (1)求这个基地年新品种葡萄种植面积的年平均增长率． 【问题拓展】 (2)某超市调查发现，当该品种葡萄的售价为每千克8元时，每周能售出，每千克售价每上涨1元，每周销售量将减少．已知该品种葡萄的进价为每千克6元，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品种葡萄售价不能超过每千克15元．要使每周销售该品种葡萄的利润为2240元，则该品种葡萄每千克售价应上涨多少元？ 【答案】(1) (2)该品种葡萄每千克售价应上涨6元 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据两年种植面积的关系列方程求解即可； （2）设每千克售价上涨y元，先求出y的取值范围，再根据总利润列方程求解即可． 【详解】（1）解：设年平均增长率为x， ∵某葡萄种植基地2024年种植该品种葡萄，2026年该品种葡萄的种植面积达到， ∴， 解得：（负值舍去）； （2）解：设每千克售价上涨y元，则每千克利润为元，每周销售量为， ∵该品种葡萄售价不能超过每千克15元，售价应上涨， ∴， 解得， ∵每周销售该品种葡萄的利润为2240元， ∴， 解得：（舍去）， ∴该品种葡萄每千克售价应上涨6元． 【题型6 动态几何问题】 21．如图，平行四边形中，，，点以的速度从点 出发沿向点运动，同时点以的速度从点 出发沿向点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为． (1)求平行四边形的面积； (2)当的面积为平行四边形的面积的时，求的值； (3)求面积的最大值． 【答案】(1) (2)的值为4或 (3) 【分析】（1）过点作于点，由直角三角形的性质得出平行四边形的高，然后利用平行四边形公式求解； （2）首先求出的面积为，分点在线段上，点在线段上，点在线段上，点在线段上和点在线段上，点在线段上，三种情况计算即可； （3）根据题意分三种情况讨论，结合（2）表示出的面积，然后分别求出最大值比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为：； （2）解：由（1）知，平行四边形的面积为， 当的面积为平行四边形的面积的时， ∴的面积为， 当点在线段上运动秒时，点在上运动秒时，， ，，过点F作于点H， 同（1）可得，， ∴， ∴（舍）或，不符合题意； 当点在线段上时，点在上，，如图， ∴，即， ∴； 当点在线段上，点在线段上，， 如图，过点作交的延长线于点I，交于点J， 根据题意得，，， ∵四边形为平行四边形，， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵ ∴ 整理得， 解得，（舍去） 综上所述，的值为4或； （3）解：设的面积为S， 当点在线段上运动秒时，点在上运动秒时，， 由（2）得， ∴当时，S取得最大值为； 当点在线段上时，点在上，， 由（2）得， ∵ ∴S随t的增大而增大 ∴当时，S取得最大值为； 当点在线段上，点在线段上，， 由（2）得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即， 综上所述，面积的最大值为． 22．在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为． (1)当时，求长． (2)当的面积为时，求t的值． (3)当时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，，，根据勾股定理求解即可； （2）根据题意，，由列方程求解即可； （3）根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， ， ； （2）解：，，， ，， ， ； （3）解：由勾股定理，可得， 解得或， ， ． 23．如图，在中，，，，，垂足为．甲虫由点以的速度沿向点爬行，同时乙虫由点以的速度沿向点爬行，当乙虫到达目的地点时，甲乙两虫停止爬行． （1）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形． （2）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形的面积等于． 【答案】 5 或 7 或 6+ 【分析】（1）设运动x秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q，根据题意，得，，根据题意，分和时，两种情况求解即可． （2）利用分类思想，解方程计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设运动x秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q， 根据题意，得，， 当即时，点P在线段上，连接， 此时 ， ∵甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形， ∴， ∴， 解得； 当即时，此时点P在线段上， ∴ ， ∵甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形， ∴， ∴， 解得；不满足范围，舍去， 综上所述，在秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形． （2）设运动x秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q，根据题意，得，， 当点P在上时，此时 ， 根据题意，得， 即 ， 解得，； 当点P在上时，此时 ， 根据题意，得， 即 ， 整理，得， 解得， 故，（时间不能为负，舍去）； 此时， 综上所述，在5秒或7秒或秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形的面积等于． 24．如图，在中，，，．点从点出发向终点以的速度移动，点从点出发向终点以的速度移动，，两点同时出发，其中一点到达终点则两点同时停止运动．当的面积等于时，两点运动了（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设后，的面积等于，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设后，的面积等于． 由题意，得，，则． ， ， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 故当的面积等于时，两点运动了． 故选：A． 【题型7 工程问题】 25．全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 【答案】（1）；（2）该工厂引进了27条或13条生产线． 【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天 故答案为：； （2）根据题意，得， 解得，， 该工厂引进了27条或13条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 26．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 27．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 28．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 【答案】(1)300 (2)5 【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解； （2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意可得小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得： ， 解得：， 答：小型设备的使用时间为300小时； （2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时， 根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）． 即m的值为5． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【题型8 行程问题】 29．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，再进一步求解即可. （2）①利用列代数式即可； ②利用建立一元二次方程求解即可. 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：①这段时间内小球的平均速度； ②由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， ∴. 30．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 31．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解． （2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解． 【详解】（1）解：设小红的速度为，则小明的速度为， 依据题意列方程得，， ， ， 经检验，是原式方程的解． ． 小红的速度为，小明的速度为． 故答案为：；． （2）解：小明的速度为， 小明从A地道B地需要的时间为：． 小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里， ． 设B地到C地的距离为，依据题意列方程得， ， ， ， ， 或（舍去）． A地到C地所需要时间为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间． 32．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系为：，那么行驶需要多长时间？ 【答案】 【分析】根据路程和时间之间的关系，将s=200代入求出t即可． 【详解】∵行驶的路程和时间之间的关系为：， ∴将s=200代入得：， 解得：t1=-10（舍去），t2=． 答：行驶需要． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把s的值代入求解． 33．2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，属于握手问题，解题思路是先确定每人的握手次数，再去掉重复计算的部分，根据总握手次数列出方程． 【详解】解：∵设有人参加聚会， ∴每个人需要和除自身外的人握手， 又∵每两人之间仅握手1次，上述计算中每一次握手被重复计算了1次， ∴总握手次数为，结合题意总握手次数为次， 可得方程．故选C． 【题型9 握手、循环赛问题】 34．四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵共有支球队，每支球队需要和除自身外的支球队比赛， 又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为，已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 35．某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有_____人． 【答案】 【分析】设该小组共有人，每人向其余同学赠送一件礼物，可得每人赠送件礼物，根据总礼物数为件建立一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果． 【详解】解：设该小组有人，根据题意，得： ， 整理得， 因式分解得， 解得，， 因为人数为正整数，所以舍去， 即该小组有9人． 36．某学校进行初二年级篮球比赛，赛制为单循环（两支队伍只赛一场），总共进行了45场比赛，那么这个学校初二年级有__________个班级． 【答案】 【分析】设初二年级共有个班级，单循环赛制中，每支队伍需要和其余所有队伍各赛一场，每场比赛会被重复计算一次，因此总比赛场次为，列一元二次方程求解，取符合题意的正整数解即可得到结果． 【详解】解：设这个学校初二年级有个班级，则比赛总场次为， ，整理得， 因式分解得 ， 解得． 班级个数为正整数，不符合题意，舍去． 因此，即这个学校初二年级有个班级． 学科网（北京）股份有限公司 $