第01讲 一元二次方程的概念（暑假预习）2026-2027学年人教版九年级数学上册

第01讲 一元二次方程的概念 （3大考点5大题型） 学习目标 1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数。 2.理解一元二次方程的解的意义，并能判断是否是一元二次方程的解。 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点） 考点整理 一．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 二．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 三．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 题型归纳 【题型1 一元二次方程的定义】 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程的一次项系数是（    ） A． B． C． D． 3．用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．若关于x的方程是一元二次方程．则m的值为__________． 【题型2 化成一元二次方程的一般形式】 5．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 6．方程化为一般形式后，a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．一元二次方程的一次项系数是（二次项系数为正）（　　） A．2 B． C．4 D． 8．将一元二次方程化为一般式为______． 【题型3 判断是否是 一元二次方程的解】 9．已知关于的一元二次方程满足，那么下列四个判断中正确的是（     ） A．该方程一定有两个相等的实数根； B．该方程一定有两个不相等的实数根： C．该方程一定有一个实数根为； D．该方程一定有一个实数根为． 10．一元二次方程 的两根为，则 的值为______． 11．解方程：解一元二次方程时，小江同学的解法如表所示： 小江同学： 解：， 所以或， 所以，． (1)你认为是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）； (2)请选择合适的方法解原方程． 12．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【题型4 由一元二次方程的定义求参数】 13．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以为（     ） A． B． C．2 D．3 14．若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 15．我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 16．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【题型5 由一元二次方程的解求参数】 17．若2是方程的一个根，则c的值是（  ） A．6 B． C． D． 18．已知，是关于的一元二次方程两个实根，且满足，则的值为_______． 19．已知m是的一个解，则__________． 20．若关于x的一元二次方程的解是，则的值是________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 一元二次方程的概念 （3大考点5大题型） 学习目标 1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数。 2.理解一元二次方程的解的意义，并能判断是否是一元二次方程的解。 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点） 考点整理 一．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 二．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 三．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 题型归纳 【题型1 一元二次方程的定义】 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是二元一次方程，不是一元二次方程，故A不符合； ，当时，不是一元二次方程，故B不符合； 一元一次方程，不是一元二次方程，故C不符合； 符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故D符合． 2．一元二次方程的一次项系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，依据一元二次方程一般形式中各部分的定义确定一次项系数即可． 【详解】解：∵方程可变形为 ∴该方程的一次项系数是． 故选：B． 3．用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程一般形式中系数的识别，需注意符号和顺序．将方程与一元二次方程的一般形式对比，直接确定系数、、的值． 【详解】解：方程， 、、依次为，，， 故选：D． 4．若关于x的方程是一元二次方程．则m的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的二次项系数不能为0是解题的关键． 根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程． ∴且，解得∶． 故答案为：． 【题型2 化成一元二次方程的一般形式】 5．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将原方程化为一般形式，并通过乘以使二次项系数为1，从而得到一次项系数． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项得， 再乘以得 ， 此时二次项系数为1，一次项系数为2． 故答案为：2． 6．方程化为一般形式后，a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是熟记一元二次方程一般式的概念．将化为一般形式即可求解． 【详解】解：将化为一般形式为：， 由此可知：，，． 故选：C． 7．一元二次方程的一次项系数是（二次项系数为正）（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的问题，掌握二次项系数的定义是解题的关键．将方程化为标准形式（），即可确定一次项的系数． 【详解】解： 移项得：， ∴一次项为，因此一次项系数是， 故选B． 8．将一元二次方程化为一般式为______． 【答案】 【分析】先根据单项式乘多项式法则展开方程左边，再通过移项整理得到一元二次方程的一般式． 【详解】解： ， ， 移项，得 ． 【题型3 判断是否是 一元二次方程的解】 9．已知关于的一元二次方程满足，那么下列四个判断中正确的是（     ） A．该方程一定有两个相等的实数根； B．该方程一定有两个不相等的实数根： C．该方程一定有一个实数根为； D．该方程一定有一个实数根为． 【答案】C 【分析】本题利用一元二次方程根的定义，结合根的判别式判断各选项，代入的值结合已知条件即可得到结论． 【详解】解：∵ 把代入一元二次方程， 可得左边 ， 又∵ 已知， ∴ 左边=右边，即一定是该方程的一个实数根，因此C正确，D错误； 判断根的个数：由得， 根的判别式， 说明方程可能有两个相等实数根，也可能有两个不相等实数根，因此A、B错误． 综上，正确选项为C． 10．一元二次方程 的两根为，则 的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到及的值，代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴， ∴． 11．解方程：解一元二次方程时，小江同学的解法如表所示： 小江同学： 解：， 所以或， 所以，． (1)你认为是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）； (2)请选择合适的方法解原方程． 【答案】(1)不是原方程的解； (2)，． 【分析】（）根据方程解的定义，将代入原方程，比较左右两边的值是否相等即可判断； （）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：将代入得，左边，右边， ∵左边右边， ∴不是原方程的解； （2）解：， ， 或， ∴，． 12．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根． 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 【题型4 由一元二次方程的定义求参数】 13．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】一元二次方程有实数根需满足两个条件：一是二次项系数不为0，二是方程有实数根时判别式，据此求出的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴ ，即， 又∵ 方程有实数根， ∴ 判别式， ∵， ∴ ，解得， 综上，的取值范围是且， 选项A：，故该选项不符合题意； 选项B：，故该选项不符合题意； 选项C：，满足条件，故该选项符合题意； 选项D：，不满足，故该选项不符合题意． 14．若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 【答案】 【分析】一元二次方程需要满足两个条件：未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，据此列出条件即可求解出的值． 【详解】解：∵原方程是一元二次方程， ∴未知数最高次数满足，且二次项系数， 解得，即或， 由得， ∴． 15．我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【答案】C 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 16．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 1 【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，二次项系数不为，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 【题型5 由一元二次方程的解求参数】 17．若2是方程的一个根，则c的值是（  ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程得， 解得． 18．已知，是关于的一元二次方程两个实根，且满足，则的值为_______． 【答案】5 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，用含m的式子表示，求出的值，从而将已知条件转化为关于m的方程，求出m的值，再根据根的判别式求出m的取值范围，确定最终结果即可． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系，得，， 由根的判别式，可知， 解得或， ∴， 解得或， ∵， ∴不符合题意， ∴ ． 19．已知m是的一个解，则__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程解的定义，得到的值，再整体代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解 ：是的一个解 ， 将代入方程得 ， ∴， ∴原式． 20．若关于x的一元二次方程的解是，则的值是________． 【答案】2024 【分析】将代入原方程得到关于、的等式，整理得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴， 整理得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $