第03讲 根与系数的关系、判别式的应用（暑假预习）2026-2027学年人教版九年级数学上册

第03讲 根与系数的关系、判别式的应用 （2大考点2大题型） 学习目标 1．探索一元二次方程的根与系数的关系． 2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题． 重点：一元二次方程根与系数的关系。 难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。 考点整理 一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 二、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 题型归纳 【题型1 根据根的判别式判断根的情况】 1．一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 2．已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值． 3．下列方程没有实数根的是（　　） A．x2﹣x﹣1＝0 B．x2﹣6x+5＝0 C．x2﹣3x+3＝0 D．x2+2x+2＝0 4．已知关于x的方程k2x2﹣2（k+1）x+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为符合条件的最小整数，求此方程的根． 5．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围． 【题型2 根与系数的关系】 6．若方程ax2+bx+c＝0（其中a，b，c为常数且a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝　　，x1x2＝　　．（用a，b，c表示） 7．关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是﹣1，则它的另一个根是 　　． 8．若m，n是方程x2+2021x﹣2022＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值为 　　． 9．已知方程x2﹣3x+m＝0的一个根是x1＝1，求方程的另一个根x2． 10．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根； （2）若x1，x2是原方程的两根，且x12+x22＝2，求m的值． 11．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）． （1）若它的一个实数根是方程2（x﹣1）﹣4＝0的根，则m＝　1　，方程的另一个根为 　　； （2）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值； （3）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求m+n的最小值． 12．已知方程的两根是、，则__________． 13．已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 14．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 15．若点与点关于y轴对称，则下面关于x的一元二次方程根的说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．是原方程的一个根 C．两根之和为 D．两根之积为 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 根与系数的关系、判别式的应用 （2大考点2大题型） 学习目标 1．探索一元二次方程的根与系数的关系． 2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题． 重点：一元二次方程根与系数的关系。 难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。 考点整理 一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 二、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 题型归纳 【题型1 根据根的判别式判断根的情况】 1．一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【分析】求出判别式Δ＝b2﹣4ac，判断其的符号就即可． 【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17＞0， ∴2x2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根， 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根是解决问题的关键． 2．已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值． 【分析】（1）计算根的判别式的值得到Δ＝（a﹣2）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）利用因式分解法解方程得到x1＝1，x2＝a﹣1，根据题意得a为整数，a﹣1＝2×1或1＝2（a﹣1），然后解一次方程得到a的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣a）2﹣4（a﹣1） ＝a2﹣4a+4 ＝（a﹣2）2≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：x2﹣ax+a﹣1＝0． （x﹣1）[x﹣（a﹣1）]＝0， x﹣1＝0或x﹣（a﹣1）＝0， ∴x1＝1，x2＝a﹣1， ∵方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍， ∴a为整数，a﹣1＝2×1或1＝2（a﹣1）， 解得a＝3或a＝（舍去）， ∴a的值为3． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 3．下列方程没有实数根的是（　　） A．x2﹣x﹣1＝0 B．x2﹣6x+5＝0 C．x2﹣3x+3＝0 D．x2+2x+2＝0 【分析】根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac，逐个进行判断即可． 【解答】解：在方程x2﹣x﹣1＝0中，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意； 在方程x2﹣6x+5＝0中，Δ＝（﹣6）2﹣4×5＝16＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意； 在方程中，Δ＝＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，故C选项不符合题意； 在方程x2+2x+2＝0中，Δ＝22﹣4×2＝﹣4＜0， ∴该方程没有实数根，故D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的符合与方程解的个数之间的关系是解题的关键． 4．已知关于x的方程k2x2﹣2（k+1）x+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为符合条件的最小整数，求此方程的根． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k2≠0且Δ＝4（k+1）2﹣4k2≥0，然后解两个不等式，求出它们的公共部分即可； （2）直接得出k的值，进而解方程得出答案． 【解答】解：（1）根据题意得k2≠0且Δ＝4（k+1）2﹣4k2＝8k+4≥0， 解得：k≥﹣且k≠0； （2）∵k≥﹣且k≠0，k为符合条件的最小整数， ∴k＝1， 故x2﹣4x+1＝0， 则x2﹣4x+4＝﹣1+4， 故（x﹣2）2＝3， 则x﹣2＝±， 解得：x1＝2+，x2＝2﹣． 【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0，方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0，方程没有实数根． 5．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围． 【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案． （2）根据因式分解法求出两根，然后列出不等式即可求出答案． 【解答】解：（1）由题意可知：Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2 ∵（m﹣2）2≥0， ∴方程总有两个实数根． （2）由题意可知：x＝m﹣1或x＝1 ∵方程有一个根为负数， ∴m﹣1＜0． ∴m＜1． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 【题型2 根与系数的关系】 6．若方程ax2+bx+c＝0（其中a，b，c为常数且a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝　﹣　，x1x2＝　　．（用a，b，c表示） 【分析】利用根与系数的关系可得出：x1+x2＝﹣，x1x2＝． 【解答】解：∵x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣，x1x2＝． 故答案为：﹣；． 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键． 7．关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是﹣1，则它的另一个根是 　3　． 【分析】设方程x2+mx﹣3＝0的两根为α、β，由根与系数的关系可得出α•β＝﹣3，结合α＝﹣1即可求出β值． 【解答】解：设方程x2+mx﹣3＝0的两根为α、β， 则有：α•β＝﹣3， ∵α＝﹣1， ∴β＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系得出α•β＝﹣3．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程的系数结合根与系数的关系得出两根之积是关键． 8．若m，n是方程x2+2021x﹣2022＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值为 　1　． 【分析】利用根与系数的关系可得出m+n＝﹣2021，mn＝﹣2022，再将其代入m+n﹣mn中即可求出结论． 【解答】解：∵m，n是方程x2+2021x﹣2022＝0的两个实数根， ∴m+n＝﹣2021，mn＝﹣2022， ∴m+n﹣mn＝﹣2021﹣（﹣2022）＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键． 9．已知方程x2﹣3x+m＝0的一个根是x1＝1，求方程的另一个根x2． 【分析】利用两根之和等于﹣，即可得出关于x2的一元一次方程，解之即可得出x2的值． 【解答】解：依题意得：x1+x2＝3， 即1+x2＝3， 解得：x2＝2． ∴方程的另一个根x2＝2． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键． 10．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根； （2）若x1，x2是原方程的两根，且x12+x22＝2，求m的值． 【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案． （2）根据根与系数的关系以及配方法即可求出答案． 【解答】解：（1）证明：∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+2） ＝（m+1）2， ∵无论m取何值，（m+1）2≥0， ∴原方程总有两个实数根． （2）∵x1，x2是原方程的两根， ∴x1+x2＝﹣（m+3），x1x2＝m+2， ∵x12+x22＝2， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝2， ∴代入化简可得：m2+4m+3＝0， 解得：m＝﹣3或m＝﹣1 【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 11．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）． （1）若它的一个实数根是方程2（x﹣1）﹣4＝0的根，则m＝　1　，方程的另一个根为 　x＝0　； （2）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值； （3）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求m+n的最小值． 【分析】（1）两个方程的根相同，把（1）中的方程解出来的根代入题干的方程中求m即可； （2）两个方程里面含有两个未知数，解决方法是消元； （3）利用题干和（3）中的两个方程消去里面的x，得到m和n的关系式，从而构造出新的函数关系，求最小值． 【解答】解：（1）解2（x﹣1）﹣4＝0得：x＝3， 将x＝3代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得：m＝1， 将m＝1代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得：x＝3或x＝0， ∴另一个解为x＝0， 故答案为1；x＝0． （2）由2（x﹣m）﹣4＝0得：x＝2+m， 将x＝2+m代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得（2+m﹣1）（2+m﹣2）＝m+1， 解得：m＝1或m＝﹣1， 答：m的值为1或﹣1． （3）由2（x﹣n）﹣4＝0得：x＝2+n， 将x＝2+n代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得（2+n﹣1）（2+n﹣2）＝m+1， 整理得：m＝n2+n﹣1， ∴m+n＝n2+2n﹣1＝（n+1）2﹣2≥﹣2， 当n＝﹣1时，m+n有最小值﹣2， 答：m+n的最小值为﹣2． 【点评】本题考查一元二次方程含参及二次函数最值问题，可将m或n视为新的未知数，利用消元思想，将问题转化为学过的一元问题，属于基础题． 12．已知方程的两根是、，则__________． 【答案】/ 【分析】利用一元二次方程根和系数的关系可得，，再把分式通分后代入计算即可求解． 【详解】解：∵方程的两根是、， ∴，， ∴． 13．已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和． 【详解】解：由题意得，在一元二次方程中，． 14．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 15．若点与点关于y轴对称，则下面关于x的一元二次方程根的说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．是原方程的一个根 C．两根之和为 D．两根之积为 【答案】D 【分析】先根据关于y轴对称的点的坐标特征求出m的值，再代入一元二次方程，结合一元二次方程根的判别式和根与系数的关系判断各选项即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称，关于轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数 ∴ 将代入方程得 方程中，， ∵ ∴方程有两个不相等的实数根，A错误； 将代入方程，左边 ∴不是原方程的根，B错误； 对于一元二次方程，两根之和为 ∴两根之和为 ，C错误； 对于一元二次方程，两根之积为 ∴ 两根之积为 ，D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $