浙江湖州市2025-2026学年高二下学期6月期末教学质量监测数学试题

2025学年第二学期教学质量监测试卷 高二数学 注意事项： 1.本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答 2.本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分， 考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.已知集合P={x1<x<3},Q={x|x>2},则PUQ= A.{x|x>1 B.{x|x>3} C.{xl1<x<3} D.{x|2<x<3 2.若复数z满足z(1-)=-2i,i为虚数单位，则复数z的虚部为 A.1 B.-1 C.i D.-i 3.从编号为1,2,3,4的白球和编号为5,6,7的黑球中随机选取3个球，若两种颜色的球都有， 则不同的选法种数为 A.30 B.35 C.45 D.60 4若log.2<logb2<0（a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则下列结论不正确的是 A.0<a<1 B.0<b<1 C.a>b D.a<b 5.已知sin(a+)=2cos(a-),若tana=3,则tanB= A B.-1 c D. 6.模长都为1的平面向量a,(e12,3,4)满足a·a4i=0ke2,3),则a+a2+a+a4的模 不可能是 A.0 B.2 C.5 D.2√2 7.已知正三角形ABC的边长是2，D是BC的中点，将△BAD沿直线AD翻折，构成三棱锥 P-ADC,使得二面角P-AD-C的大小为2π，则该三棱锥外接球的表面积是 A.6元 B.7π C.8π D.9π 8.已知函数f(x)=x2+ar+blnx+c(a,b,c∈R)有两个极值点，x2,且x<f(2)=x2,记函 数f(x)的导函数为g(x),则关于x的方程g(f(x)=0的不同实数根个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f(x)=xln,则 A.函数f(x)的值域为[0，+∞) B.函数fx)的极小值点是 C.函数f(x)有三个单调区间 D.函数f(x)有两个零点 10.下列结论中，正确的有 A.数据1,2,4,5,6,8,9的第60百分位数为5 B.若随机变量5~N(1,σ2)，P(5≤-2)=0.21，则P(5≤4)=0.79 C.已知经验回归方程为=x+1.8,且x=2,)=20,则6=9.1 D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到x2=20.632,依据小概率值α=0.001的x2 独立性检验(x,=10.828),可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 11袋子中有大小相同且质地均匀的白球3个，红球2个每次从袋子中随机摸出1个球，摸出 的球不再放回，连续摸出两个球，则 A第一次摸到红球的概率是 B第二次摸到红球的概率是 0 C.在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率是 4 D摸出红球个数X的方差是 25 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.正四棱台的上下底面边长分别为√2和2√2，侧棱长为√2，则该棱台的体积为△ 高二数学试题卷第2页共4页 13.设函数f(x)=(x-2)(x-a)(x-b),(a<2<b),若对任意的xeR,f(x)+f(4-x)=0, 则a+b=△ 14.现有一个抽奖活动，主持人将两件奖品随机放在编号为1,2,3,4,5,6的两个不同箱子中，甲 从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖 品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子).记A(i=1,2,3,4,5,6)表示第i号 箱子有奖品，B,（j=2,3,4,5,6)表示主持人打开第j号箱子.则P(AB6)=△， P(AB6)=△·（第一空2分：第二空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分13分)已知二项式 的展开式中，所有项的二项式系数和为256. (1)求展开式中的常数项： (2)写出展开式中所有系数为有理数的项. 16.(本题满分15分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点D在边BC上，且 BD=2DC,cosB= (1)若AD=BD=2,求△ABC的面积； (2)若CD=bcosC,求tan∠BAC. 17,(体题满分15分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=行，△PMD是 边长为2的正三角形，设平面PAD与平面PBC的交线为I,直线PA与平面ABCD所成角的 大小为行 (1)证明：（1)I∥BC;（ii)AD⊥PB; (2)求二面角A-1-C的正弦值. 高二数学试题卷第3页共4页 18.(本题满分17分)已知a∈R,函数f(x)=ln(x+1)-ax2+(a-ln2x. (1)当a=0时，求曲线fx)在x=1处的切线方程： (2)当x[0,1]时，不等式f(x)20恒成立，求实数a的最小值： (3)当x∈(0,1)时，函数fx)恰有一个零点，求实数a的取值范围. 19.(本题满分17分)某选区进行人大代表选举，候选人为甲、乙两人，每张选票仅填写一位 候选人（无弃票权)·选票支持甲，则甲得1分，若支持乙，则乙得1分.设每张选票支 持甲的概率为行p<小】 支持乙的概率为9，满足p+q=1,且各张选票的投票结果相 互独立.对正整数k，记P2k-1为“统计完2k-1张选票后，甲的得票数比乙的得票数至少 多1票的概率”，92k-1为“统计完2k-1张选票后，乙的得票数比甲的得票数至少多1票 的概率” (1)求P,P3(用P表示)； (2)求凸B的值： 95-93 (3)证明：对任意正整数n,P21>P2m-4· 湖州市2025学年第二学期教学质量监测试卷 高二数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 A B A C B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 AC BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12号 13.4 14 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本题满分13分)已知二项式 的展开式中，所有项的二项式系数和为256. (1)求展开式中的常数项（用数字表示）： (2)写出展开式中所有系数为有理数的项（系数用数字表示）· 解：(1)C9+C+…+C=256,即2”=256，n=8; =c2=c”=c令8-2=0r=4, 所以，常数项是T,=C4W2=280 …6分 (2)当r=0,2,4,6,8,即4-r=4,2,0,-2,-4时，T,+1是系数为有理数的项 ………9 分 系数为有理数的项是16x4,224x2,280,56x2,x4 …13分 16.(本题满分15分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点D在边BC上，且 高一数学答案第1页共6页 BD=2DC,cos B=2 (1)若AD=BD=2,求△ABC的面积： (2)若CD=bcosC,求tan∠BAC. 解：(1)在△ADB中，因为AD=BD=2,所以∠B=∠BAD, 则coS∠ADB=cosr-2B)=-c0s2B=1-2cos2B=, sin∠ADB=V-eos'∠ADB=4W5 9 …3分 所以S0= AD-BD-sin∠ADB=85, 2 9 …5分 3 …7分 (2)因为CD=bcosC且BD=2DC, 所以，3 sin BcosC=sinA=sin(B+C) 在△ABC中，由正弦定理可得2 sinBcos C=sin Ccos B, …10分 即2tanB=tanC,因为cosB=2 故tanB=V ,tanC=√5 2 …13分 tan B+tan C 所以tanA=-tan(B+C)= =V5 tan B.tan C-1 …15分 17.(本题满分15分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，△PAD是 边长为2的正三角形，设平面PAD与平面PBC的交线为l,直线PA与平面ABCD所成 角 的大小为60°. (1)证明：（i)l∥BC;(ii)AD⊥PB; (2)求二面角A-1-C的正弦值， 解：(1)因为底面ABCD是菱形，所以BC∥AD 又因为BCd平面PAD,ADc平面PAD,所以， BC∥平面PAD,…2分 又因为BCc平面PBC,平面PAD∩平面PBC=I, 高一数学答案第2页共6页 所以，1∥BC.…5分 (2)取AD中点O,连接PO,BO, 因为△PAD是正三角形，所以PO⊥AD, 底面ABCD是菱形，∠BAD=60°， 所以BO⊥AD,…8分 又PO∩OB=O,所以AD⊥平面POB, 所以AD⊥PB: …10分 (3)因为∠PAD=60°且直线PA与平面ABCD所成角的大小也为60°， 由最小角定理得，平面PAD与底面ABCD互相垂直. 又PO⊥AD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AOC平面PAD, 所以PO⊥平面ABCD,则PO⊥OB, …12分 由(1)(2)知，PB⊥AD,PO⊥AD,I∥BC∥AD, 所以∠BPO是二面角A一1-C的平面角，…14分 又PO=OB=V3,PO⊥OB, 所以∠0PB=45,即二面角A-1-C的正弦值为 …15分 2 18.(本题满分17分)已知aeR,fx)=ln(x+1)-ax2+(a-ln2k. (1)当a=0时，求曲线fx)在x=1处的切线方程： (2)当x∈[0，时，fx)≥0恒成立，求a的最小值： (3)当x∈(0,1)时，fx)恰有一个零点，求a的取值范围. 解1D当a=0时，f)=lh+xh2,=本-h2, …2分 因为0=0，f0-分h2,所以，切线方程是y-合-n2水-) …4分 (2)f)=-2ar2-a+n2r+a+1-n2 …6分 x+1 g(x)=-2ax2-(a+In2)x+a+1-In2, 高一数学答案第3页共6页 ①当a<ln2-1时，g0)=a+1-ln2<0,则必存在x>0,当x∈(0，xo)时f"(x)<0,即 fx)单调递减，而f0)=0,所以与fx)≥0恒成立矛盾：所以a≥n2-1 ②当a<?h2时，80=-2a+1-2h2>0,所以，必存在<1，当xe,0时， f代)>0，即)单调递增，而0=0，所以与/代)20恒成立矛盾：所以a≥)h2, 且ln2>h2-l, 接下去分析a≥2ln2 若a≥0，因为g(0)=a+1-ln2>0,g)=-2a+1-2ln2<0,所以，存在唯的x3, 当x∈(0，x3)时f'(x)>0, 即f(x)单调递增，当xe(x3,)时，'(x)<0,即fx)单调递减，而fO)=f①=0， 所以f(x)≥0恒成立： 若号h2sa<0时，80=a+1-h2>0,g0=-2a+1-2h2s0, 所以fx)在(0,1)上递增或先增后减， 由上知，f(x)≥0恒成立. 综上，a≥分h2,则a的最小值为)n2。 …10分 (3)由(2)知，gx)最多有两个零点，当gx)没有零点时，fx)在(0,1)上单调， 当g(x)有一个零点时，(x)先增后减，或先减后增，考虑到f0)=f)=0, 以上均不符合题意， 所以要f(x)在(0，上恰一个零点，则g(x)=0在(0,1)上有两个不等的根即可.…13分 当a≥0时，g0)=a+1-ln2>0,g0)=-2a+1-2ln2<0,不符合题意， …15 分 当a<0时，首先g0)=a+1-ln2>0且g)=-2a+1-2ln2>0,即ln2-1<a< -ln2, 2 又引-28<0，所以-0在)上恰有两个不等的银， 故n2-1<a<2ln2. …17分 高一数学答案第4页共6页 另解：由(2)知，当x∈(0,1)时，f(x)s0的必要条件是a≤n2-1, 考虑到f0)=f①)=0， ①当a=ln2-1时，则g(x)=-2ax2-(a+lm2k=-x(2ax+a+lm2) 21h2-=0,又g0=-2a+1-2h223-41n2>0, 则g0)=82-1n2) 所以fx)在(O,1)上先减后增，则fx)≤0恒成立； …12分 ②当a<ln2-1时，g(0)=a+1-ln2<0,g(1)=-2a+1-2n2≥3-4ln2>0,所以fx)在 (0,上先减后增，则fx)s0恒成立： ………… 14分 又由(2)知，当x∈(0，)时，a≥ 2h2时且xeo,l)时，fk)≥0恒成立： …16分 故当x∈(O,)时，fx)恰有一个零点，a的取值范围是上述两种情况的补集， 1 即a的取值范围为n2-1<a<2h2. …17分 19.(本题满分17分)某选区进行人大代表选举，候选人为甲、乙两人，每张选票仅填写一 位候选人（无弃票权）.选票支持甲，则甲得1分，若支持乙，则乙得1分.设每张选票 支持甲的概率为Pp<小 支持乙的概率为9，满足p+q=1,且各张选票的投票结果 相互独立.对正整数k≥1，记P2:为“统计完2k-1张选票后，甲的得票数比乙的得票数 至少多1票的概率”，92k1为“统计完2k-1张选票后，乙的得票数比甲的得票数至少多1 票的概率”. (1)求P,P3(用P表示)： (2)求-B的值： 9s-93 (3)证明：对任意正整数n,P2m1>P2m· 解：（1)由题知P为“统计完1张选票后，甲的得票数比乙的得票数至少多1票的概 高一数学答案第5页共6页 率”，即第1张选票支持甲的概率，所以 p=p. …2分 P3为“统计完3张选票后，甲的得票数比乙的得票数至少多1票的概率”， 即前3张选票中有3甲或2甲1乙的概率，因为p+q=1,所以9=1-p, 所以p3=p3+Cp2q=p3+Cp2(1-p）=-2p3+3p2.…4分 (2)法一：因为9，=(1-p)+Cp1-p2=2p3-3p2+1, 结合(1)中P=-2p3+3p2,得P+9=1. 又p5=p+Cp(1-p)+Cp(1-p)}=6p-15p+10p3, 95=(1-p)+Cp1-p)+Cp2(1-p)3=-6p+15p-10p3+1, 所以p5+95=1, 所以P-B=9-95,即BA=-1. 95-93 法二：由题意知P,为“统计完5张选票后，甲的得票数比乙的得票数至少多1票的概 率”，即前5张选票中有5甲、4甲1乙或3甲2乙的概率， 所以p5=p+Cp(1-p)+Cp3(1-p)=6p-15p+10p3, …6分 所以p-p3=(6p3-15p+10p)）-（-2p3+3p2)=6p-15p+12p3-3p2. 同理9=(1-p)°+C(1-p)p=2p3-3p2+1, 95=(1-p)3+Cgp(1-p)+Cp21-p)°=-6p+15p4-10p3+1,8分 所以9-9=-6p3+15p-12p3+3p2. 所以P5=- …9分 95-93 (3)当n=1时，由(1)得P3-p,=-2p3+3p2-p=p(1-2p)(p-1), 因为p<1,所以p-1<01-2p<0, 高一数学答案第6页共6页 所以p(1-2p)(p-1)>0,即p>p …10分 当n≥2时，在前2n-1次投票的基础上，再进行两次投票，甲比乙至少多得1票可以分为 以下三种情况： ①若前2n-1次投票中甲得了n-1票，再进行两次投票甲得两票，则甲比乙多得1票，其 概率为Cp(1-p)p； ②若前2n-1次投票中甲得了n票，再进行两次投票甲得两票或一票，则甲比乙至少多得1 票，其概率为C2np(1-p)[P+Cp1-p: ③若前2n-1次投票中甲得了至少n+1票，再进行两次投票无论结果如何，则甲比乙至少 多得1票，其概率为P2m1-C2n1p”(1-p). 可以求得： m=C(-p)+C(-p)p+Cp(1-p)]+-Cp) 移项并整理得 p21-P2=C2wp(1-p”+Cnp(1-p)[p2+C2p(1-p）-1] =Cp(-p+Cnp(1-p)[-(1-p] =C2m-1p(1-p)°(2p-1), …16分 因为)p<1,所以1-p>0,2p-1>0, 进而C2m-1p"(1-p)“(2p-1)>0. 综上，对任意正整数n,P2n1一P2m-1>0,即P2n1>P2n1·…17分 高一数学答案第7页共6页