浙江省湖州市2025-2026学年高一下学期6月教学质量监测数学试题

2025学年第二学期教学质量监测试卷 高一数学 注意事项： 1.本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答】 2.本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分， 考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.设z=1+i（i为虚数单位)，则z2= A.2i B.-2i C.2 D.-2 2.若a=(-1,2),b=(2,t),al/b,则实数t= A.1 B.-1 C.4 D.-4 3.已知样本数据4,5,5,5,6的方差为s2,样本数据2,2,5,8,8的方差为s,2,则 A.32>32 B.s2<s22 C.s2=32 D.S2与s,2无法确定大小关系 4.设随机事件A,B满足P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(AUB)=0.9,则P(AB)= A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 5.下列命题正确的是 A过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面平行 B过直线外一点，有且仅有一个平面与这个直线平行 C过直线外一点，有且仅有一个平面与这个直线垂直 D过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面所成的角为π 3 6.已知a∈(0，元)，3sina=cosa+1,则tana= A.3 B C.-3 4 D.3 7.设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)、g(x)、h(x)均 为奇函数，则f(x)+g(x)-h(x)为奇函数；②若f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均 是以T为周期的函数，则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数，则 A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 高一数学试题卷第1页共4页 8.如图，已知二面角a-1-B的大小为π，B,C在直线l上，A在a内，且AB⊥AC, 设AB,AC与B所成角分别为8,02，则sin28+sin28,的值为 A B 4 2 3 D.1 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设乙1= 1,V5:15 2+2 i,z2= i(i为虚数单位)，则 22 A.31=z2 B.=2 C.31+z22=0 Z2=2 10.若实数x>0,y>0,且x+2y=4,则 A.y的最大值为4 B.x2+4y2的最小值为8 的最小值为6 D.√x+√)的最大值为√6 11.以1,1,1，√2，√2，√2为棱长的四面体的体积可以是 12 12 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数y=sin 的最小正周期为▲ 13.将一个棱长为2cm的正方体木料沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥后，剩余几何体的 表面积为▲cm2. 14.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比 时方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为乙在每局中获胜的概率为 且各局胜负相互独立.当比赛停止时，一共打满6局的概率为△ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分) 为提升同学们的环保意识，某校高一年级举行了一次环保知识竞赛，为了解本次竞赛 的情况，随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计分析，绘制了如下的频率分布直 方图. 频率组距 0.030 0.020 0.015 0.010 405060708090100得分 (1)若根据这次竞赛成绩，学校将对成绩前20%的学生进行表彰，估计获得表彰同学的 最低分数；（结果保留1位小数）》 (2)若采用按比例分层抽样的方法，从得分在[80,90)，[90,100]的两组中共抽取5人， 再从这5人中随机抽取2人进行座谈交流，求这2人得分均在[80,90)的概率， 16.(本题满分15分) 在△ABC中，BC=2,AC=1+V5,AB=√6，点D在边AB上，且CD平分∠ACB. (1)求∠ACB; (2)求CD的长 17.(本题满分15分) 已知平行四边形ABCD,AB=22,AD=4,BE=3EC,记AB=a,AD=b, c=a+xb,且ab=-8 (1)若x=1,求c.DE的值： (2)当|c取最小值时，求c与夹角的余弦值. 18.(本题满分17分) 已知偶函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)的图象与直线y=2x-1有且只有一个公共点. (1)求函数f(x)的解析式： (2)若0<x<x2,且gf(x)=gf(x2),求4x+x2的最小值： (3)将函数因的图象向右平移一个单位得到函数g)的图象，并令函数()=国 若关于x的方程4-引。动=0如>)有三个不同的实数解，求实数飞的取值范 2k 围. 19.(本题满分17分) 如图，五面体ABCDEF中，AEIIBFIICD,AE=2,BF=4,CD=6,△ABC是边长 为2的等边三角形，∠EAB=∠EAC=a. D (1)求证：AE⊥BC; 2)若a二求直线EF与平面ABC所成角的正弦食 (3)若a∈ π2π 求该五面体的体积V的取值范围， E F 33 B 2025学年第二学期教学质量监测试卷 高一数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 A D B D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 BCD BD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 16 12.4π 13.18+2V5 14. 81 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本题满分13分) 为提升同学们的环保意识，某校高一年级举行了一次环保知识竞赛，为了解本次竞赛的 情况，随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计分析，绘制了如下的频率分布直方 图 频率组距 0.030 0.020 0.015 0.010 405060708090100得分 (1)若根据这次竞赛成绩，学校将对成绩前20%的学生进行表彰，估计获得表彰同学的最 低分数：（结果保留1位小数） (2)若采用按比例分层抽样的方法，从得分在[80,90)，「90,100]的两组中共抽取5人，再 从这5人中随机抽取2人进行座谈交流，求这2人得分均在[80,90)的概率. 解：(1)由于0.1+0.15+0.2+0.3=0.75<0.8,0.1+0.15+0.2+0.3+0.15=0.9>0.8， 高一数学答案第1页共6页 所以第80百分位数在区间[80,90)中， …2分 第80百分位数为80+10×0.8-0.75 83.3， 0.9-0.75 所以获得表彰同学的最低分数为83.3分. …6分 (2)[80,90)与90,10]的频率之比为0.15=3，所以5人中有3人得分在80,90)，记为 0.12 a1,42,43’有2人得分在[90,100]，记为b,b2… …9分 设事件A=“座谈交流的2人得分均在[80,90)”， 由于2={aa2,a1a3,ah,ab2,a2a3,a2h,azb2,a3b,a3b2,bb2}，A={a1a2,aa3,a2a3}’ 所以P)=n=3 …13分 n(2)10 16.(本题满分15分) 在△MBC中，BC=2,AC=1+V5,AB=6,D在AB上，CD平分∠ACB. (1)求∠ACB的大小： (2)求CD的长 解：(1)由余弦定理，cos∠ACB=AC2+BC2-AB2 ,…2分 2AC.BC =0+52+22-(621 艺，所以∠aC8=子 …6分 21+V3)×2 (2)解法1：由于SA4BC=SAACD+SABCD, …8分 即4C-BCsn∠4cB4C-CD-sin∠4cD+8C-CD-sm∠BcD, 所以0+25-+0时2-0分 所以CD=2. …15分 BC 解法2：在△4BC中，由正弦定理， AB sinA sin∠ACB' 26 即smA,所以nA= …8分 2 2 高一数学答案第2页共6页 又BC<AB,所以∠A<∠ACB,所以A=T (或cos4=B+AC2-BC2-2) 2AB·AC 2 AC CD 1+3 在A4CD中，∠ADC=7m, 由正弦定理， CD 12 sin A sin∠ADC ,即26+2， 2 × 所以CD=2. …15分 17.(本题满分15分) 己知平行四边形ABCD,AB=2V2,AD=4,BE=3EC,记AB=a,AD=b,c=a+xb, 且a.b=-8. (1)若x=1,求c.DE的值： (2)当c取最小值时，求c与b夹角的余弦值， 解：解法1：(1)DE=DC+CE,BE=3EC,C正=-b, 所以DE=a-6, …3分 4 因为a.b=ab1cos<a,b>=-8, 所以cos<a6-,得<a,5>= 4 所以c-0E=6+6a-=@+6-o2. …8分 4 (2)1c2=(a+xb2=(a2+2xa.b+x2(⑥)2=16x2-16x+8, …10分 当x=时，1取最小值为2 c.6=(a+b6=0, 所以c⊥b,即c与b的夹角是90°，夹角的余弦值为0. …15分 高一数学答案第3页共6页 解法2：(1)因为a.b=ab1cos<,b>=-8, 所以cos<a,b>-V2 以A为原点建立如图直角坐标系， D(4,0),B(-2,2),C(2,2), …3分 因为BE=3EC,所以C1,2),a=(-2,2),b=(4,0), 当x=1时，c=(2,2),DE=(-3,2) 所以c.DE=-2 …8分 (2)c=(-2+4x,2) 所以1c2=16x2-16x+8, …10分 当x=时，1©可取最小值为2. 此时c=(0,2),c.b=0, 所以C⊥b,即c与b的夹角是90°，夹角的余弦值为0.… …15分 18.(本题满分17分) 己知偶函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)的图象与直线y=2x-1有且只有一个公共点. (1)求函数f(x)的解析式： (2)若0<x<2,且gf(x=gf(2,求4x+x2的最小值： (3)将函数)的图象向右平移一个单位得到函数g()的图象，并令函数hy)=8四.若 关于x的方程口-到+ 2k ,-3k=0(a>)有三个不同的实数解，求实数k的取值范围. 解：(1)由f(x)为偶函数，知b=0, …2分 由f(x)与y=2x-1只有一个交点， 知方程x2+bx+c=2x-1即方程x2-2x+(c+1)=0有且只有一个解， 所以△=(-2)2-4(c+1)=0,解得c=0, 所以f(x)=x2. …5分 高一数学答案第4页共6页 (2)由gf(x=gf(s2,即|gx2=g2, 即2gx=2g, 又0<x<x2,所以lg+gx2=0,即xx2=1, …8分 由于4x+x2≥2V4x2=4,当且仅当4x=2=2时取到等号， 所以4+2的最小值为4. …10分 (3)由题意，8)=fc-)=(x-2,h)=8国-x-2+1， 令t=a-3(a>1), 则方程g- -3张=0可化为1-2++2弘-3k=0, 2k 即t2-(3k+2)+(2k+1)=0(t≠0)， …13分 考虑到函数t=a-3在(-o,log。3)上单调递减， 在(1og。3,+o)上单调递增， 其草图为 所以要使方程4心-引之北=0有三个不同的实数解 只需方程2-(3k+21+(2k+1)=0在区间(0,3)和[3，+∞)内各有一个解， …15分 设p)=t2-(3k+2)t+(2k+1),则p(0在区间(0,3)和[3，+∞)内各有一个零点， 3)=9-38k+2+(2+》<0'得>号。 p(0)=2k+1>0 则 7 或03)=0（另一个零点在(0,3）内)，得k=4 综上，≥ …17分 高一数学答案第5页共6页 19.(本题满分17分) 如图，五面体ABCDEF中，AEIIBFIICD,AE=2,BF=4,CD=6,△ABC是边长为 2的等边三角形，∠EAB=∠EAC=a. D (1)求证：AE⊥BC: (2)若a=号，求直线EF与平面4B8C所成角的正弦值： π2π E F (3)若a∈ 3’3 求该五面体的体积V的取值范围. 解析(1)如图1，取BC的中点M,连接EB,EC,MA,ME, 由题意易得△EAB三△EAC,可得EB=EC,M是BC的中点， 所以ME⊥BC,同理可得MA⊥BC, 所以BC⊥平面MAE, 所以AE⊥BC. …5分 C B D E 图1 图2 图3 (2)如图2，取BF的中点H,连接AH,EH, 易得EF∥AH,EHIIAB,EF=AH=2√5， H到平面ABC的距离即为E到平面ABC的距离为h,…7分 由（I)知即h为△4EM的高，其中4E=2,AM=EM=5所以h=2=25_26 2W6 设直线EF与平面ABC所成角为&，则sin0= 3 .…11分 AH233 高一数学答案第6页共6页 (3)解法1：如图3，将该五面体补形成三棱柱ABC-CB4,…13分 设E到平面ABC的距离为h,由(1)知h为△AEM的高，如图4在四面体E-ABC中， 作ET⊥AM于T,过T作TK⊥AB于K,连接EK,由(I)知BC⊥平面MAE,故BC⊥ET, 所以ET⊥平面ABC,即h=ET,同理可得AB⊥平面KTE, E 所以oa作w∠E-径m君作 6 AT 进一步得cosa=cos∠EAM cos→cos∠EAM= 2 cosa 6 3 M B 图4 r=ca4-hxc=2h×5=2扇e[454].…7分 解法2：如图3，将该五面体补形成三棱柱ABC-CB4, 过B作BI⊥AE与I,由对称性，易得IC⊥AE, IC=IB=2sina,BC=2 SAIRC =4sin2 a-1e23, C5we4wee …17分 高一数学答案第7页共6页