第三周 第2天 等式性质与不等式性质 暑假自学讲义 - 2026年新高一数学上学期人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第三周 第2天 等式性质与不等式性质 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1．掌握等式与不等式的性质．(重点) 2．会运用不等式的性质判断命题的真假．(重点) 3．会用不等式的性质求代数式的范围、证明不等式等有关问题.．(难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 等式性质与不等式的性质 💡知识梳理 1.等式的基本性质 (1)如果a=b，那么b=a； (2)如果a=b，b=c，那么a=c； (3)如果a=b，那么a±c=b±c； (4)如果a=b，那么ac=bc； (5)如果a=b，c≠0，那么. ⚠️ 注意点： (1)性质1，2反映了相等关系自身的特性：对称性和传递性． (2)性质3，4，5反映了等式对四则运算的不变性；运算中的不变性就是性质． 🎯例1　下列运用等式的性质变形正确的是(　　) A．若x＝y，则x＋5＝y＋5 B．若a＝b，则ac＝bc C．若＝，则a＝b D．若x＝y，则＝ 【解】选ABC.对于选项A，由等式的性质3知，若x＝y，则x＋5＝y＋5，故A正确；对于选项B，由等式的性质4知，若a＝b，则ac＝bc，故B正确；对于选项C，由等式的性质4知，若＝，则a＝b，故C正确；对于选项D，若x＝y，则＝的前提条件为a≠0，故D错误． 2.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a+c>b+c ⇔ 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a+c>b+d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 ⚠️ 注意点： (1)若a>b>0，则0<； 若a<b<0，则0>. (2)不等式只有同向可加和同向同正可乘，没有减法和除法运算. (3)若a>b>0，m>0，则(b-m>0)(b-m>0). (糖水不等式) 🎯例2　对于实数a，b，c，判断下列结论是否正确： (1)若a>b，则a3>b3； (2)若a<b<0，则a2>ab>b2； (3)若a>b，>，则a>0，b<0； (4)若a<b<0，则>. 【解】　(1)因为a3，b3不改变a，b的符号，即符合不等式的可乘性，故该结论正确． (2)由可得a2>ab.因为所以ab>b2，从而有a2>ab>b2.故该结论正确． (3)由>，可知－＝>0.因为a>b，所以b－a<0，于是ab<0.又因为a>b，所以a>0，b<0.故该结论正确． (4)依题意取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，显然<.故该结论错误． 利用不等式的性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质. (2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算. 反思 归纳 📐跟踪训练1　已知a＞b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是(　　) A．ad＞bc B．ac＞bd C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d 【解】令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A，B，C.由不等式的性质5知，D一定成立． 📐跟踪训练2已知实数a，b，c满足0＜a＜b，0＜c＜1，则下列选项一定成立的是(　　) A．a＋c＞b＋c B．ac＞bc C．ac＜b D．bc＜a 【解】因为0＜a＜b，0＜c，所以ac＜bc，又因为0＜c＜1，所以bc＜b，所以ac＜b.故选C. 知识点2 利用不等式的性质证明不等式 🎯例3　(教材例2)已知a>b>0，c<0，求证. 证明　因为a>b>0，所以ab>0，>0. 于是a·， 即， 由c<0，得. 🎯例4　已知c＞a＞b＞0，求证：＞. 【证明】　方法一：因为a＞b＞0，所以＜， 因为c＞0，所以＜， 所以－1＜－1，即＜， 因为c＞a＞b＞0， 所以c－a＞0，c－b＞0. 所以＞. 方法二：因为c＞a＞b＞0， 所以0＜c－a＜c－b，所以0＜＜， 即＞＞0， 又因为a＞b＞0， 所以＞. (1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件. (2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件. 反思 归纳 知识点3 利用不等式的性质求代数式的取值范围 🎯例5 已知－1<x<4，2<y<3. (1)求x－y的取值范围； (2)求3x＋2y的取值范围． 【解】　(1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2. (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18. 📐一题多变1 (变条件)若将本例条件改为－1<x<y<3，求x－y的取值范围． 【解】因为－1<x<3，－1<y<3， 所以－3＜－y<1，所以－4<x－y<4. 又因为x<y，所以x－y<0，所以－4<x－y<0. 📐一题多变2 若将条件改为“1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2”，则3a+2b的取值范围是　　　　　　　　　　　　. 答案　2≤3a+2b≤11 【解】　设3a+2b=x(a+b)+y(a-b) =(x+y)a+(x-y)b， 则解得 所以3a+2b=(a+b)+(a-b)， 因为1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2， 所以(a+b)≤10，-(a-b)≤1， 因此，2≤3a+2b≤11. 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围. (2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 反思 归纳 📐跟踪训练3　已知1＜a＜4，2＜b＜8，求的取值范围． 【解】因为2＜b＜8，所以＜＜. 又1＜a＜4， 所以1×＜a×＜4×， 即＜＜2. 所以的取值范围是＜＜2. 自学小结 等式性质与不等式性质 1.知识清单： (1)等式的性质. (2)不等式的性质及其应用. 2.方法归纳：作差比较法、特值法、不等式性质法. 3.常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．已知a＜b，那么下列式子中，错误的是(　　) A．4a＜4b B．－4a＜－4b C．a＋4＜b＋4 D．a－4＜b－4 答案：B 2．若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a＋b一定是(　　) A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 解析：选B.因为a＞0，b＜0，所以|a|＝a，|b|＝－b. 又因为|a|＜|b|，所以a＜－b，所以a＋b＜0， 所以a＋b一定是负数．故选B. 3．利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数． (1)若2x－3＝－5，则2x＝________，x＝________； (2)若5x＋2＝2x－4，则3x＝________，x＝________． 解析：(1)根据等式的性质3，等式两边同加3，得2x＝－2.再根据等式的性质5，等式两边同除以2，得x＝－1. (2)根据等式的性质3，等式两边同减(2x＋2)，得3x＝－6.再根据等式的性质5，等式两边同除以3，得x＝－2. 答案：(1)－2　－1　(2)－6　－2 4．(1)已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d； (2)已知a＞b，ab＞0，求证：＜. 证明：(1)因为a＞b，c＜d， 所以a＞b，－c＞－d. 则a－c＞b－d. (2)因为ab＞0，所以＞0. 又因为a＞b， 所以a·＞b·， 即＞，因此＜. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第三周 第2天 等式性质与不等式性质 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1．掌握等式与不等式的性质．(重点) 2．会运用不等式的性质判断命题的真假．(重点) 3．会用不等式的性质求代数式的范围、证明不等式等有关问题.．(难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 等式性质与不等式的性质 💡知识梳理 1.等式的基本性质 (1)如果a=b，那么________； (2)如果a=b，b=c，那么________； (3)如果a=b，那么a±c=________； (4)如果a=b，那么ac=________； (5)如果a=b，c≠0，那么. ⚠️ 重点点拨： (1)性质1，2反映了相等关系自身的特性：对称性和传递性． (2)性质3，4，5反映了等式对四则运算的不变性；运算中的不变性就是性质． 🎯例1　下列运用等式的性质变形正确的是(　　) A．若x＝y，则x＋5＝y＋5 B．若a＝b，则ac＝bc C．若＝，则a＝b D．若x＝y，则＝ 2.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a+c>b+c ⇔ 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a+c>b+d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 ⚠️ 注意点： (1)若a>b>0，则0<； 若a<b<0，则0>. (2)不等式只有同向可加和同向同正可乘，没有减法和除法运算. (3)若a>b>0，m>0，则(b-m>0)(b-m>0). (糖水不等式) 🎯例2　对于实数a，b，c，判断下列结论是否正确： (1)若a>b，则a3>b3； (2)若a<b<0，则a2>ab>b2； (3)若a>b，>，则a>0，b<0； (4)若a<b<0，则>. 利用不等式的性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质. (2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算. 反思 归纳 📐跟踪训练1　已知a＞b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是(　　) A．ad＞bc B．ac＞bd C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d 📐跟踪训练2已知实数a，b，c满足0＜a＜b，0＜c＜1，则下列选项一定成立的是(　　) A．a＋c＞b＋c B．ac＞bc C．ac＜b D．bc＜a 知识点2 利用不等式的性质证明不等式 🎯例3　(教材例2)已知a>b>0，c<0，求证. 🎯例4　已知c＞a＞b＞0，求证：＞. (1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件. (2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件. 反思 归纳 知识点3 利用不等式的性质求代数式的取值范围 🎯例5 已知－1<x<4，2<y<3. (1)求x－y的取值范围； (2)求3x＋2y的取值范围． 📐一题多变1 (变条件)若将本例条件改为－1<x<y<3，求x－y的取值范围． 📐一题多变2 若将条件改为“1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2”，则3a+2b的取值范围是　　　　　　　　　　　　. 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围. (2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 反思 归纳 📐跟踪训练3　已知1＜a＜4，2＜b＜8，求的取值范围． 自学小结 等式性质与不等式性质 1.知识清单： (1)等式的性质. (2)不等式的性质及其应用. 2.方法归纳：作差比较法、特值法、不等式性质法. 3.常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．已知a＜b，那么下列式子中，错误的是(　　) A．4a＜4b B．－4a＜－4b C．a＋4＜b＋4 D．a－4＜b－4 2．若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a＋b一定是(　　) A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 3．利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数． (1)若2x－3＝－5，则2x＝________，x＝________； (2)若5x＋2＝2x－4，则3x＝________，x＝________． 4．(1)已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d； (2)已知a＞b，ab＞0，求证：＜. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $