3 第2课时 循环小数-【随堂笔记】2026-2027学年五年级上册数学（人教版·新教材）

随堂笔记·数学·五年级·上册·RJ 第2课时 循环小数 课前·预习笔记 任务 笔记 (( 重点心 知识点①循环小数的意义（教材第26页例3） (1)已知王鹏跑400m用时75秒，求他平均每秒跑多少米，也就是求速 度，根据“速度=（路程)÷（时间)”可列式为400÷75。 列竖式计算。 5.333 75400 375 250 只要余数重复出现“（25)” 225 在余数后添(0)继续除，商中 250 就会重复出现“(3)”。总也 225 除不尽，小数的位数是无限的 250 225 学 25 新 正确解答：400÷75=5.333…(m) 知 (2)28÷18=1.555 78.6÷11=7.14545… 总结：像5.333…，1.555…，7.14545…这样的小数叫作循环小数。5.333… 的循环节是（3)，1.555…的循环节是（5)，7.14545…的循环节是（45)。 写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数 字上面各记一个圆点。例如： 5.333… 写作5.3 7.14545… 写作7.145 6.9258258… 写作6.9258 重点心 知识点2有限小数和无限小数（教材第27页） 小数部分的位数有限的小数是（有限小数)。例如，0.9375是一个有限小 数。小数部分的位数无限的小数是（无限小数)。例如，0.2i42857是一个无 限小数。 理 循环小数的意义 思 循环小数 有限小数和无限小数 路 .6 三小数除法 课堂·听课笔记 精批注 [对应教材P26P27] 》路程 之时间之求速度 3 王鹏跑400m用时75秒，他平均每秒跑多少米？ 路程÷时间=速度 虽然没有除尽，但其计算结 400÷75=5.333…(m) 果是精确裁，用“=“连接， 省略号表示后面有无裁个3。《 从十分位起，装 字“3”重复出现。 5.333 余数怎么总是“25”？继续除 75/400 下去，好像永远也除不完。 375 在列竖式计算除 250 法的过程中，只 225 要相同余数重复 出现两次，就不 250 用再除，可以确 商的小数部分总是 225 定商。 重复出现“3”。 250 225 25 如果商的小数部分的位数是无限的，那么写商时，小数 部分反复出现的数字先写出几个后，其余的用”…”代替。 试一试4 计算下面各题，说一说商有什么特点。 28÷18=1.555… 78.6÷11=7.14545… 商的小数部分从十分位起 商的小数部分从百分位起总 总是重复出现5。 是重复出现45。 47 随堂笔记·数学·五年级·上册·RJ 循环小裁的意义： 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小 数叫作循环小数。像上面的5.333…和7.14545…都是循环小数。 循环节的意义· 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 例如： 5.333…的循环节是3。 7.14545…的循环节是45.7.14545…的循环节是45，不能说成4和5。 6.9258258…的循环节是258。 循环小裁的简便记法： 写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一 个圆点。例如： 5.333… 写作5.3 循环节中只有一个数字的，只在该数字上面记一 写作7.145 个圆点。循环节中有两个或者两个以上数字的， 7.14545… 在第一个和最后一个数字上面各记一个圆点，中 6.9258258… 写作6.9258 间数字不需要标记。 小数部分的位数有限的小数是有限小数。例如，0.9375是一个有限小数。小数部分的位 数无限的小数是无限小数。例如，0.2142857是一个无限小数。 小裁部分只要有具体个数，就是有限小数。 做一做0 例如：1.55555555555555555是有限小数。 1.用简便形式写出下面的循环小数。提示在循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 1.555… 1.746746… 0.105353… 2.计算下面各题，除不尽的先用循环小数表 3.观察下面的算式，你发现了什么？ 示所得的商，再保留两位小数写出它的近 1÷7=0.i42857 似数。 2÷7=0.285714 15÷7 3÷7=0.42857i 15.3÷72 4÷7=0.571428 2.29÷9 5÷7=0.714285 6÷7=0.857142 提示：求商的近似数时，先计算到 比要保留的小数位数多一位，再 将最后一位“四舍五入”。 48 三小数除法 学方法 解决此类问题的关健是明确小裁比较大小的方法，从高位到低位依次比较。 ○通过还原简便记法来比较循环小数的大小 你会比较这些数的大小吗？试试看！ 0.55()0.5 1.39 1.39 0.255 0.25 思路分析：比较循环小数的大小的方法与以前学过的比较小数大小的方法相同，但比较时 要把循环小数的简便记法还原。为了防止出错，可以把要比较的小数的小数点 上下对齐排成一列，从高位到低位逐位进行比较。 0.55 1.39=1.3939… 0.255 0.55<0.5 1.39<1.39 0.255>0.25 0.5=0.555… 1.39=1.399… 0.25=0.2525. 正确解答：< < ○运用循环节和周期性规律解决问题 5÷7的商的小数部分第200位上的数字是几？前200位数字的和是多少？ 思路分析：解决此类问题的关键是根据商各裁位上裁字的排列规律确定所求裁位上的裁宇。 求出循环节中各数字的 用200除以循环节中的数字 计算5÷7的商，求 和，循环节的组数×循 个数，得出共含有几组循环 出循环节及循环节 ◆ 环节中各数字的和+下个 节，若有余数，余数是几， 含有的数字个数。 循环节出现的数字=小数 则为循环节的第几个数字。 部分前200位数字的和。 正确解答：5÷7=0.714285200÷6=33（组）…2（个) 7+1+4+2+8+5=2727×33=891891+7+1=899 答：5÷7的商的小数部分第200位上的数字是1；前200位数字的和是899。 ○综合运用小数大小比较的方法以及循环小数的知识解决问题 在下面四个循环小数的某些数字上补上循环点，使其成立。 0.9193<0.9193<0.9193<0.9193 思路分析： 4个循环节对应的小数分别为 这4个循环小数的整 在0.9193的某些数字上 0.91939193… 数部分相同，都是0， 补上循环，点，循环节可能 ◆ 0.9193193… 小数部分前4位相 为“9193”“193”“93”“3” 0.919393… 同，都是9193。 0.91933. 解决此类问题的关键是先列出循环节可能 出现的所有情况，再比较大小，最后按照顺 比较这四个数的大小，再根据循 序确定每个数的循环节。 环节在相应数字上补上循环，点。 正确解答：0.9i93<0.9193<0.9193<0.9193 49 随堂笔记·数学·五年级·上册·RJ 课后·提升笔记 巧总结 提示循环小数的小数部分的位数是无限的。 ◎易错点：误认为有重复数字出现就是循环小数 判断：68686868.6868是循环小数。 () 易错解读：判断一个小数是不是循环小数，一要看小数的位数是不是无限的，二要看有 无循环节。本题所给的小数虽然是由6和8两位数字重复组成的，但是这个小数的小数 部分只有四位，所以这个小数是一个有限小数。所以本题的正确答案为×。 举一反三： 判断。提示循环小数一定是无限小数，但无限小数不一定是循环小数。 (1)循环小数一定是无限小数。 ( ) (2)无限小数一定是循环小数。 ( (3)0.8和0.8888都是循环小数。 ( 提素养 提示：一个循环小数的小数部分，依次不断重 1.填空。 复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 (1)5÷3的商是( ),它是循环小数，循环节是()，保留三位小数是()。 (2)在4.5858、4.5858…、4.888、4.832…中，有限小数是( 无限小数是( ),循环小数是（( ),4.5858…小数 部分第99位上的数字是（ )。 （3)把1.6、1.62、1.62和1.622按从小到大的顺序排列。 )<( )<( )<( 2.判断。 （1)循环小数都比1小。 (2)有限小数一定小于无限小数。 ( ) （3)循环小数3.627627…可写作3.627。 ) 3.列竖式计算。（商用循环小数表示） 1.66÷0.15= 69÷3.3= 2÷11= 5÷9 50随堂笔记·数学·五年级·上册·RJ 2.17×0.3-0.3=4.8 1答：一共需付144.9元。 答：他计算的结果与正确结果相差4.8。 12.10+1.2×(15-3)+1.6×(50-15)=80.4(元) 要点3)练习 答：应付车费80.4元。 ><<> 要点(4)练习 1.38.5+(42-4)×2.8=144.9（元) 三 小数除法 第1课时除数是整数的小数除法 0做一做（例1) 12.99.8÷4=24.95(元) 1.(竖排)141.4212.1111.1 答：平均每本24.95元。 当除数不交时，被除数箱小到原来的。，商也 举一反三 随之缩小到原来的人。（合理即可） (改正略)XX 10 2.4.82.252.034.25 ②提素养 2.做-做（例2) 11.(竖式、验算略)0.840.521.35 1.1.360.090.450.23 12.62.8÷2=31.4(kg)31.4+5.6=37(kg) 0.750.080.0450.013 答：甲筐原来有37kg苹果。 第2课时循环小数 2做-做 1举一反三 1.1.555…=1.51.746746…=1.746 1(1)V(2)×(3)× 0.105353…=0.1053 ①提素养 2.2.142857,保留两位小数为2.14。 11.(1)1.666… 61.667 0.2125,保留两位小数为0.21。 (2)4.5858、4.8884.5858…、4.832… 0.254,保留两位小数为0.25。 I 4.5858.5 3.所有商的循环节均为数字“142857” 的不同排列，1(3)1.61.6221.621.62 循环节的起始数字随被除数的增大依次变化，呈【2.(1)×(2)×(3)√ 现周期性排列的特点。 13.(竖式略)11.0620.900.180.5 第3课时一个数除以小数 2做-做（例4）》 12.(竖排)461230 （说一说略)2473.4 11.21.56 做-做（例5） 1 4549.5110165 1.7.31.80.241519080010.52000 规律：当被除数不变时，除数（0除外)越小， 158