13.2 三角形的内角 讲义-2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦三角形内角和定理及直角三角形性质与判定核心知识点，前承三角形基本概念，后启多边形内角和等内容，构建从基础到综合的学习支架，系统呈现内角和180°证明、倒角模型及直角三角形互余关系。 资料以8类分层题型为特色，通过多种辅助线证内角和培养推理意识，结合折叠、三角板等情境发展几何直观，随堂检测助力课中教学效果提升与课后查漏补缺，落实数学思维与应用意识培养。

13.2 三角形的内角（知识解读） 【人教版2024】 题型归纳 题型1 利用三角形的内角和直接求角 1 题型 2·三角形内角和的证明 4 题型 3·三角形内角和与平行线的综合 9 题型 4·三角形内角和与角平分线的综合 11 题型 5·利用三角形内角和解决折叠中的角度计算 14 题型 6·利用三角形内角和解决三角板中的角度计算 17 题型 7··直角三角形的性质 19 题型 8··直角三角形的判定) 22 知识点1 三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于180°. 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°． 图 (1) 图 (2) 【拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4． 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D． 知识点2 直角三角形的性质及判定 1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°． 2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 ． 题型 1··利用三角形内角和直接求角 【例1】如图，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据垂线定义得到，再根据三角形内角和定理求出的度数，根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】， ， ， ， ， ． 【变式1-1】一个三角形的两个内角分别是和，则第三个内角是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，利用三角形内角和为，减去已知两个内角的度数，即可得到第三个内角的度数． 【详解】解：由三角形内角和定理可得，该三角形两个内角分别为和， 第三个内角的度数为，B选项符合题意． 【变式1-2】如图，在中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1-3】如图，和交于点，于点，连接．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由三角形内角和定理求出的度数，再由对顶角相等可得的度数，然后根据垂直的定义得到，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， ， ． 题型 2·三角形内角和的证明 【例2】课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③过上一点D作， ④过点C作于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)证明见解析 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】（1）解：能证明“三角形内角和是”的方法是①②③； （2）解：①∵， ∴，， ∵， ∴， 故①能证明“三角形内角和是”； ②∵， ∴，， ∵， ∴， 故②能证明“三角形内角和是”； ③∵，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 故③能证明“三角形内角和是”； ④∵， ∴， 故④不能证明“三角形内角和是”． 【变式2-1】【阅读材料】为了证明“三角形的内角和是”，老师给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 【回答问题】 (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中，应用的数学思想是_________． A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 (2)请选用图③或图④证明三角形的内角和为． 【答案】(1)A (2)选用③证明三角形的内角和为，理由如下： ∵，， ∴，，，， ∴， 由平角的性质可得，， ∴，即三角形的内角和为． 选用④证明三角形的内角和为，理由如下： 如图所示，延长，在延长线上取一点， ∵， ∴，． 又， ∴， 即三角形的内角和为． 【分析】（1）证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． （2）选用③证明三角形的内角和为，根据平行线的性质得到，，，，得到，再根据平角的性质即可求解； 选用④证明三角形的内角和为，延长，在延长线上取一点，根据平行线的性质可求得，，结合，即可证明结论． 【详解】（1）解：证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角，用到了转化思想，A选项符合题意； （2）略 【点睛】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，利用转化思想将三角形的内角和转化为平角是解题的关键． 【变式2-2】阅读下列材料，回答问题 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如图两种方法． 小明同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于 证明过程如下：已知：如图3，．求证： 证明：如图3，过点A作 _________（_________________） 同理 （______________） (1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全小明同学证明过程中所缺的内容； (2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；等量代换 (2)见解析 【分析】此题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握平行线的性质，正确地作出辅助线，把三角形的三个内角转化一个平角是解决问题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等得，，再根据平角定义得，然后根据等量代换可得出三角形内角和等于； （2）过点作，延长到，根据平行线的性质得，，再根据平角的定义得，进而可得出三角形内角和等于． 【详解】（1）证明：已知：如图3，． 求证：． 证明：如图3，过点A作， ， （两直线平行，内错角相等）， 同理， ， （等量代换）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；等量代换． （2）证明：如图，过点作，延长到， ∴，， ∵， ∴． 【变式2-3】在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，有如下两种实验方法．    小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证： 证明：延长，过，点C作．   ，． ， ．    请你参考小明的思路，写出实验方法2的证明过程． 【答案】见解析 【分析】过点A作，则，根据，等量代换即可得． 【详解】解：如图所示，过点A作，    ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握这些知识点． 题型 3·三角形内角和与平行线的综合 【例3】如图，直线、，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：∵直线、， ∴， ∵，， ∴． 【变式3-1】如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出的度数，再根据三角形的内角和为180度，即可解答． 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-2】如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，根据三角形内角和定理得出，进而根据角平分线的定义，以及平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴ ∵， ∴， 故选：C． 【变式3-3】如图，直线，被直线，所截．若//，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线平行，同旁内角互补求出∠CGE的度数，再由三角形的内角和定理求得∠3的度数． 【详解】解：∵//，， ∴∠CGE＝180°－∠1＝104°， ∵∠2＋∠3＋∠CGE＝180°，， ∴∠3＝180°－∠2－∠CGE＝40°． 故选：C 【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 题型 4·三角形内角和与角平分线的综合 【例4】如图，在中，，与的平分线相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据角平分线的性质和三角形的内角和定理得出，然后再利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式4-1】如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为（   ） A．42° B．40° C．38° D．36° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角性质与角平分线的综合运用，解题的关键是利用三角形内角和及外角和的关系，结合角平分线定义推导角度． 先根据角平分线定义表示出、，再由的内角和求出，进而得到外角和的一半，最后结合三角形外角和求出． 【详解】解：平分，平分， ， 在中，， ， ，， ， 又， ， 解得． 故选：B． 【变式4-2】如图，在中，，，平分，交于D，，交于E，则的大小是（ ）   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式4-3】如图，在中，于点D，平分交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，首先由垂直定义得到，利用角平分线求出，根据三角形内角和定理求得，即可根据，得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵，平分， ∴ ∴ ∵， ∴． 故选C． 题型 5·利用三角形内角和解决折叠中的角度计算 【例5】如图，在中，，，点，分别是，上动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，再由平角的定义求出的度数，最后根据折叠的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得． 【变式5-1】如图，把沿折叠，使点A落在点处，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，根据三角形的内角和定理，折叠的性质，推出的度数，再根据平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 【变式5-2】如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现和的倍数关系是解答此题的关键．根据在中，得出，根据折叠和三角形内角和定理得出，得，求出结果即可． 【详解】解：在中， 则， 根据折叠的性质知：，， 在中，则有：， 即； ，得， 解得． 故选：D． 【变式5-3】如图所示，在中，将点A与点B分别沿和折叠，使点A，B都与点C重合，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，折叠的性质是解题关键．根据折叠的性质得，，，再根据三角形内角和定理，最后由求的度数． 【详解】解：将点与点分别沿和折叠，使点、与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得 故选：B． 【题型 6·利用三角形内角和解决三角板中的角度计算 【例6】将一副教学常用三角板（厚度不计）如图摆放，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，． 【变式6-1】如图，将含角的直角三角板和长方形直尺按如图的方式摆放在同一平面内，其中，，三角板的边，与直尺一条边的两个交点分别为点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形内角和定理求出然后利用平行线的性质求出，则利用三角形内角和定理即可求得. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式6-2】将一副三角板如图摆放，，，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角板的性质得出，，利用角的和差关系计算，进而求出； 【详解】解：在中，，， ， ， ， 在中，， ． 【变式6-3】一副三角板如图所示放置，两个三角形的斜边互相垂直，垂足为点，其中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用垂直的定义以及直角三角形的两个锐角互余进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵互相垂直， ∴， ∴． 题型 7··直角三角形的性质 【例7】在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算求解． 【详解】解：∵在中， ∴直角三角形两锐角和为，即 又∵ ∴ ． 【变式7-1】如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记相关性质并准确识图是解题的关键．先根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出，再根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角的关系求出即可． 【详解】解：，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ， ． 故选：B． 【变式7-2】如图，，，垂足分别为．下列说法正确的个数是（   ） ①点到线段的距离为线段的长度； ②； ③； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，余角的性质．①根据点到直线的距离的定义，结合已知条件进行判断即可；②③均根据已知条件，直角三角形的性质和余角的性质进行解答即可． 【详解】解：①点到直线的距离就是这个点到这条直线的垂线段的长度，， 点到线段的距离为线段的长度， 故①说法正确； ②， ， ， ， ， ，， 故②说法错误； ③， ， ， ， ， ， 故③说法正确； 综上可知，说法正确的是①③，共2个， 故选：C． 【变式7-3】如图，在△中，，于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键．根据直角三角形的两锐角互余、同角的余角相等解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：． 题型 8··直角三角形的判定) 【例8】下列条件中，不能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D．是边上的高 【答案】C 【详解】解：对于选项A：由可得，根据三角形内角和定理可得，则是直角三角形，故A不符合题意； 对于选项B：∵， 又∵， ∴，即， ∴是直角三角形，故B不符合题意； 对于选项C：∵， 设 ∴， ∴、、无法构成三角形，故C符合题意； 对于选项D：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故D不符合题意． 【变式8-1】满足下列条件的不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到结论． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形． B、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． C、∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． D、∵， ∴是直角三角形． 【变式8-2】若中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定．由三角形的内角和定理，结合已知可得，从而可得，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故选：B． 【变式8-3】下列说法正确的是（   ） A．有一个角是的三角形是直角三角形 B．有两个角互余的三角形是直角三角形 C．两个锐角互余的三角形是直角三角形 D．以上说法都正确 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定． 根据直角三角形的判定，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．有一个角是，则其余两角和为，符合直角三角形定义，正确； B．有两个角互余，即这两角的和为，则第三个角为，故为直角三角形，正确； C．两个锐角互余，即两锐角的和为，则第三个角为，故为直角三角形，正确； ∴ 、、均正确， ∴选项符合题意． 故选：． 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据平行线的性质求出的度数，然后利用三角形内角和性质列式，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，直线，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线性质得出，再利用对顶角相等，可得的度数，最后根据三角形内角和得出的大小． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 3．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，根据条件结合三角形内角和计算各角度数，判断三角形是否存在角即可求解． 【详解】解：在中，． A、∵，∴，代入内角和得，即，是直角三角形，本选项不符合题意． B、∵，∴，是直角三角形，本选项不符合题意． C、∵，设，，，则，解得，，是直角三角形，本选项不符合题意． D、∵，设，则，∴，解得，最大角，不存在90°角，不是直角三角形，本选项符合题意． 4．如果等腰三角形的一个角等于，则它的底角等于（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题需分情况讨论已知角为底角或顶角的情况，理解题意是解决本题的关键． 利用等腰三角形两底角相等及三角形内角和为的性质计算底角度数即可． 【详解】解：分两种情况：当已知的角为底角时，等腰三角形底角即为； 当已知的角为顶角时，底角为， 综上，底角等于或． 故选C． 5．如图，在光的反射活动课中，小李同学将一面平面镜放置在水平地面上，调节其支架的高度，使平面镜与地面形成的为．用激光笔从点处射出一道光束，经平面镜的点处反射，照射到天花板上的点处（根据光的反射定律可知）．已知光束与天花板形成的为，则反射光束与天花板形成的的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过作，证明，进一步得到，从而可得答案. 【详解】解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴. 6．如图，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子反射后，，，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形的内角和定理得出，再利用平角的定义得出，最后根据，得出即可解答． 【详解】解：如图， ， ， ． ，， ， ， ， 故选：C． 7．如图，分别是的高和角平分线，，则____°． 【答案】20 【分析】先根据已知条件得，，再根据三角形内角和定理求出，然后求出，最后根据得出答案． 【详解】解：∵分别是的高和角平分线， ∴于点D，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在中，平分，为线段上一点，过点作，若，，则______°． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理得出，确定，得出，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解： ，， ， ， ， ， 故答案为：． 10．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 【答案】/100度 【分析】利用三角形内角和为180度得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据和求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将纸片沿折叠，使点落在点处， ∴， ∴． 11．如图，在中，是高，是角平分线， (1)求的度数； (2)求的度数； (3)试探究与之间的数量关系（)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）角平分线的定义求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数，角的和差关系即可得出结果； （3）同法（2）进行求解即可. 【详解】（1）解：在中，， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∵是的高，是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，是的角平分线，是的高， ∴， ∴ ∴. 12．如图，，． (1)判断与的位置关系，并证明结论； (2)若于点，，．求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，可得； （2）求出，再由三角形内角和定理可得结论． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：由（1）得，由， ， ， ， ， ， ， ． 13．如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若，，则与的周长差为______； (2)若的面积为5，则的面积______； (3)当，时，求的度数． 【答案】(1)3 (2)10 (3) 【分析】（1）是中线，，共线，周长差，就是与的差值； （2）与以所在直线为底，高度相等，是中线，，所以； （3）根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线性质求出，再求出的余角，最后，求出． 【详解】（1）解：是中线， ， ． （2）解： 是中线， ， 是的高， ，， ． （3）解：是的高， ， ， ， ， 是的角平分线，， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2 三角形的内角（知识解读） 【人教版2024】 题型归纳 题型1 利用三角形的内角和直接求角 1 题型 2·三角形内角和的证明 3 题型 3·三角形内角和与平行线的综合 5 题型 4·三角形内角和与角平分线的综合 6 题型 5·利用三角形内角和解决折叠中的角度计算 7 题型 6·利用三角形内角和解决三角板中的角度计算 8 题型 7··直角三角形的性质 9 题型 8··直角三角形的判定) 10 知识点1 三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于180°. 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°． 图 (1) 图 (2) 【拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4． 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D． 知识点2 直角三角形的性质及判定 1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°． 2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 ． 题型 1··利用三角形内角和直接求角 【例1】如图，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】一个三角形的两个内角分别是和，则第三个内角是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，和交于点，于点，连接．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 题型 2·三角形内角和的证明 【例2】课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③过上一点D作， ④过点C作于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 【变式2-1】【阅读材料】为了证明“三角形的内角和是”，老师给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 【回答问题】 (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中，应用的数学思想是_________． A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 (2)请选用图③或图④证明三角形的内角和为． 【变式2-2】阅读下列材料，回答问题 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如图两种方法． 小明同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于 证明过程如下：已知：如图3，．求证： 证明：如图3，过点A作 _________（_________________） 同理 （______________） (1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全小明同学证明过程中所缺的内容； (2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成． 【变式2-3】在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，有如下两种实验方法．    小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证： 证明：延长，过，点C作．   ，． ， ．    请你参考小明的思路，写出实验方法2的证明过程． 题型 3·三角形内角和与平行线的综合 【例3】如图，直线、，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式3-1】如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】如图，直线，被直线，所截．若//，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型 4·三角形内角和与角平分线的综合 【例4】如图，在中，，与的平分线相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为（   ） A．42° B．40° C．38° D．36° 【变式4-2】如图，在中，，，平分，交于D，，交于E，则的大小是（ ）   A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在中，于点D，平分交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 题型 5·利用三角形内角和解决折叠中的角度计算 【例5】如图，在中，，，点，分别是，上动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，把沿折叠，使点A落在点处，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原中的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图所示，在中，将点A与点B分别沿和折叠，使点A，B都与点C重合，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【题型 6·利用三角形内角和解决三角板中的角度计算 【例6】将一副教学常用三角板（厚度不计）如图摆放，则（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，将含角的直角三角板和长方形直尺按如图的方式摆放在同一平面内，其中，，三角板的边，与直尺一条边的两个交点分别为点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】将一副三角板如图摆放，，，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】一副三角板如图所示放置，两个三角形的斜边互相垂直，垂足为点，其中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型 7··直角三角形的性质 【例7】在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，，，垂足分别为．下列说法正确的个数是（   ） ①点到线段的距离为线段的长度； ②； ③； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式7-3】如图，在△中，，于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型 8··直角三角形的判定) 【例8】下列条件中，不能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D．是边上的高 【变式8-1】满足下列条件的不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 【变式8-2】若中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【变式8-3】下列说法正确的是（   ） A．有一个角是的三角形是直角三角形 B．有两个角互余的三角形是直角三角形 C．两个锐角互余的三角形是直角三角形 D．以上说法都正确 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．如图，直线，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．如果等腰三角形的一个角等于，则它的底角等于（   ） A． B． C．或 D．或 5．如图，在光的反射活动课中，小李同学将一面平面镜放置在水平地面上，调节其支架的高度，使平面镜与地面形成的为．用激光笔从点处射出一道光束，经平面镜的点处反射，照射到天花板上的点处（根据光的反射定律可知）．已知光束与天花板形成的为，则反射光束与天花板形成的的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子反射后，，，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 7．如图，分别是的高和角平分线，，则____°． 8．如图，在中，平分，为线段上一点，过点作，若，，则______°． 9．一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为______． 10．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 11．如图，在中，是高，是角平分线， (1)求的度数； (2)求的度数； (3)试探究与之间的数量关系（)． 12．如图，，． (1)判断与的位置关系，并证明结论； (2)若于点，，．求的度数． 13．如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若，，则与的周长差为______； (2)若的面积为5，则的面积______； (3)当，时，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $