《13.3.2三角形的外角》 教学设计 2025--2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“三角形的外角”核心内容，涵盖定义、性质及外角和360°等知识点。以埃及金字塔测量视频情境导入，关联已学的三角形内角和定理，搭建新旧知识衔接的学习支架。 此设计采用“问题驱动+技术赋能”探究式教学，通过几何画板动态演示外角性质，分层设计证明思路（基础用内角和、进阶用辅助线），培养逻辑推理与直观想象。生活化实践作业（拍摄标注生活中的三角形外角）发展应用意识，助力学生提升数学思维，便于教师落实核心素养教学。

《13.3.2三角形的外角》教学设计 学校名称 XX中学 课例名称 《13.3.2三角形的外角》 教师姓名 XXX 学段学科 初中数学 教材版本 人教版（2024） 章节 第十三章第3节 年级 八年级 教学目标 1.理解三角形外角的定义，掌握三角形的外角的性质，能运用性质解决简单几何问题. 2.借助几何画板探究外角性质，经历“观察—猜想—验证—推理”的过程，培养空间观念、逻辑推理能力和数据分析能力. 3.结合埃及金字塔测量的历史情境，感受数学与现实的联系，学会用数学的眼光观察现实世界，体会古人的智慧，渗透“用数学解决实际问题”的应用意识. 教学重难点 教学重点：掌握三角形外角的定义及性质. 教学难点：外角性质的推理过程及灵活应用. 学情分析 1.知识基础：八年级的学生已经掌握了三角形的基本概念和内角和定理，具备了一定的观察、猜想和简单推理的能力。 2.心理与能力特点：该年龄段的学生思维活跃，好奇好动，但抽象思维和严谨的逻辑演绎能力仍在发展中。 3.核心素养发展障碍预测：在抽象能力方面，学生容易混淆“外角”与“邻补角”的概念；在逻辑推理方面，在证明外角性质时，对如何添加辅助线以及“转化”的数学思想存在困难；在直观想象方面，在复杂图形中识别特定三角形的外角可能存在困难。 教学方法 本节课采用“问题驱动 + 技术赋能”的探究式教学法，具体包括： 1.情境教学法：以埃及金字塔测量视频为导入，创设“如何用三角形知识解决高大建筑测量”的真实问题。 2.自主探究法：借助几何平台，学生自主绘制三角形、标注外角，通过数据观察猜想性质。 3.分层教学法：基于预习反馈，为不同层次学生设计差异化任务，促进全体学生在逻辑推理等领域获得发展。 教学过程 1、 情景导入：金字塔的角之谜——培育应用意识 1.观看介绍埃及金字塔的视频，并提出真实问题：“古人没有先进的仪器，是如何测量金字塔侧面与底面所成的角的呢？ 2.师生活动：教师引导学生思考，能否将这个问题转化为我们已经学过的三角形知识？ 【设计意图】通过历史名题创设真实、有效的情境，让学生感受到数学不是抽象的符号，而是解决实际问题的强大工具，深刻体会数学的应用价值和历史文化内涵，激发探究欲望。 二、新知探究：外角的定义与性质——贯穿抽象、直观、推理与建模 活动一：探究三角形外角的定义（聚焦数学抽象与直观想象） 问题1：如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.观察思考 ∠ACD有什么特征？ 师生活动：教师提出问题，激发学生积极探寻解决问题的办法，通过合作探究从而归纳外角定义。 解：顶点在三角形的一个顶点上； 一条边是三角形的一条边； 另一条边是三角形的某条边的延长. 引出三角形外角定义：像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 【设计意图】从实际出发，让学生理解三角形外角的特征，以便在之后的练习中能够更快的找到外角。 思考：如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？ 解：∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的一个外角. 问题2：想一想△ABC的外角有几个，每个顶点处有几个外角？ 它们有何关系？试着画一画. （1）每一个三角形都有___个外角. （2）每一个顶点相对应的外角都有___个. 师生活动:学生独立思考后小组讨论，选派代表作答，教师顺势总结. 解：(1)6；(2)2；它们是对顶角，因此它们相等。 总结：研究有关外角的问题时，通常每个顶点处取一个外角. 【设计意图】培养学生的自主学习能力和归纳总结能力，锻炼学生的实践能力. 例1 如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？ 解：∠BEC 是△AEC 的外角；∠AEC 是△BEC 的外角；∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角. 活动二：探究三角形外角的性质（聚焦逻辑推理、数据分析与模型观念） 问题3（建模基础）：如图，△ABC的外角∠ACD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？ 师生活动:教师提出问题，学生独立思考并举手回答. 解：因为∠ACD＋∠ACB=180°， 所以∠ACD与∠ACB互补． 设计意图：让学生通过独立思考，可以利用三角形内角和解题；培养学生发现问题，解决问题和直观想象能力. 问题4（猜想与验证）：三角形的外角与相邻的内角互补，那么三角形的外角与不相邻的内角又有什么关系呢？你能推测出来吗？ 如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角.能由∠A，∠B求出∠ACD吗？猜测∠ACD与∠A，∠B有什么关系？ 师生活动:教师提出问题，学生思考后举手回答. 证明：能，∠ACD＝∠A＋∠B. 理由如下： ∵∠A＋∠B＋∠ACB=180°，∠A=70°，∠B=60°， ∴∠ACB=180°∠A∠B=180°70°60°=50°， ∠A+∠B=70°+60°=130°， ∵∠ACB＋∠ACD=180°， ∴∠ACD＝180°－∠ACB＝130°. ∴∠ACD＝∠A＋∠B. 猜想：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【设计意图】通过上图的展示，帮助学生有效观察，利用三角形内角和定理解题，提高学生的辩证能力. 问题5：任意一个三角形的一个外角和它不相邻的两个内角是否都有这种关系？ 验证：利用几何画板演示三角形的外角和它不相邻的两个内角和相等. 推理： 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，求证：∠ACD=∠A+ ∠B 思路1：结合三角形内角和和邻补角，你能推出什么？（适合基础学生）； 思路2：尝试通过作辅助线，利用平行线性质证明（适合进阶学生）。 证明1：∵∠ACD+ ∠ACB=180°（邻补角的定义） ∴∠ACD =180°∠ACB 又∵∠A+ ∠B+ ∠ACB=180°（三角形内角和180°） ∴∠A+ ∠B =180 °－∠ACB ∴∠ACD =∠A+∠B(等量代换) 证明2：过C作CE∥AB ∵CE ∥AB ∴∠A =∠ACE（两直线平行，内错角相等） ∠B =∠DCE （两直线平行，同位角相等） 又∵ ∠ACD =∠ACE +∠DCE ∴∠ACD =∠A +∠B 证明3：过A作EF∥BD ∴∠ACD =∠EAC ∠EAB =∠B 又∵∠EAC=∠BAC+∠EAB ∴∠EAC=∠BAC+∠B ∴∠ACD =∠BAC+∠B 【设计意图】让学生完整经历“具体计算→数据观察→提出猜想→逻辑证明”这一数学发现的全过程。在此过程中，培养了学生的数据分析能力、合情推理与演绎推理能力，并深刻体验了“转化”这一重要的数学思想方法。分层证明照顾了差异性，让所有学生都能体验推理的成功。 总结：对任意三角形：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 三角形内角和定理的推论（三角形外角的性质）: 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 几何语言：如图，∵∠ACD是△ABC的一个外角 ∴∠ACD=∠A+∠B 思考：三角形的一个外角和它不相邻的一个内角有何数量关系？ 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 三角形外角的性质: （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．（由三角形内角和得出的推论） （2）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 推论是由定理直接推出的结论．和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据. 三、应用新知：外角和的探索——强化直观想象与模型观念 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 思路1：根据三角形外角的性质，可知∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.因为三角形内角和是180°,所以∠1+∠2+∠3=180°，由此可求出∠BAE，∠CBF，∠ACD的和. 思路2：根据三角形的外角与相邻的内角互补得出结论. 解法1：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE=∠2+∠3， ∠CBF=∠1+∠3， ∠ACD=∠1+∠2. 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）. 由∠1+∠2+∠3=180°，得∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°. 解法2：由三角形的一个外角与其相邻的内角互补，得 ∠BAE+∠1=180°， ∠CBF+∠2=180°， ∠ACD+∠3=180°. 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD+∠1+∠2+∠3=540°. 由∠1+∠2+∠3=180°， 得∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°. 总结：三角形的外角和为360°. 在三角形的每个顶点各取一个外角，这三个外角的和叫作三角形的外角和. 让学生观看三角形内角和是360°的视频，加深对知识的理解. 【设计意图】一题多解，既是对外角性质模型的巩固应用，又通过动态演示，发展学生的直观想象能力，让“三角形的外角和为360°”这一结论变得直观而深刻。 四、当堂训练——综合提升核心素养 说出下列各图形中∠1和∠2的度数. 解：(1)∠2=60°+80°=140°，∠1=180°-140°=40°. (2)∠2=30°+40°=70°，∠1=180°-70°=110°. (3)∠2=180°-40°=140°，∠1=140°-90°=50°. (4)∠ACD=40°+70°=110°，则∠2=180°-∠ACD=70°， 因为CE平分∠ACD，所以∠1=×110°=55°，. (5)∠1=60°+20°=80°，∠2=180°-60°-80°=40°. (6)因为对顶角相等，所以∠1=180°-30°-90°=60°，∠2=180°-60°-90°=30°. 【设计意图】让学生进一步巩固所学知识，加强学生对本节知识的掌握，培养应用意识，锻炼运用能力和解题能力. 五、课堂小结——系统梳理，升华认知 师生活动：师生共同从知识、方法、素养三个层面回顾总结。 1.知识层面：我们学习了什么？（外角定义、性质、外角和） 2.方法层面：我们是怎么学习的？（观察-猜想-验证-推理的探究路径） 3.素养层面：你有什么感悟？（学会用数学眼光去观察，用数学思维去思考，用数学语言去表达） 【设计意图】引导学生从“学会”到“会学”，进行元认知层面的反思，将课堂收获系统化、结构化，实现核心素养的内化。 六、当堂检测——分层评估，素养落地 课堂评价单 1.判断下列说法是否正确. (1)三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ） (2)三角形的一个外角大于任何不相邻的一个内角. （ ） (3)三角形的外角和是指三角形所有外角的和. （ ） 2.如图1,AB∥CD,∠A＝37º,∠C＝63º，那么∠F等于( ) A.26º B.63º C.37º D.60º 图1 图2 3.如图2，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于F，∠A=70°，∠ACD=20°，∠ABE=28°，则∠CFE的度数为_____. 4.如图3，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A 的度数． 图3 七、课后作业——延伸应用，连接生活 1.基础作业：教科书第16页习题13.3第4，5，6题. 2.实践作业（发展应用意识与直观想象）： 观察生活中的三角形外角 任务：用手机或相机拍摄3-5张生活中包含三角形的物体照片（如自行车车架、晾衣架、屋顶、标志牌等）. 要求：在照片中标注出至少一个三角形的外角，并说明外角与内角的关系，提交照片+标注（可用绘图软件或文字说明）. 【设计意图】将数学学习从课堂延伸至生活，让学生在真实世界中寻找、识别数学概念，深化理解，强化数学应用意识和数学眼光。 教学反思 1. 本节课以“金字塔测量”这一数学建模情境贯穿始终，有效激发了学生的兴趣和应用意识。 2. 探究环节通过几何画板赋能，让学生在数据分析中猜想，在逻辑推理中证明，较好地突破了难点，掌握了重点。 3. 分层教学策略和多元的证明方法，照顾了学生差异，让不同层次学生的逻辑推理能力都得到了锻炼。 4. 对外角和的直观化处理（动画演示拼成周角），以及生活化的实践作业，极大地发展了学生的直观想象能力和数学抽象能力。 5. 后续可进一步设计开放性问题，让学生在更复杂的图形中灵活应用外角性质，以更好地提升综合素养。 学科网（北京）股份有限公司 $