13.1 三角形概念﹑三角形的有关线段 讲义-2026-2027学年人教版 八年级数学上册

本讲义聚焦三角形概念及有关线段核心知识点，系统梳理三角形定义、三要素、表示方法，按边和按角的分类标准，三边关系原理，以及中线、角平分线、高的概念与性质，构建从基础概念到性质应用的完整学习支架。 该资料亮点在于题型系统归纳，10类题型覆盖概念辨析、分类判断、三边关系应用、线段计算等，通过例题与变式训练，培养学生抽象能力、几何直观和推理意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

13.1 三角形概念﹑三角形的有关线段（知识解读） 【人教版2024】 题型归纳 【题型1 三角形的有关概念】 6 【题型2 三角形的分类】 7 【题型3 利用三边关系判断能否组成三角形】 6 【题型4 利用三边关系求参数范围】 7 【题型5 利用三边关系化简】 9 【题型6 中线、角平分线、高概念辨析】 11 【题型7 利用三角形的中线求长度】 13 【题型8 利用三角形的中线求面积】 16 【题型9 等积法求值】 18 【题型10 与角平分线有关的求值】 21 知识点1 三角形的有关概念 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三角形的三要素 3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC用符号表示为△ABC. 【题型1 三角形的有关概念】 【例1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式1-1】如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的基本构成，掌握角、边的表示是关键，根据图示，写出角、边即可． 【详解】解：与的夹角是， ，的公共边是， 故答案为：①，②． 【变式1-2】如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 【答案】 ． 【分析】本题考查了三角形的定义，根据三角形的定义数出三角形的个数，找出以为边的三角形以及以为一个内角的三角形，即可求解． 【详解】解：图中的三角形有、、、、、，共个； 以为边的三角形有、、， 以为一个内角的三角形是、、． 故答案为：；；． 【变式1-3】如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】(1)的三个内角是：，， (2)； (3)6，是，的公共角 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 【详解】（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； 【题型2 三角形的分类】 【例2】如图表示三角形的分类，关于A，B两个区域的说法，正确的是（   ） A．A区域是等边三角形，B区域是锐角三角形 B．A区域是锐角三角形，B区域是钝角三角形 C．A区域是等腰三角形，B区域是等边三角形 D．A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据题意可得B区域是至少有两条边相等的三角形，再结合等边三角形一定是锐角三角形，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形，等边三角形一定是等腰三角形即可得到答案． 【详解】解：等边三角形一定是锐角三角形，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形，等边三角形一定是等腰三角形， 根据题意可得，B区域包含A区域，且B区域是至少有两条边相等的三角形， ∴A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形， 故选：D． 【变式2-1】三角形按边分类可分为（    ） A．等腰三角形和等边三角形 B．等边三角形和不等边三角形 C．等腰三角形和不等边三角形 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了三角形，理解三角形的分类和等腰三角形的性质是解题的关键． 根据三角形按边分类的定义即可解答． 【详解】解：三角形按边分类可以分为等腰三角形和不等边三角形， 故选：C． 【变式2-1】如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定三角形的形状 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的分类，掌握各类三角形的定义是解题的关键． 根据钝角三角形的定义作答即可． 【详解】解：由三角形中有1个已知角为钝角，则这个三角形是钝角三角形． 故选：C． 【变式2-2】三角形按边的相等关系分类用如图所示的集合来表示，则图中，分别表示的三角形是（   ）    A．等边三角形、等腰三角形 B．等腰三角形、等边三角形 C．锐角三角形、等腰三角形 D．等腰三角形、锐角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的分类，要注意等腰三角形与等边三角形两个概念的区别．根据三角形按边的分类方法即可确定． 【详解】解：三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形，等腰三角形包括腰和底不相等的等腰三角形和等边三角形， 故选：B． 知识点2 三角形的分类 1.等腰三角形的定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. 2.三角形的分类 (1) 按边分类 三边都不相等的三角形 三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 （2） 按角分类直角三角形 三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 知识点3 三角形的三边关系 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 3.拓展：在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大，较大的角所对的边也比较大. 【题型3 利用三边关系判断能否组成三角形】 【例3】如图表示三角形的分类，关于A，B两个区域的说法，正确的是（   ） A．A区域是等边三角形，B区域是锐角三角形 B．A区域是锐角三角形，B区域是钝角三角形 C．A区域是等腰三角形，B区域是等边三角形 D．A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据题意可得B区域是至少有两条边相等的三角形，再结合等边三角形一定是锐角三角形，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形，等边三角形一定是等腰三角形即可得到答案． 【详解】解：等边三角形一定是锐角三角形，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形，等边三角形一定是等腰三角形， 根据题意可得，B区域包含A区域，且B区域是至少有两条边相等的三角形， ∴A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形， 故选：D． 【变式3-1】三角形按边分类可分为（    ） A．等腰三角形和等边三角形 B．等边三角形和不等边三角形 C．等腰三角形和不等边三角形 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了三角形，理解三角形的分类和等腰三角形的性质是解题的关键． 根据三角形按边分类的定义即可解答． 【详解】解：三角形按边分类可以分为等腰三角形和不等边三角形， 故选：C． 【变式3-2】如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定三角形的形状 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的分类，掌握各类三角形的定义是解题的关键． 根据钝角三角形的定义作答即可． 【详解】解：由三角形中有1个已知角为钝角，则这个三角形是钝角三角形． 故选：C． 【变式3-3】三角形按边的相等关系分类用如图所示的集合来表示，则图中，分别表示的三角形是（   ）    A．等边三角形、等腰三角形 B．等腰三角形、等边三角形 C．锐角三角形、等腰三角形 D．等腰三角形、锐角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的分类，要注意等腰三角形与等边三角形两个概念的区别．根据三角形按边的分类方法即可确定． 【详解】解：三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形，等腰三角形包括腰和底不相等的等腰三角形和等边三角形， 故选：B． 【题型4 利用三边关系求参数范围】 【例4】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，，B．，，C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断时只需验证较小两条线段的和是否大于最大线段，即可得到结论． 【详解】解：选项A：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形； 选项B：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形； 选项C：∵，满足两边之和大于第三边，∴能组成三角形； 选项D：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形． 【变式4-1】下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系定理，判定能否组成三角形时，只需验证较小两边的和是否大于最长边，满足条件即可构成三角形，反之不能． 【详解】解：∵ ，不满足三边关系，∴选项A不能摆成三角形； ∵ ，不满足三边关系，∴选项B不能摆成三角形； ∵ ，不满足三边关系，∴选项C不能摆成三角形； ∵ ，满足三角形三边关系，∴选项D能摆成三角形． 【变式4-2】把一根长的铁丝按下列各选项中的长度剪成三段，首尾顺次相接可以围成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，只需验证较小两边之和是否大于最大边，即可判断能否围成三角形． 【详解】解：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，判断时只需比较较小两边的和与最大边的大小： A选项，三边长为，，，最大边为， ， 能围成三角形，该选项符合题意； B选项，最大边为， ， 不能围成三角形，该选项不符合题意； C选项，最大边为， ， 不能围成三角形，该选项不符合题意； D选项，最大边为， ， 不能围成三角形，该选项不符合题意， 故选：A． 【变式4-3】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．1，1，2 B．1，2 ，3 C．1，4，7 D．2，3，4 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，判定三条线段能否组成三角形，只需验证两条较短线段的长度之和是否大于最长线段的长度即可． 【详解】解：A、∵，∴不能组成三角形． B、∵，∴不能组成三角形． C、∵，∴不能组成三角形． D、∵，∴能组成三角形． 故选：D． 【题型5 利用三边关系化简】 【例5】已知两根木条的长分别为3和7，现再选一根木条，用这三根木条围成一个三角形木架，则所选木条的长度x的取值范围为_________． 【答案】/ 【详解】解：根据三角形三边关系，可得，即． 【变式5-1】已知一个三角形的三边长分别为3，6，，若为奇数，则的值可以为________．(写出一个即可) 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得到，再结合为奇数，即可得到符合条件的的值． 【详解】解：根据三角形三边关系可得 ∴ ． ∵为奇数，所以的值可以为，7． 【变式5-2】若三角形的三边分别为1，，4，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵三角形三边长分别为，，， ∴可得 ，即 ， 解得：． 【变化5-3】若a、b、c为三角形的三边长，且a、b满足，则第三边长c的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：∵a、b满足， ∴，， ∴，， ∵a、b、c为三角形的三边长， ∴，即． 知识点2 三角形的中线 定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 三角形的三条中线相交于一点.交点在三角形内部. 知识点3 三角形的角平分线 定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部. 知识点4 三角形的高 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 2.三角形的三条高的特性 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 【题型6 中线、角平分线、高概念辨析】 【例6】已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 【答案】(1)27 (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而求得c的最大值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ，即， ∵c为整数， ∴当，周长的最大值为； （2）解：的三边长为a，b，c， ，，， ∴ ． 【变式6-1】已知的三边长是a，b，c． (1)若，，求的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据三角形的三边关系，进行求解即可； （2）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】（1）解： 的三边长为，，，且，， ， 即． 故答案为：； （2）解：是的三边长， ∴，则， 原式 ． 【变式6-2】已知，，是的三边， (1)比较大小：_______0，_______0，_______0．（填入“、或”号） (2)化简． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握绝对值的化简方法是解决本题的关键． （1）由三角形的三边关系即可求解； （2）根据（1）进行化简即可． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系得，，，， 故答案为：，，； （2）解：由（1）可得， ． 【变式6-3】已知，，是的三边． (1)若，，则第三边c的取值范围是 ； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系，绝对值的化简，解题的关键是掌握三角形的三边关系． （1）根据三角形三边关系，“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，求解即可； （2）根据三角形三边关系可得，，，化简绝对值，求解即可． 【详解】（1）解：a，b，c是的三边，，， 则，可得， 即第三边的取值范围是， 故答案为：； （2）解：由a，b，c是的三边可得，，， 则，， 可得，， ∴． 【题型7 利用三角形的中线求长度】 【例7】如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用和三角形中线的定义可判断C选项的正确；利用平分和角平分线的定义即可判断出B选项的正确；由三角形的高线的定义，可判断D选项的正确；利用角平分线的定义只能得到，但没有办法得到，可判断出A选项错误． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故C正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意； ∵平分， ∴． 但没有办法得到，故A错误，符合题意． 故选：A． 【变式7-1】下列说法正确的是（    ） A．任意三条线段都可以围成三角形 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的三条高一定相交于一点 D．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的基本性质与相关概念，解题的关键是准确掌握三角形三边关系、角平分线、高、中线及重心的定义． 逐一分析每个选项，结合三角形的相关定义和性质判断其正确性． 【详解】解：A、根据三角形三边关系，任意两条线段长度之和必须大于第三条线段，并非任意三条线段都能围成三角形，此选项不符合题意； B、三角形的角平分线是线段，而非射线，此选项不符合题意； C、三角形的三条高所在的直线相交于一点，但钝角三角形的高会交于三角形外部，并非高本身一定相交于一点，此选项不符合题意； D、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，此选项符合题意． 故选：D． 【变式7-2】如图，，点A在线段上，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【分析】本题考查了三角形高的定义，掌握三角形高的定义是解题的关键； 根据从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，即可解决． 【详解】解：∵，点A在线段上， ∴， ∴边上的高是线段， 故选：B． 【变式7-3】如图,分别是的高、角平分线、中线,则下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形高、角平分线、中线的定义；根据三角形高、角平分线、中线的定义判断选项即可． 【详解】解：A、是的高，即,所以，故A不符合题意； B、是的角平分线，即平分,所以，故B不符合题意； C、是的中线,即是中点，所以，故C不符合题意； D、无法由的高、角平分线、中线得出，故D符合题意． 故选：D． 【题型8 利用三角形的中线求面积】 【例8】如图，分别是的中线，高线，已知的面积是8，，则BC的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形面积、三角形的中线等知识点，掌握三角形面积公式以及中线的定义是解题的关键． 由代入可得，再由是的中线即可得即可解答． 【详解】解：∵是的高线，的面积是8，， ，解得：， ∴． 故选：D． 【变式8-1】如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中线，掌握三角形的中线是三角形一边的中点与对角的顶点的连线段是解题的关键． 由于是边上中线，所以，所以的周长比的周长多的部分等于，再根据即可得出的长． 【详解】解：∵是边上中线， ∴， ∴， ∵的周长比的周长大，且． ∴，即． 故选：A． 【变式8-2】如图，的周长为，是边上的中线，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的周长等知识，根据三角形中线的性质得到，求出，再根据三角形的周长即可得出答案． 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 故选：B． 【变式8-3】如图，在中，，，是边上的中线．若的周长为38，则 的周长是（    ） A．23 B．35 C．33 D．53 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据中线的定义得出以及利用周长的定义求出是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长为38，， ∴， ∴， ∵， ∴的周长． 故选：B． 【题型9 等积法求值】 【例9】如图，在中，分别为的中点．若的面积为，则的面积为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中线将三角形分为两个面积相等的三角形求解即可． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴是的中线，是的中线， ∴， ． 【变式9-1】如图，是的中线，连接，的面积是20，则的面积是（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．5 【答案】D 【分析】根据是边上的中线，得到，根据是边上的中线，解答即可． 【详解】解：∵是边上的中线，的面积等于20， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 【变式9-2】如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段，，，的中点．若的面积为2，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．24 D．28 【答案】D 【分析】连接，，根据三角形的中线将三角形的面积平分，可分别求得，，，可得，再根据点D是线段的中点，即可求得答案． 【详解】解：连接，， 点G是线段的中点， ，， 点F是线段的中点， ，， 点E是线段的中点， ，， ， 点D是线段的中点， ． 【变式9-3】如图，在中，点分别是边上的中点，连接，点F在上，满足，连接，若的面积是12，则图中四边形的面积是（   ）    A．4 B． C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的中线，弄清面积之间的关系是解题的关键． 由三角形的中线可得、，再说明，易得，最后根据求解即可． 【详解】解：∵在中，点是边上的中点，的面积是12， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【题型10 与角平分线有关的求值】 【例10】如图，，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质求出的面积，再根据面积公式求出即可． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∵， 即， ∴． 【变式10-1】如图，在中，为边上的中线，．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质可得，再结合直角三角形面积公式，代入与的面积，进而求出垂线段的长度． 【详解】解：为边上的中线， ， ， ， ． 【变式10-2】在中，，，，，那么点到的距离是（    ） A．3 B．4 C．4.8 D．2.4 【答案】D 【分析】本题考查三角形的面积，根据题意画出图形，然后作于点D，根据面积法，可以求得CD的长． 【详解】解：作于点D，如右图所示， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 【变式10-3】如图，在中，为中线，，分别是，的高，若，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线的性质、与三角形的高有关的计算，由题意可得，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，为中线， ， ∵和分别为和的高， ， 即， ， 故选：A． 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ． 故选：A． 2．如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．熟练掌握角平分线的定义，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，由平分，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，直线a、b被直线c所截，交点分别为B、C，且直线，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质，根据平行线的性质可得，，再根据角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，在中，，平分交于点D，，交于点E，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义及三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 5．如图，点在的边的延长线上，连接．图中三角形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，根据三角形的定义即可得解． 【详解】解：由题意可知，三角形分别有，，，共3个． 故选：C． 6．在中，如果，那么是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，有两边相等的三角形是等腰三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， 故选：B． 7．如图是三角形的两种分类，下列判断正确的是（   ） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的分类，掌握三角形的分类方法是解题的关键． 按角分类为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边的相等关系分为不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）；据此即可解答． 【详解】解：按角分类：直角三角形，锐角三角形和钝角三角形，即①正确． 按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．即②的分类不正确． 故选：A． 8．已知的三边长分别是a，b，c，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，判断绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号合并同类项即可． 【详解】解：∵的三边长分别为，，， 根据三角形三边关系，可得，， ∴，， ∴ ． 9．如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的高线、角平分线、中线的定义判断即可． 【详解】解：∵是高线， ∴，故选项A正确； ∵是角平分线， ∴，故选项B正确； ∵是中线， ∴，故选项C正确； 无法证明，故选项D错误． 10．如图，在中，、分别是的高且，，，则_____． 【答案】 【详解】解：根据三角形面积公式可得：， ∵， ∴， ∴． 11．如图，中，是两条中线，，则________． 【答案】4 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积求出的面积，再证明是的中线，可得，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，是中线， ∴， ∵是的中线， ∴点是的中点， ∴是的中线， ∴． 12．已知的三边长分别是a，b，c． (1)若a、b、c满足．判断的形状； (2)若，且为等腰三角形．求的周长． 【答案】(1) 是等边三角形 (2) 的周长为或 【分析】（1）直接根据，得出，整理得，进行判断即可； （2）由题意可得或，再结合三角形的三边关系分类求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵为等腰三角形，， ∴或， 当时，三角形的三边为3，3，5， 由，此时能构成三角形，此时的周长为； 当时，三角形的三边为5，5，3， 由，此时能构成三角形，此时的周长为； 综上，的周长为或． 13．如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，进而可得的周长； （2）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长为：， ， 的周长为：； （2）解：设点到边的距离为， 为的中线，为的中线， ，， ， ， ，即点到边的距离为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.1 三角形概念﹑三角形的有关线段（知识解读） 【人教版2024】 题型归纳 【题型1 三角形的有关概念】 4 【题型2 三角形的分类】 5 【题型3 利用三边关系判断能否组成三角形】 4 【题型4 利用三边关系求参数范围】 5 【题型5 利用三边关系化简】 5 【题型6 中线、角平分线、高概念辨析】 6 【题型7 利用三角形的中线求长度】 7 【题型8 利用三角形的中线求面积】 8 【题型9 等积法求值】 9 【题型10 与角平分线有关的求值】 10 知识点1 三角形的有关概念 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三角形的三要素 3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC用符号表示为△ABC. 【题型1 三角形的有关概念】 【例1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A．B．C．D． 【变式1-1】如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________． 【变式1-2】如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 【变式1-3】如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【题型2 三角形的分类】 【例2】如图表示三角形的分类，关于A，B两个区域的说法，正确的是（   ） A．A区域是等边三角形，B区域是锐角三角形 B．A区域是锐角三角形，B区域是钝角三角形 C．A区域是等腰三角形，B区域是等边三角形 D．A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形 【变式2-1】三角形按边分类可分为（    ） A．等腰三角形和等边三角形 B．等边三角形和不等边三角形 C．等腰三角形和不等边三角形 D．以上都不对 【变式2-1】如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定三角形的形状 【变式2-2】三角形按边的相等关系分类用如图所示的集合来表示，则图中，分别表示的三角形是（   ）    A．等边三角形、等腰三角形 B．等腰三角形、等边三角形 C．锐角三角形、等腰三角形 D．等腰三角形、锐角三角形 知识点2 三角形的分类 1.等腰三角形的定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. 2.三角形的分类 (1) 按边分类 三边都不相等的三角形 三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 （2） 按角分类直角三角形 三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 知识点3 三角形的三边关系 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 3.拓展：在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大，较大的角所对的边也比较大. 【题型3 利用三边关系判断能否组成三角形】 【例3】如图表示三角形的分类，关于A，B两个区域的说法，正确的是（   ） A．A区域是等边三角形，B区域是锐角三角形 B．A区域是锐角三角形，B区域是钝角三角形 C．A区域是等腰三角形，B区域是等边三角形 D．A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形 【变式3-1】三角形按边分类可分为（    ） A．等腰三角形和等边三角形 B．等边三角形和不等边三角形 C．等腰三角形和不等边三角形 D．以上都不对 【变式3-2】如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定三角形的形状 【变式3-3】三角形按边的相等关系分类用如图所示的集合来表示，则图中，分别表示的三角形是（   ）    A．等边三角形、等腰三角形 B．等腰三角形、等边三角形 C．锐角三角形、等腰三角形 D．等腰三角形、锐角三角形 【题型4 利用三边关系求参数范围】 【例4】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，，B．，，C．，， D．，， 【变式4-1】下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式4-2】把一根长的铁丝按下列各选项中的长度剪成三段，首尾顺次相接可以围成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式4-3】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．1，1，2 B．1，2 ，3 C．1，4，7 D．2，3，4 【题型5 利用三边关系化简】 【例5】已知两根木条的长分别为3和7，现再选一根木条，用这三根木条围成一个三角形木架，则所选木条的长度x的取值范围为_________． 【变式5-1】已知一个三角形的三边长分别为3，6，，若为奇数，则的值可以为________．(写出一个即可) 【变式5-2】若三角形的三边分别为1，，4，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变化5-3】若a、b、c为三角形的三边长，且a、b满足，则第三边长c的取值范围是_____． 知识点2 三角形的中线 定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 三角形的三条中线相交于一点.交点在三角形内部. 知识点3 三角形的角平分线 定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部. 知识点4 三角形的高 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 2.三角形的三条高的特性 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 【题型6 中线、角平分线、高概念辨析】 【例6】已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 【变式6-1】已知的三边长是a，b，c． (1)若，，求的取值范围； (2)化简． 【变式6-2】已知，，是的三边， (1)比较大小：_______0，_______0，_______0．（填入“、或”号） (2)化简． 【变式6-3】已知，，是的三边． (1)若，，则第三边c的取值范围是 ； (2)化简． 【题型7 利用三角形的中线求长度】 【例7】如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 【变式7-1】下列说法正确的是（    ） A．任意三条线段都可以围成三角形 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的三条高一定相交于一点 D．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 【变式7-2】如图，，点A在线段上，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【变式7-3】如图,分别是的高、角平分线、中线,则下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型8 利用三角形的中线求面积】 【例8】如图，分别是的中线，高线，已知的面积是8，，则BC的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式8-1】如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，的周长为，是边上的中线，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，在中，，，是边上的中线．若的周长为38，则 的周长是（    ） A．23 B．35 C．33 D．53 【题型9 等积法求值】 【例9】如图，在中，分别为的中点．若的面积为，则的面积为(     ) A． B． C． D． 【变式9-1】如图，是的中线，连接，的面积是20，则的面积是（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．5 【变式9-2】如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段，，，的中点．若的面积为2，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．24 D．28 【变式9-3】如图，在中，点分别是边上的中点，连接，点F在上，满足，连接，若的面积是12，则图中四边形的面积是（   ）    A．4 B． C．6 D．8 【题型10 与角平分线有关的求值】 【例10】如图，，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式10-1】如图，在中，为边上的中线，．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】在中，，，，，那么点到的距离是（    ） A．3 B．4 C．4.8 D．2.4 【变式10-3】如图，在中，为中线，，分别是，的高，若，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线a、b被直线c所截，交点分别为B、C，且直线，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，平分交于点D，，交于点E，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，点在的边的延长线上，连接．图中三角形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．在中，如果，那么是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 7．如图是三角形的两种分类，下列判断正确的是（   ） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 8．已知的三边长分别是a，b，c，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 9．如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，、分别是的高且，，，则_____． 11．如图，中，是两条中线，，则________． 12．已知的三边长分别是a，b，c． (1)若a、b、c满足．判断的形状； (2)若，且为等腰三角形．求的周长． 13．如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $