8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系单元复习（八大题型）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

**基本信息** 聚焦空间点线面位置关系，以正方体等模型为载体，通过辨析-判定-证明的递进式训练，系统培养空间观念与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |异面直线概念及辨析|4题|结合正方体中点线位置关系，考查异面直线定义理解与辨析|从概念辨析到性质应用，构建异面直线认知基础| |异面直线判定|4题|通过几何体展开图、平行六面体等情境，训练判定定理应用|强化"不共面"判定逻辑，衔接线线位置关系判断| |线面关系判断与证明|6题|以长方体为背景，涵盖线面平行/相交判定及符号表示|构建"线线-线面"转化思维，体现空间几何推理链| |面面关系判断与证明|8题|结合六棱柱、正方体等模型，考查面面平行/相交判定及命题真伪|形成"线面-面面"认知升级，深化空间几何体系构建|

8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 题型一 异面直线的概念及辨析 1．如图，正方体中，，，，，，分别为棱，，，，，的中点，为的中点，连接，，对于空间任意两点，，若线段上不存在线段与上的点，则称，两点“可透视”，则与点“可透视”的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据点、线、面的位置关系，在正方体中，易得，即四点共面，可得相交，也相交，另易得，即四点共面，同理可得相交，对于D，根据异面直线的判定可确定与、为异面直线即可判断. 【详解】连接， 在正方体中，分别为的中点， 所以，即四点共面， 则平面，又不平行，所以相交，故A错误； 同理也相交，故B错误； 又分别为的中点，所以， 所以共面，又不平行，所以相交，故C错误； 平面，，所以为异面直线， 同理可知也是异面直线，所以线段上不存在线段与上的点，故D正确； 故选：D. 2．若，且a，b为异面直线，则以下结论中，不正确的是（   ） A．a，b都与l平行 B．a，b中至多有一条与平行 C．a，b都与相交 D．a，b中至多有一条与相交 【答案】ACD 【分析】根据条件，判断与的关系，即可判断选项. 【详解】A.若a，b都与l平行，则，这与已知条件矛盾，故A错误； B.若两条直线都与平行，则平行，与是异面直线矛盾，中至多有一条与平行，故B正确； C．由B可知中的一条可以与平行，故C错误； D.中的2条可以与都相交，但不能交于同一点，故D错误. 故选：ACD. 3．如图，在正方体的所有棱所在直线中，与直线异面的共有____________条． 【答案】6 【分析】根据异面直线定义分别列举即可求得答案. 【详解】与直线有公共点的棱均与直线不异面，有共6条， 与直线异面的棱有，共6条. 故答案为：6 4．在平面内，两条直线相交形成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度．如图，在正方体中，异面直线AB与HF的错开程度怎样来刻画？这种刻画应用的是什么数学思想？ 【答案】答案见解析 【详解】平移转化成相交直线所成的角，由于，可用EF与HF的夹角来刻画． 应用的是数学上的转换思想，即化空间图形问题为平面图形问题． 题型二 异面直线的判定 5．如图，平行六面体，E，F分别是，的中点，与成异面直线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合平行六面体的性质判断选项中各线段与的位置关系，即可得答案. 【详解】由图可知、与均在平面内，故A、D不符合题意； 位于平面内，位于平面内，平面平面， 故与不相交； 又，与相交，故与不平行，则与异面，B正确； 连接，由于，故四边形为平行四边形， 则，又，故，C不符合题意， 故选：B 6．如图是一个正方体的展开图，则在这个正方体中，下列结论正确的是（   ） A．与平行 B．与是异面直线 C．与相交 D．与是异面直线 【答案】ABD 【分析】把平面图还原正方体，由正方体的结构特征逐一判断即可. 【详解】把正方体的平面展开图还原原正方体如图， 在正方体中，与平行，故A正确；由异面直线定义可得，与是异面直线，故B正确； 与是异面直线，故C错误；由异面直线定义可得，与是异面直线，故D正确； 故选：ABD. 7．如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有_________条.      【答案】3 【分析】根据异面直线的定义，即可判断. 【详解】和是异面直线， 和是异面直线， 和是相交直线，不是异面直线， 和是异面直线，所以有3条. 故答案为：3 8．已知P为所在平面外一点，，，E，F分别是PA和BC的中点． (1)求证：EF与PC是异面直线； (2)求EF与PC所成的角． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）应用反证法设EF与PC不是异面直线，得到A、B、C、P在同一平面内，与已知矛盾，则结论可证； （2）取AC的中点G，连接EG、FG，根据条件证明即为所求异面直线所成角． 【详解】（1）证明：用反证法，设EF与PC不是异面直线， 则EF与PC共面，从而CF与PE共面，即AP与BC共面， ∴A、B、C、P在同一平面内， 这与P是所在平面外的一点相矛盾． 故直线EF与BD是异面直线． （2）解：取AC的中点G，连接EG、FG， 由于E、F分别是PA、BC的中点， 则，且，， ∴相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与PC所成的角． 由，， 可得，， 故在等腰中，有， 即异面直线EF与PC所成的角为. 题型三 判断图形中的线面关系 9．已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（    ） A． B． C．或 D．与相交 【答案】C 【分析】以正方体为载体，取，，分别取面和为平面，即可判断结果. 【详解】 在正方体中，取，， 当取面为平面时， 所以满足，，此时； 当取面为平面时， 所以满足，，此时， 所以与平面的关系是或. 故选：. 10．如图，在长方体中，，M，N分别为棱的中点，则下列说法正确的是（    ） A．M，N，A，B四点共面 B．直线与平面相交 C．直线和所成的角为 D．平面和平面的夹角的正切值为2 【答案】BCD 【分析】A：连接，根据、、与面位置关系即可判断；B：为中点，连接，易得，根据它们与面的位置关系即可判断；C：若分别是中点，连接，易知直线和所成的角为，再证明△为等边三角形即可得大小；D：若分别是中点，求面和面的夹角即可，根据面面角的定义找到其平面角即可. 【详解】A：连接，如下图面，而面，面， 所以M，N，A，B四点不共面，错误； B：若为中点，连接，N为棱的中点， 由长方体性质知：，显然面， 若面，而面，显然有矛盾， 所以直线与平面相交，正确； C：若分别是中点，连接， 由长方体性质易知：， 而，故，即直线和所成的角为， 由题设，易知，即△为等边三角形， 所以为，正确； D：若分别是中点，显然，易知共面， 所以平面和平面的夹角，即为面和面的夹角， 而面面，长方体中，， 如下图，为和面夹角的平面角，，正确. 故选：BCD 11．如图，在正方体中，是的中点，则直线与平面的位置关系是_______；直线与平面的位置关系是_______. 【答案】 相交 平行 【分析】在平面中，由与相交可判断出直线与平面的位置关系，由平面平面可得出直线与平面的位置关系. 【详解】在平面中，四边形是梯形，且、是两腰，则直线与直线相交，所以，直线与平面相交； 在正方体中，平面平面，平面， 平面. 故答案为相交；平行. 【点睛】本题考查直线与平面位置关系的判断，解题时充分利用线面、面面关系相关的定理与定义进行转化、判断，考查逻辑推理能力，属于中等题. 12．如图所示，在长方体中，直线与长方体的六个面之间的位置关系如何？ 【答案】见解析． 【分析】根据长方体的性质即可得出直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系. 【详解】在平面内， 与平面，，，都相交， 与平面平行． 题型四 用定义证明线面关系 13．已知点直线，又平面，则直线与平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】确定直线和平面至少有一个交点，得到答案. 【详解】直线，又平面，故直线和平面至少有一个交点，故或. 故选：D 14．已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，表示不同的平面，则下列推理错误的是__________（填序号）. ①； ②； ③. 【答案】③ 【分析】由点线、点面关系，根据平面的基本性质判断点面、线面关系即可. 【详解】①由A，B表示不同的点，且，即有，故正确； ②由A，B表示不同的点，且，即有，故正确； ③由，则，即为经过点A的一条直线而不是点A，故错误. 故答案为：③ 15．如图，m，n是平面内的两条相交直线.如果，，求证：.      【答案】证明见解析 【分析】要证明，就是要证明l垂直于内的任意一条直线g（直线与平面垂直的定义）.如果我们能在g和m，n之间建立某种联系，并由，，得到，那么就能解决此问题. 【详解】在平面内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量，，，. 因为直线m与n相交，所以向量，不平行. 由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使. 将上式两边分别与向量作数量积运算， 得. 因为，， 所以. 所以. 这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线， 所以. 题型五 线面关系有关命题的判断 16．下列关于直线与平面的符号表示不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与平面位置关系的符号表示方法，结合选项，逐项判断，即可求解. 【详解】根据直线与平面位置关系的表示方法，可得： 若直线在平面内，可表示为；若直线与平面平行，可表示为； 若直线与平面相交于点，可表示为， 所以表示方法不正确的是. 17．已知直线，和平面，，则下列命题中真命题是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BD 【分析】由直线与平面的位置关系可得与平面，的位置关系还有其他情况满足题意，所以排除A、C选项，B、D选项可以用直线的方向向量和平面的法向量的角度来说明直线与平面的位置关系. 【详解】若，，与的位置关系可以是平行，相交或在面内，所以A选项错误； 若，则的方向向量是的法向量，因为，的方向向量与相同，故，所以B选项正确； 若，，与的位置关系可以是平行或在面内，所以C选项错误； 若，则的方向向量与的法向量平行，因为，的法向量与的法向量垂直， 所以与的法向量垂直，故或，又因为，则，所以D选项正确. 故选：BD. 18．已知m，n是两条不同的直线，表示平面，则下列命题中正确的是：________（填序号） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则． 【答案】③ 【分析】根据空间中线面的位置关系一一判断即可. 【详解】若，，则或，故①错误； 若，，则或或与相交，故②错误； 由线面垂直的性质定理可知，③正确； 若，，则或，故④错误． 故答案为：③ 19．如图，在长方体的六个表面中，指出在哪些平面内，与哪些平面相交，与哪些平面平行． 【答案】见解析 【分析】根据长方体的图像直接可判断. 【详解】由图可知平面，平面， 与平面、平面相交， 平面，平面. 题型六 判断图形中的面面关系 20．平面与平面相交于直线，点在平面上，点在平面上但不在直线上，直线与直线相交于点．设三点确定的平面为，则与的交线是（    ）    A．直线； B．直线； C．直线； D．以上均不正确． 【答案】C 【分析】根据已知得既在平面上又在平面可得答案. 【详解】因为直线与直线相交于点，，所以平面， 又点在平面上，所以平面， 因为平面，点在直线上，所以平面， 又平面，所以平面， 所以与的交线是直线. 故选：C.    21．（多选）如图，在棱柱中，下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C．与是异面直线 D．与是异面直线 E．平面平面 【答案】ABC 【分析】根据空间中点、线、面之间的位置关系的定义即可求解. 【详解】 通过观察题图，根据空间中点、线、面之间的位置关系的定义可得，选项A、B、C正确，因为与是共面直线，故D错误，因为平面平面，故E错误. 故选：ABC. 22．两个平面相交时，下列画法不正确的是__________． 【答案】①②③ 【分析】根据平面相交定义以及立体直观图画法判断即可. 【详解】①中虚线未标出，②③的平面虽相交但画法不合理，只有④正确． 故答案为：①②③ 23．在正方体中，分别为，的中点.求证：平面与平面相交. 【答案】证明见解析 【分析】由延长CE与，会相交于一点，即可求证； 【详解】证明：在正方体中，E为的中点， 与不平行. 延长CE与，延长线相交于一点， ，. 又平面，平面， 平面，平面， 所以平面与平面相交. 题型七 用定义证明面面关系 24．已知，是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面，平行的是（    ） A．，是平面内两条直线，且， B．，是两条异面直线，，，且， C．面内不共线的三点到的距离相等 D．面，都垂直于平面 【答案】B 【分析】中，没有与交于一点，不能判断；中，根据异面直线的定义和线面平行、面面平行的判断方法，能判断；中，举例说明不一定成立；中，，都垂直于平面时，两平面、的位置关系可能平行或相交． 【详解】解：对于，，是平面内两条直线，且，，没有与交于一点，不能判断； 对于，，是两条异面直线，，，且，，能判断； 因为，所以在内存在直线，又，所以； 又，是两条异面直线，所以直线与是两条相交直线； 又，所以； 对于，因为内不共线的三点到的距离相等，此三点在两平面相交时也可以找出， 所以不能判断； 对于，因为，都垂直于平面时，两平面、的位置关系可能是平行或相交， 所以不能判断． 故选：． 【点睛】本题考查了判断面面平行的应用问题，也考查了推理论证能力与空间想象能力． 25．已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，点在四边形内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（    ） A．截面的面积是 B．点和点到平面的距离不相等 C．若平面，则点的轨迹的长度是 D．若平面，则点的轨迹的长度是 【答案】ACD 【分析】取中点为，截面为等腰梯形，求其面积即可；平面过线段的中点，即可作出判断；过点分别做与平面，平面平行的平面，从而明确点的轨迹，得到长度. 【详解】取中点为，易得，即截面为等腰梯形， 又 ∴截面的面积是，故A正确； 连接，与交于点，则点为的中点， 而平面过线段的中点， ∴点和点到平面的距离相等，故B错误； 取的中点为，取的中点为，连接， 易得平面平面，即点的轨迹为，且，故C正确； 同样易知平面平面，即点的轨迹为，且，故D正确； 故选：ACD 26．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有______组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有______个. 【答案】 4. 6. 【解析】由六棱柱的两底面平行，每个侧面与其正对的侧面平行，即可得出第一空答案； 与某一个侧面平行的平面只有与其相对的平面，其它的与该侧面相交，即可得出第二空答案. 【详解】六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面.六棱柱共由8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系. 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了平面与平面的位置关系，属于基础题. 27．如图，在正方体中，E，F分别为，的中点，求证：平面与平面相交． 【答案】证明见解析 【分析】由题意得与不平行，则延长与必交于一点，设为点H，然后证明点H为两平面的公共点，则由公理3可得平面与平面相交． 【详解】证明：在正方体中，E为的中点， 所以，， 所以四边形为梯形， 所以与不平行， 所以延长CE与必交于一点，设为点H， 所以，且， 又平面，平面， 所以平面，平面， 所以点H为平面与平面的公共点， 所以平面与平面相交． 题型八 面面关系有关命题的判断 28．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（   ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直 【答案】C 【分析】根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系. 【详解】如图，在平行六面体中，记棱所在直线分别为， 显然满足 ，且平面，平面，此时平面平面； 又平面，平面，而平面与平面相交， 故这两个平面可以平行或相交. 故选：C. 29．已知、、为三条不同的直线，、为两个不同的平面，则（   ） A．由，，，得与平行或者异面 B．由，，，得或 C．由，，得 D．由，，，，得 【答案】ABC 【分析】根据面面平行推出、无公共点，可判断A选项；根据线面位置关系可判断B选项；根据线面位置关系和线面平行的性质可判断C选项；利用面面、线面位置关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，由，，可知，直线、无公共点，故与平行或者异面，A对； 对于B选项， 由，可得，因为，所以或，B对； 对于C选项，因为，过作平面，使得，则， 因为，，则，故，C对； 对于D选项，因为，，，则或，故， 若，则、平行、相交或异面，D错. 故选：ABC. 30．已知下列说法： ①若两个平面，，，则； ②若两个平面，，，则与是异面直线； ③若两个平面，，，则与一定不相交； ④若两个平面，，，则与平行或异面； ⑤若两个平面，，则与一定相交． 其中正确的序号是________（将你认为正确的序号都填上）． 【答案】③④ 【详解】①错，与也可能异面； ②错，与也可能平行； ③正确，，与无公共点，又，，与无公共点； ④正确，由已知及③知与无公共点，那么或与异面； ⑤错，与也可能平行． 31．判断下列各命题的正误，画出正确命题的图形，并用符号表示： (1)两个平面有三个公共点，它们一定重合； (2)空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内； (3)两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b可能是异面直线，也可能是相交直线； (4)正方体中，点O是的中点，直线交平面于点M，则A，M，O三点共线，并且A，O，C，M四点共面． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】在正方体中，举例证明（1）（2）不正确，同时证明（4）正确，再结合图形关系判断（3）即可. 【详解】（1）    对于（1）：如图三个公共点在一条直线上，平面与平面相交不重合，故（1）不正确； （2）对于（2）：正方体中从点出发的三条棱不在同一个平面内，故（2）不正确； （3）对于（3），若则确定一个平面，且与直线的交点都在此平面内，则共面，与是异面直线矛盾， 故直线可能是异面直线，也可能是相交直线, 图形可以取或.故（3）正确；    （4）对于（4），平面平面， 因为直线交平面于点， 所以，即三点共线， 因为三点共线，直线和直线外一点可以确定一个平面， 所以A，O，C，M四点共面，故（4）正确. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 题型一 异面直线的概念及辨析 1．如图，正方体中，，，，，，分别为棱，，，，，的中点，为的中点，连接，，对于空间任意两点，，若线段上不存在线段与上的点，则称，两点“可透视”，则与点“可透视”的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．若，且a，b为异面直线，则以下结论中，不正确的是（   ） A．a，b都与l平行 B．a，b中至多有一条与平行 C．a，b都与相交 D．a，b中至多有一条与相交 3．如图，在正方体的所有棱所在直线中，与直线异面的共有____________条． 4．在平面内，两条直线相交形成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度．如图，在正方体中，异面直线AB与HF的错开程度怎样来刻画？这种刻画应用的是什么数学思想？ 题型二 异面直线的判定 5．如图，平行六面体，E，F分别是，的中点，与成异面直线的是（    ）． A． B． C． D． 6．如图是一个正方体的展开图，则在这个正方体中，下列结论正确的是（   ） A．与平行 B．与是异面直线 C．与相交 D．与是异面直线 7．如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有_________条.      8．已知P为所在平面外一点，，，E，F分别是PA和BC的中点． (1)求证：EF与PC是异面直线； (2)求EF与PC所成的角． 题型三 判断图形中的线面关系 9．已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（    ） A． B． C．或 D．与相交 10．如图，在长方体中，，M，N分别为棱的中点，则下列说法正确的是（    ） A．M，N，A，B四点共面 B．直线与平面相交 C．直线和所成的角为 D．平面和平面的夹角的正切值为2 11．如图，在正方体中，是的中点，则直线与平面的位置关系是_______；直线与平面的位置关系是_______. 12．如图所示，在长方体中，直线与长方体的六个面之间的位置关系如何？ 题型四 用定义证明线面关系 13．已知点直线，又平面，则直线与平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．或 14．已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，表示不同的平面，则下列推理错误的是__________（填序号）. ①； ②； ③. 15．如图，m，n是平面内的两条相交直线.如果，，求证：.      题型五 线面关系有关命题的判断 16．下列关于直线与平面的符号表示不正确的是（   ） A． B． C． D． 17．已知直线，和平面，，则下列命题中真命题是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 18．已知m，n是两条不同的直线，表示平面，则下列命题中正确的是：________（填序号） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则． 19．如图，在长方体的六个表面中，指出在哪些平面内，与哪些平面相交，与哪些平面平行． 题型六 判断图形中的面面关系 20．平面与平面相交于直线，点在平面上，点在平面上但不在直线上，直线与直线相交于点．设三点确定的平面为，则与的交线是（    ）    A．直线； B．直线； C．直线； D．以上均不正确． 21．（多选）如图，在棱柱中，下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C．与是异面直线 D．与是异面直线 E．平面平面 22．两个平面相交时，下列画法不正确的是__________． 23．在正方体中，分别为，的中点.求证：平面与平面相交. 题型七 用定义证明面面关系 24．已知，是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面，平行的是（    ） A．，是平面内两条直线，且， B．，是两条异面直线，，，且， C．面内不共线的三点到的距离相等 D．面，都垂直于平面 25．已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，点在四边形内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（    ） A．截面的面积是 B．点和点到平面的距离不相等 C．若平面，则点的轨迹的长度是 D．若平面，则点的轨迹的长度是 26．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有______组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有______个. 27．如图，在正方体中，E，F分别为，的中点，求证：平面与平面相交． 题型八 面面关系有关命题的判断 28．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（   ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直 29．已知、、为三条不同的直线，、为两个不同的平面，则（   ） A．由，，，得与平行或者异面 B．由，，，得或 C．由，，得 D．由，，，，得 30．已知下列说法： ①若两个平面，，，则； ②若两个平面，，，则与是异面直线； ③若两个平面，，，则与一定不相交； ④若两个平面，，，则与平行或异面； ⑤若两个平面，，则与一定相交． 其中正确的序号是________（将你认为正确的序号都填上）． 31．判断下列各命题的正误，画出正确命题的图形，并用符号表示： (1)两个平面有三个公共点，它们一定重合； (2)空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内； (3)两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b可能是异面直线，也可能是相交直线； (4)正方体中，点O是的中点，直线交平面于点M，则A，M，O三点共线，并且A，O，C，M四点共面． 1 学科网（北京）股份有限公司 $