广东珠海市麒麟中学2025-2026学年高一下学期数学6月6日周末作业

**基本信息** 聚焦立体几何单元核心，以空间位置关系判定、几何量计算及综合证明为脉络，构建从概念到应用的完整逻辑链，强化空间观念与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间位置关系判定|单选1-3、多选9|概念辨析与定理应用|从线面平行垂直判定到空间四点共面性分析，层层递进| |空间几何量计算|单选4-8、填空12-14|斜二测面积、线面角、体积表面积及外接球计算|结合直观图、正方体、半正多面体等载体，渗透转化思想| |综合应用与证明|解答15-19|线面平行、面面垂直证明，折叠问题及线面角计算|以三棱锥、正方体为模型，整合判定定理与空间想象，体现数学思维的严谨性|

珠海市麒麟中学6月6日周末作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】结合空间线面平行的判定定理与性质定理，逐一分析各选项，通过举反例排除错误选项得到正确结果. 【详解】对于A：若，，可能落在平面内，此时不满足，A错误； 对于B：若，，与可能是异面直线，不一定平行，B错误； 对于C：若，，可能落在平面内，此时不满足，C错误； 对于D：该命题就是线面平行的性质定理，D正确. 2．已知为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】利用线面位置关系的判定定理以及性质定理逐项分析即可. 【详解】选项A，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行知，若，，则，故A正确； 选项B，若，，则或，故B错误； 选项C，根据面面垂直的判定定理知，若，，则，故C正确； 选项D，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行知，若，，则，故D正确. 3．如果空间四点，，，不共面，那么下列判断正确的是（   ） A．直线与平行 B．直线与相交 C．，，，四点中可以有三点共线 D．，，，四点中不存在三点共线 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质逐项分析判断即可. 【详解】若直线与平行，则空间四点A，B，C，D共面，故A不正确； 若直线与相交，则空间四点A，B，C，D共面，故B不正确； 若A，B，C，D四点中有三点共线，则空间四点A，B，C，D共面，与题设矛盾，故C错误，D正确. 4．如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【详解】过作交轴于点，可得， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 根据斜二测画法，可得，如图所示，则， 所以的面积，故选项D正确. 5．如图，平面，为正方形，下列结论不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A求证平面；B求证平面；C利用反证法判断；D根据平面求证. 【详解】因为平面，平面， 所以，，，故D正确； 因为为正方形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以，故B正确； 假设， 则由平面，得平面， 因为平面，所以，显然不成立，故假设不成立，故C错误. 6．已知在正方体中，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以即为直线与所成的角， 设正方体的棱长为， 则，， 在中，， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 7．如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定直线与平面所成的角，再求余弦值. 【详解】因为平面，所以是直线与平面所成的角， 设正方体的棱长为，则，,所以， 所以，则与平面所成的角的余弦值为. 8．半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体．由正方体截得的二十四等边体的体积为，则这个二十四等边体的表面积为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设原正方体的棱长为 ， 由题意可知，截去的八个三棱锥是全等的，且每个三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度均为 ， 则截去的八个三棱锥的体积之和为， 所以二十四等边体的体积 为，解得， 该二十四等边体的表面由 6 个正方形和 8 个正三角形组成，且边长均为， 故该二十四等边体的表面积为. 二、多选题 9．下列叙述正确的是（ ） A．已知直线和平面，若有两个不同点，满足点，点且，，则 B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面 C．如果直线，则平行于经过的任何平面 D．已知，，，则在内过点存在唯一一条与平行的直线 【答案】AD 【详解】对于A，已知直线和平面，若两个不同点，满足点，点且，， 则，故A正确； 对于B，当三条直线交于同一点时，则这些直线有可能不在同一个平面， 则不能确定一个平面，故B错误， 对于C，当直线，若过的平面也经过了直线， 则不平行于经过的平面，故C错误， 对于D，由题意可知经过点和直线确定一个平面，且此平面与有唯一的交线，而，故这条交线与直线平行，故D正确． 10．如图，四边形是矩形，平面，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABD 【分析】直接用面面垂直的判定定理判断ABD选项，对C可反证法，如果平面平面成立，则可得平面，而不垂直平面，故C错误. 【详解】因为平面，平面，所以平面平面，故A项正确; 因为平面，平面，所以， 因为四边形为矩形，所以，因为，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面， 同理可证得平面平面，故B项正确， 对于C，若平面平面，由B选项分析知平面平面， 所以平面平面平面，显然不垂直平面，所以C错误; 因为平面，平面，所以，因为四边形为矩形， 所以，因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故D项正确. 11．如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，则下列结论中一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】首先利用垂直关系转化证明平面，根据线面垂直的性质定理，即可说明线线垂直关系，以及其他几何关系. 【详解】因为平面 ，平面 ，所以 . 因为 ， ，所以 . 又因为 ，平面，所以平面 . 又因为平面 ，所以 . 又因为 ，所以 ，故A正确; 因为平面 ，所以 ，故B正确； 因为， ， 所以，故D正确. 由题中条件无法判断. 故选：ABD. 三、填空题 12．已知直三棱柱中，，，Q点为棱的中点，一只虫子由表面从Q点爬到点的最近距离为______. 【答案】5 【分析】将直三棱柱侧面展开为长方形，结合题意计算求解即可； 【详解】将直三棱柱侧面展开如图所示： 因为，所以，， 因为， 所以结合展开图可知，从点爬到点的最近距离为. 13．如图，一块边长的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积(单位：)表示为(单位：)的函数为_______________． 【答案】 【分析】根据余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥，结合图形，求出其高，即可得解. 【详解】 如图：由题意及正四棱锥的性质可知，做平面于， 设，则，， 所以正四棱锥的高为， 所以容积. 故答案为：. 【点睛】本题考查了裁剪围图，考查了棱锥体积的求法，考查了空间想象能力，属于基础题. 14．《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______． 【答案】 【分析】确定“鳖臑”外接球的球心，求出球半径，再求出球的体积. 【详解】取中点，连接，由底面，平面， 得，而，平面， 则平面，又平面，因此，， 该“鳖臑”外接球的球心为，球半径， 所以该“鳖臑”外接球的体积为. 四、解答题 15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D、E分别是AB、PB的中点． (1)求证：平面PAC； (2)求证：平面PAB⊥平面PBC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意根据三角形中位线的性质得到，即可得证； （2）由线面垂直的性质得到，再根据，即可得到平面，即可得证； 【详解】（1）证明：∵点D、E分别是棱AB、PB的中点， ∴， 又∵平面，平面；      ∴平面． （2）证明：∵底面，底面， ∴， ∵，，平面， ∴平面， 又∵平面， ∴平面平面． 16．如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． (1)求证； (2)求三棱锥的体积． (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）只需证明平面，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （2）只需分别求出三棱锥的高、底面积，再结合棱锥的体积公式求解即可； （3）由等体积法求解即可. 【详解】（1）折叠前，，折叠后，， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故． （2）由（1）问可知，平面，所以三棱锥的高， 又因为折叠前为，点，分别为，的中点， 所以， 所以； （3）设点到平面的距离为，则有， 又有，故解得． 17．如图，在正方体中，求证： （1）平面； （2）与平面的交点H是的重心. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）结合正方体的结构特征，以及线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）连接，根据，得出点H为的外心，进而得到点H也是的重心. 【详解】（1）如图所示，连接，则， 平面，， 又，平面， 平面，平面. 平面.，同理， ，平面. （2）连接，由，得， 因此点H为的外心， 又为正三角形，∴点H也是的重心. 【点睛】本题主要考查了正方体的结构特征，以及线面垂直的判定与证明，其中解答中熟记正方体的结构特征，合理应用线面垂直的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题. 18．如图，在三棱锥中，，底面ABC (1)证明：平面平面PAC (2)若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，得到，再根据底面ABC，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明； （2）作，连接OM，由平面平面PAC，得到平面PBC， 则即为AM与平面PBC所成的角求解. 【详解】（1）证明：因为， 所以，又底面ABC， 所以，又， 所以平面PAC， 因为平面PBC， 所以平面平面PAC； （2）如图所示： 作，连接OM， 因为平面平面PAC，平面平面PAC=PC， 所以平面PBC， 则即为AM与平面PBC所成的角， 设，则， 所以，又， 所以， 所以AM与平面PBC所成角的正切值为. 19．如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面，为的中点. (1)求证：平面. (2)求侧面与底面所成二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）取的中点，连接.证明是平面与平面所成二面角的平面角.在中，由余弦定理即可求. 【详解】（1）在等边中，因为为的中点，所以， 在正方形中，， 又因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以. 因为,平面， 所以平面. （2）取的中点，连接. 则，又正方形中，，所以, 在等边中，因为为的中点，所以. 因为平面平面，平面平面， 所以平面，因为平面，所以. 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以是平面与平面所成二面角的平面角. 设，则， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市麒麟中学6月6日周末作业 一、单选题 1．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 2．已知为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．如果空间四点，，，不共面，那么下列判断正确的是（   ） A．直线与平行 B．直线与相交 C．，，，四点中可以有三点共线 D．，，，四点中不存在三点共线 4．如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．如图，平面，为正方形，下列结论不正确的是（    ）． A． B． C． D． 6．已知在正方体中，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体．由正方体截得的二十四等边体的体积为，则这个二十四等边体的表面积为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列叙述正确的是（ ） A．已知直线和平面，若有两个不同点，满足点，点且，，则 B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面 C．如果直线，则平行于经过的任何平面 D．已知，，，则在内过点存在唯一一条与平行的直线 10．如图，四边形是矩形，平面，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 11．如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知直三棱柱中，，，Q点为棱的中点，一只虫子由表面从Q点爬到点的最近距离为______. 13．如图，一块边长的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积(单位：)表示为(单位：)的函数为_______________． 14．《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______． 四、解答题 15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D、E分别是AB、PB的中点． (1)求证：平面PAC； (2)求证：平面PAB⊥平面PBC． 16．如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． (1)求证； (2)求三棱锥的体积． (3)求点到平面的距离． 17．如图，在正方体中，求证： （1）平面； （2）与平面的交点H是的重心. 18．如图，在三棱锥中，，底面ABC (1)证明：平面平面PAC (2)若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 19．如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面，为的中点. (1)求证：平面. (2)求侧面与底面所成二面角的余弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $