精品解析：重庆市巴川中学校2022-2023学年八年级 下学期半期考试数学试题

重庆市巴川中学校2022—2023学年度春期半期考试 初2024届数学试题 （总分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. 1，，3 C. 3，4，5 D. 5，6，7 3. 如图，在中，平分交于，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，且，若的周长为2，则的周长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5. 下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个圆，第②个图形中一共有7个圆，第③个图形中一共有10个圆，…，照此规律下去，则第7个图形中圆的个数为（　　） A. 21 B. 22 C. 25 D. 28 6. 如图所示，在四边形中，已知，添加下列一个条件，不能判断四边形成为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 7. 图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的关系如图2所示．从图中获取的信息错误的是（ ） A. 变量是的函数 B. 摩天轮旋转时，圆上这点离地面的高度是 C. 摩天轮的半径是 D. 摩天轮转一周所用的时间是 8. 估计的值应在（ ） A. 10到11之间 B. 9到10之间 C. 8到9之间 D. 7到8之间 9. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 10. 对于任意非负实数，若定义新运算则下列说法： ①；②；③；④若，则的取值范围为．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 函数中自变量x的取值范围是_______． 12. 若最简二次根式与能合并，则______． 13. 如图，矩形的对角线相交于点，，则____________． 14. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_________m路，却踩伤了花草 15. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为______米． 16. 如图，四边形是菱形，，于点，则____________． 17. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在边上中点处，点的对应点为，连接交边于点，若，则的长为____________． 18. 若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交换数”，则最大的“交换数”是____________；若一个“交换数”满足千位数字与百位数字的平方差为15，且十位数字与个位数字的和能被5整除，则满足条件的“交换数”的最小值为____________． 三、解答题（本大题共8个小题，其中19题8分，其余各小题每小题10分，共78分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，在平行四边形中，，点E是线段上的一点，连接． （1）在线段上求作一点F，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，证明：四边形为平行四边形的结论（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后，不写证明理由）． 解：（2）证明：在平行四边形中， ∵， ∴_________________， ∴四边形是矩形， ∴，，， 在和， ， ∴， ∴_____________，， ∴， ∴_____________， ∴四边形为平行四边形（两边分别相等的四边形为平行四边形）． 20. 计算： （1） （2） 21. 如图，、是平行四边形的对角线上的两点，且，连接、、、． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为（的对应点分别为） （2）在（1）的条件下，直接写出点的坐标，并求出的面积． 23. 如图，等边中，分别为的中点，延长至点，使，连接和． （1）求证：； （2）若等边的边长是6，求四边形的面积． 24. 某市规划修建铁路，并将火车始发站定于处．已知始发站位于小区的东北方向，位于商场的北偏西方向，始发站与商场相距200米，且小区位于商场的南偏西方向． （1）求小区与商场之间的距离；（结果保留根号） （2）火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．若有火车从始发站出发，以30米/秒的速度沿铁路低速行驶，请问小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？（结果保留整数，参考数据：） 25. 随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节，【阅读观察】一【类比应用】一【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题，阅读观察： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简． 解：将分子、分母同乘以得，． 类比应用： （1）①化简：_____________； ②化简：_____________； 拓展延伸： （2）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．黄金矩形的长_____________； （3）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 26. 如图，平行四边形中，，为边的高，过点作的垂线交于点，垂足为点，连接，过点作交于点， （1）如图，若，求的值； （2）如图，取线段的中点，连接，猜想线段与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，当点为的中点时，点为边上的一动点，将沿着翻折得到，当时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市巴川中学校2022—2023学年度春期半期考试 初2024届数学试题 （总分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的定义形如的式子叫做二次根式，逐一判断选项是否满足二次根式的条件即可． 【详解】解：选项A：是带二次根号的形式，且被开方数，符合二次根式的定义； 选项B：是分数，不满足的形式，不是二次根式； 选项C：的被开方数，二次根式无意义，不是二次根式； 选项D：是整数，不满足的条件，不是二次根式． 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. 1，，3 C. 3，4，5 D. 5，6，7 【答案】C 【解析】 【详解】解：A 、，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，不符合题意； B 、，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，不符合题意； C 、，满足勾股定理的逆定理，可以构成直角三角形，符合题意； D 、，，，不能构成直角三角形，不符合题意． 3. 如图，在中，平分交于，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，利用平行线的性质得出内错角相等，再结合角平分线的定义得出，根据等角对等边得出，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，  ，  ，  平分，  ，  ，  ，  ，  ． 4. 如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，且，若的周长为2，则的周长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的性质可知与相似，由得出相似比，再利用相似三角形周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵与关于原点位似， ∴， ∵， ∴和的相似比是2， ∴， ∵的周长为2， ∴的周长为4． 5. 下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个圆，第②个图形中一共有7个圆，第③个图形中一共有10个圆，…，照此规律下去，则第7个图形中圆的个数为（　　） A. 21 B. 22 C. 25 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】设第n个图形中有个圆（n为正整数），观察图形，根据各个图形中圆的个数的变化可得出变化的规律‘（n为正整数）’，再把代入计算即可． 【详解】解：设第n个图形中有个圆（n为正整数）， 观察图形可知：等 （n为正整数）， ； 故选：B． 【点睛】本题考查了找规律，图形的变化类，根据各个图形中圆的个数的变化找出规律‘（n为正整数）’是解题的关键． 6. 如图所示，在四边形中，已知，添加下列一个条件，不能判断四边形成为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴四边形可以是等腰梯形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、等腰梯形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 7. 图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的关系如图2所示．从图中获取的信息错误的是（ ） A. 变量是的函数 B. 摩天轮旋转时，圆上这点离地面的高度是 C. 摩天轮的半径是 D. 摩天轮转一周所用的时间是 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、由图象可知，对于每一个旋转时间，都有唯一确定的高度与之对应， 变量是的函数，故本选项结论正确，不符合题意； B、由图象可知，当时，对应的函数值， 摩天轮旋转时，圆上这点离地面的高度是，故本选项结论正确，不符合题意； C、由图象可知，摩天轮离地面的最高高度为，最低高度为， 摩天轮的直径为， 摩天轮的半径为，故本选项结论错误，符合题意； D、由图象可知，摩天轮从最低点转到下一次最低点所用的时间为， 摩天轮转一周所用的时间是，故本选项结论正确，不符合题意． 8. 估计的值应在（ ） A. 10到11之间 B. 9到10之间 C. 8到9之间 D. 7到8之间 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估计无理数的范围，即可确定原式的取值范围． 【详解】解： ，且， ， ，即 ， 的值在到之间． 9. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质并利用SAS可证明△BAE≌△ADF，于是可得∠ABE＝∠DAF，进而可得△BGF是直角三角形，再根据点H为BF的中点，可知GH是BF的一半，然后根据勾股定理可以求得BF的长，从而可以得到GH的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°， ∵AE＝DF， ∴△BAE≌△ADF（SAS）， ∴∠ABE＝∠DAF， ∵∠ABE+∠BEA＝90°， ∴∠DAF+∠BEA＝90°， ∴∠AGE＝90°， ∴∠BGF＝90°， ∵点H为BF的中点， ∴GH＝BF， 又∵BC＝CD＝5，DF＝2，∠C＝90°， ∴CF＝3， ∴BF＝＝＝， ∴GH＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，明确题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 10. 对于任意非负实数，若定义新运算则下列说法： ①；②；③；④若，则的取值范围为．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题为新定义题型，根据新运算的分段定义，逐个验证四个命题的正误，用到二次根式运算，分母有理化，裂项相消求和，绝对值化简和分类讨论思想，最后统计正确命题个数得到答案． 【详解】解：①计算： ，由定义得， ∴①正确； ②化简求和验证： 对任意正整数，， ， 则 左边 右边，左边右边， ∴②正确； ③当时，， 当时，， ，故③正确； ④解方程，分情况讨论： 情况1：，化简得，此时原式， 若，则，等式成立；若，则，解得，不在此区间，不成立， 情况2：，化简得，此时原式， 若，则，等式成立；若，则，解得，不在此区间，不成立， 综上，方程的解为或，与命题给出的不符，故④错误． 因此正确的命题共3个． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 函数中自变量x的取值范围是_______． 【答案】x≥4 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件 【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义， 必须x－4≥0，即x≥4． 故答案为：x≥4． 12. 若最简二次根式与能合并，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．根据最简二次根式与能合并，可知与是同类二次根式，据此求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴与是同类二次根式， ∴， ∴． 故答案为：2． 13. 如图，矩形的对角线相交于点，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得，结合可证为等边三角形，从而得出的度数，再利用邻补角定义计算即可． 【详解】解：四边形是矩形，  ，，，   ，  ，  ，  是等边三角形，       ． 14. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_________m路，却踩伤了花草 【答案】4 【解析】 【分析】利用勾股定理求出“捷径”的长度，据此进一步求解即可. 【详解】由勾股定理可得： “捷径”长度=， ∴， 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 15. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为______米． 【答案】2.6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， ， ， 解得：， 为2.6米， 故答案为：2.6． 16. 如图，四边形是菱形，，于点，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质、勾股定理以及菱形的面积公式.，根据菱形对角线互相垂直平分的性质求出对角线的一半，利用勾股定理求出菱形的边长，最后利用等积法（即面积法）建立等式求解高  的长． 【详解】解：∵四边形  是菱形，，， ∴，，，, 在  中，由勾股定理得：  . ∴. ∵， ∴ 解得 ． 17. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在边上中点处，点的对应点为，连接交边于点，若，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质可得，，，，，由线段中点定义可得，设，在中利用勾股定理求出的值，进而求出的长，证明，利用相似三角形的性质求出和的长，从而得出的长，设，表示出的长，在中利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质可得：，，，， 是的中点， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：，  ，， ， ， 又， ， 又， ， ，即， 解得：，， ， 设，则， 在中，，即， ∴，  解得：， ． 18. 若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交换数”，则最大的“交换数”是____________；若一个“交换数”满足千位数字与百位数字的平方差为15，且十位数字与个位数字的和能被5整除，则满足条件的“交换数”的最小值为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空根据四位正整数的性质，高位数字越大，数越大，结合“交换数”定义即可求解；第二空先利用平方差公式分解条件，得到千位与百位的所有可能取值，要得到最小交换数，优先选择较小的千位，再结合定义与被5整除的条件，取最小的十位数字即可得到结果． 【详解】解：∵四位正整数为“交换数”，且， ∴需使高位数字尽可能大，千位最大为，百位最大为，十位最大为， ∵， ∴， ∴最大的“交换数”为； 设， ∵“交换数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15， ∴， ∴， ∵a是正整数，b是自然数， ∴， ∴， ∴都是正整数， ∵， ∴或， ∴或， 要使m最小，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵m的十位数字与个位数字的和能被5整除， ∴能被5整除， ∴或或或， ∵要使m最小， ∴c要最小， ∴， ∴， ∴， ∴此时满足题意的m的最小值为． 三、解答题（本大题共8个小题，其中19题8分，其余各小题每小题10分，共78分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，在平行四边形中，，点E是线段上的一点，连接． （1）在线段上求作一点F，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，证明：四边形为平行四边形的结论（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后，不写证明理由）． 解：（2）证明：在平行四边形中， ∵， ∴_________________， ∴四边形是矩形， ∴，，， 在和， ， ∴， ∴_____________，， ∴， ∴_____________， ∴四边形为平行四边形（两边分别相等的四边形为平行四边形）． 【答案】（1）图见解析 （2）；；； 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，交线段、于点、，再以点为圆心，以相同长为半径画弧，交线段于点，再以点为圆心，以线段的长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交于点； （2）根据矩形的判定定理，得出四边形是矩形，再根据矩形的性质，得出，，，，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据平行四边形的判定定理，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 【小问2详解】 证明：在平行四边形中， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，，， 在和， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 故答案为：；；； 【点睛】本题考查了尺规作图、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理，解本题的关键在正确用尺规作相等角，并熟练掌握相关的性质定理． 20. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 21. 如图，、是平行四边形的对角线上的两点，且，连接、、、． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：四边形为平行四边形， ，， ， ，． ，， ， ， 四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形性质和垂直的定义得到，并证明，进而得到，即可证明四边形为平行四边形； （2）利用平行四边形性质得到，，利用勾股定理算出，即可得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交于点， 四边形为平行四边形，， ，， ，， ， ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为（的对应点分别为） （2）在（1）的条件下，直接写出点的坐标，并求出的面积． 【答案】（1）解：如图，即为所求． （2），的面积为． 【解析】 【分析】（1）直接利用位似比得出对应点位置，再顺次连接即可画出图形； （2）根据（1）中作图，即可写出点的坐标，用长方形减去周围三个小直角三角形的面积即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得点； ． 23. 如图，等边中，分别为的中点，延长至点，使，连接和． （1）求证：； （2）若等边的边长是6，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：分别为的中点， 为的中位线， ，， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出，，再利用平行四边形的判定方法得出结论； （2）过点D作于G，可求得，，求出，得到，由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点D作于G， ，， 四边形是平行四边形， ， 为的中点，等边三角形的边长为6， ， ， ∵为的中点，是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 24. 某市规划修建铁路，并将火车始发站定于处．已知始发站位于小区的东北方向，位于商场的北偏西方向，始发站与商场相距200米，且小区位于商场的南偏西方向． （1）求小区与商场之间的距离；（结果保留根号） （2）火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．若有火车从始发站出发，以30米/秒的速度沿铁路低速行驶，请问小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？（结果保留整数，参考数据：） 【答案】（1）小区与商场之间的距离为米； （2）A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有4秒． 【解析】 【分析】 过作于，过点B作于H，根据题意得，，根据含30度和45度直角三角形的性质求出米，得到，即可解答； （2）过作于，则，求出，于是得到小区会受到噪音干扰，设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束，连接，，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：过作于，过点B作于H， 由题意得，，， ， ，米， ， ， ∵， （米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴米， 答：小区与商场之间的距离为米； 【小问2详解】 解：过作于，则， ， ， ， ∵， ， 由（1）知米， （米）， ∵米，且， 小区会受到噪音干扰， 设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束，连接，， 则米， 米， （米）， （米）， 干扰的时间（秒）， 答：A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有4秒． 25. 随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节，【阅读观察】一【类比应用】一【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题，阅读观察： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简． 解：将分子、分母同乘以得，． 类比应用： （1）①化简：_____________； ②化简：_____________； 拓展延伸： （2）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．黄金矩形的长_____________； （3）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【答案】（1）①；② （2） （3）猜想：矩形是黄金矩形， 证明：由裁剪可知：； 由（2）可知：， ， ， ∴矩形是黄金矩形． 【解析】 【分析】（1）利用分母有理化，进行化简即可； （2）根据黄金矩形的定义，进行求解即可； （3）求出新的矩形的宽与长的比，即可得出结论. 【小问1详解】 解：①； ② ； 【小问2详解】 解：宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽， 黄金矩形的长为． 【小问3详解】 略 26. 如图，平行四边形中，，为边的高，过点作的垂线交于点，垂足为点，连接，过点作交于点， （1）如图，若，求的值； （2）如图，取线段的中点，连接，猜想线段与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，当点为的中点时，点为边上的一动点，将沿着翻折得到，当时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）解：，证明如下： 如图，延长到，使， ∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】证明，得到，，即得，进而即可求解； 延长到，使，可证，得到，进而得到，即得到，再证明，得到，进而即可求证； 设交于，可得，即得，再由得到，设，则，进而利用勾股定理表示出和的面积即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，设交于， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $