精品解析：重庆市万州第二高级中学2025-2026学年八年级下学期第二次综合素质测评 数学试卷

万州二中初2024级八年级（下）第二次综合素质测评 数 学 试 卷 （本卷共三个大题，满分150分，答题时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）每个小题都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个正确的，请将正确答案填涂在答题卡上对应的位置． 1. 下列式子为分式的是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义， 根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式，判断即可． 【详解】选项A：，分母为字母，符合分式定义， 选项B：，分母是常数，不含字母，不是分式， 选项C：，分母为数字，不含字母，不是分式， 选项D：是整数，不属于分式． 故选A ． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可得到正确结果． 【详解】解：． 3. 在平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴. 4. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】需同时满足二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，列出不等式组求解即可． 【详解】要使函数有意义 需满足且 解不等式，得 解不等式，得 ∴自变量的取值范围是且． 5. 下列命题错误的是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】据平行四边形的判定定理逐项判断命题的正误，即可找出错误的命题． 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是平行四边形的判定定理，命题正确，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形满足一组对边平行，另一组对边相等，但不是平行四边形，命题错误，符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，是平行四边形的判定定理，命题正确，不符合题意； D、如图，若，，则， ， ， 四边形是平行四边形，命题正确，不符合题意． 6. 若点，，在反比例函数图象上，则，，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据判断函数图象所在象限与增减性，再根据各点横坐标判断点所在象限，即可比较函数值大小 ． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图象分别位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， ∵，，， ∴点在第二象限，点，在第四象限， ∴，，， ∵，第四象限内随增大而增大， ∴， ∴ ． 7. 在国际生物多样性日（每年5月22日）即将到来之际，某校八年级师生到距离学校的湿地公园进行相关调查研究，一部分师生骑自行车先出发，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到，已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用．设骑车的速度为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设骑车的速度为，根据题意得： ． 故选：B． 8. 若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，则，从而一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∴一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限， ∴选项B、C、D均不符合题意，选项A符合题意． 9. 如图，在中，，，、分别是的角平分线和中线，过点C作于点F，连结，则线段的长为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中位线定理，能够根据角平分线模型构造合适的辅助线是解题的关键． 延长交于点，根据题意即可证明，从而推得，根据中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴． 10. 在平面直角坐标系中，将点沿箭头方向按如图所示规律移动，当点首次位于轴上时，停止移动．甲、乙、丙三位同学的结论如下， 甲：点的坐标为； 乙：若在直线两侧的点（点，，，）的个数相等，则的取值范围为； 丙：直线与折线相交于点，从到的运动中的值先减小后增大． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出点的移动规律，写出前10个点的坐标，从而确定的值；根据坐标验证甲的结论；根据直线将点集分为数量相等的两部分，确定的取值范围验证乙的结论；根据分析点运动过程中的变化情况验证丙的结论，最后统计正确个数． 【详解】解：由题意得，当为奇数时，第次移动为向下移动个单位长度，当为偶数时，第次移动为向右移动个单位长度， ， ， 当点首次位于轴上时，停止移动， ，一共有个点， 对于甲：点的坐标为，故甲说法正确； 对于乙：若在直线两侧的点个数相等，则每侧各有个点， 观察各点坐标可知，位于直线左上方，位于直线右下方， 当直线经过时， ， 解得， 当直线经过时， ，解得， 当时，直线两侧点的个数相等，故乙说法正确； 对于丙：， 当点在上时，不变，从减小到，则逐渐变小当点在上时，不变，从增大到，则逐渐变小， 从到的运动中的值逐渐变小，故丙说法错误， 综上所述，正确的结论有甲、乙，共个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将正确答案写在答题卡上对应位置 11. 荣获“国家科学技术进步二等奖”的洪家光是一名大国工匠，他打磨出来的发动机核心叶片误差控制到米，那么数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，理解“科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，n是正数；当原数的绝对值小于时，n是负数．”是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 已知点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征，结合对称点在第二象限，可判断点位于第三象限，根据第三象限内点的横，纵坐标均为负，列出一元一次不等式组，求解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：∵点关于轴的对称点在第二象限， ∴点在第三象限， ∴根据第三象限内点的坐标特征，可得， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴的取值范围为． 13. 如图所示是反比例函数和（）在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，连接、，若，则____． 【答案】 【解析】 【分析】设直线交轴于点，根据反比例函数系数的几何意义，分别表示出和的面积，利用建立等式求解即可． 【详解】解：设直线交轴于点 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且图象在第一象限 ， 根据反比例函数系数的几何意义可知：， 轴 ． 14. 如图，四边形是平行四边形，，，，若直线平分四边形的面积，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，平行四边形的性质．理解该直线必过点G是解题的关键． 连接和，交于点G．利用中点坐标公式求出G的坐标，根据平行四边形的性质结合题意得到必过G点，代入G点坐标运算求解即可． 【详解】解：如图，连接和，交于点G． ∵四边形是平行四边形， ∴G为中点， ∵，， ∴，即． ∵平分平行四边形的面积， ∴必过G点， ∴， 解得：． 故答案为：． 15. 如图，平行四边形中，对角线，相交于点O．，E是上一点，连接交于点F，，连接交于点P，，若，则____，____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作，根据题意可得是等腰直角三角形，再根据得到，得到，即可求解；过点作，作，交延长线于点，利用勾股定理求得，的长度，即可求解． 【详解】解：作，则， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 在中，； 过点作，则， ∵， ∴， 又 ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 作，交延长线于点， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ． 16. 若一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等且不为零，其中满足，则称这个四位自然数为”差方数”．例如，故6743是“差方数”，则最大的“差方数”为____；对于“差方数”M，将其千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，所得新数记为N，记，，若为整数，且是一个完全平方数，M的最大值为____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题，解题的关键是掌握“差方数”的定义，用代数式表示出每个式子． 要得到最大的“差方数”，需使千位数字尽可能大，再依次确定百位、十位、个位数字，根据定义验证即可；先根据数位表示法化简与，再根据整除条件得到能被整除，从大到小枚举的可能值，结合“差方数”定义、数位数字互不相等不为零，以及是完全平方数的条件，验证得到最大的. 【详解】解：要使四位“差方数”最大，需千位取最大值，即， ，且数位数字互不相等，故最大取， 由“差方数”定义，得，即， ，均为不为零的一位数，且， 故 ，得， ，则， 此时四个数字互不相等且均不为零，符合题意， 故最大的“差方数”为； 第二问：由题意，，对调后， 计算得： ， ， 则， 由题意为整数，故，能被整除， 要得到最大的，需从大到小枚举： 当时，，需能被整除，得， 由定义得，即 ，不存在符合条件的互不相等的整数，舍去； 当时，，需能被整除，得， 由定义得，即，得， ， 此时计算，不是完全平方数，舍去； 当时， ，需 能被整除，得， 由定义得，即，得，或，， 当，时，四个数字 互不相等且均不为零， 计算得，不是完全平方数，不符合题意， 当，时，四个数字 互不相等且均不为零， 计算得 ，是完全平方数，符合题意， 此时 ，且不存在比更大的符合条件的， 故满足条件的的最大值为； 故答案为；． 三、解答题（本大题共9个小题共86分，17、18题每题8分，19至25题每题10分）解答时每个小题必须要给出必要的计算过程和推理步骤 17. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， 解得， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 18. 计算：，其中a是不等式组的整数解． 【答案】， 【解析】 【分析】先对原式进行分式化简，再解不等式组得到a的整数解，根据分式有意义的条件确定a的有效取值，最后代入化简后的式子计算结果． 【详解】解： 对于  解第一个不等式得  解第二个不等式得  因此不等式组的解集为，整数解为  分式有意义要求分母不为0， 因此，，， 即，， 因此仅能取  将代入化简后的式子得 ． 19. 学习了三角形的中位线定理后，小万和小二对该知识进行了拓展性研究．他们发现，连接梯形两腰中点的线段平行且等于上底与下底之和的一半．探究过程如下： （1）用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点（只保留作图痕迹） （2）已知：在（1）的情况下，若，，，，求线段的长度． 证明：∵是中点， ∴① ， ，， 在和中， ， ， ，， 在中，，， ∴③ ． ， ④ ． 【答案】（1）见解析 （2）； ；；10 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据已给推理过程结合全等三角形的性质与判定定理和三角形中位线定理证明即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵是中点， ∴， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，，， ∴． ， ． 20. 如图，在平行四边形中，连接，分别过点、点作于点，作于点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形 （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由垂直可得，，再利用平行四边形的性质证明，得到，即可求证； （）利用等腰三角形的性质和三角形内角和得 ，即得 ，再根据全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ， ∵， ∴ ， 又∵， ∴ ． 21. 已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，交y轴于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点A关于x轴对称的点为，求的面积． （3）请直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）24 （3）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，对称点坐标的特征，函数与不等式，能够熟练掌握函数的基础知识，运用数形结合思想是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求解； （2）根据对称点坐标的特征可得，则，根据题意可知点到的距离为8，根据三角形面积公式即可求解； （3）根据（2）可知，，结合图象即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， ，则 将代入得， ，解得， 则； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∵点A关于x轴对称的点为， ∴， ∴， 将代入得， ，则， 点到的距离为， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）问可知，一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 当时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，结合图象可知，此时或． 22. 如图1，在中，，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为秒（），的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）若直线与的图象只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）函数图象见解析，当时，的面积取得最大值 （3）或 【解析】 【分析】（1）当时，，当时，由，，得，，设在中，边上的高为，由，得，即，化简得，，故； （2）先描点再连线，画出图象即可，注意空心点；性质：当时，的面积取得最大值；当时，的面积随点P运动的时间增大而增大；当时，的面积随点P运动的时间增大而减小；任选一条即可； （3）或，理由：由直线与的图象只有一个交点得，即当时，直线与只有一个交点，得；当时，直线与只有一个交点，得，故或． 【小问1详解】 解：当时，， 如图，当时， ，，， ，， 设在中，边上的高为， ，， ， ，即， ； 【小问2详解】 解：函数图象如图， 性质：当时，的面积取得最大值；当时，的面积随点P运动的时间增大而增大；当时，的面积随点P运动的时间增大而减小； 【小问3详解】 解：或，理由如下： 直线与的图象只有一个交点，如图， 当时，，把代入直线得， 故当时，直线与的图象只有一个交点， 把代入直线得，把代入直线得， 故当时，直线与的图象只有一个交点， 若直线与的图象只有一个交点，或． 23. 端午节来临之际，重百超市准备大量购进咸口和甜口两种口味粽子，一袋甜口的进价比咸口的进价多5元，用750元购进甜口粽子和用600元购进咸口粽子的袋数相同． （1）求甜口和咸口的粽子每袋的进价各是多少？ （2）超市计划用不超过1320元的资金购进两种口味粽子共60袋，其中咸口粽子的数量不超过甜口粽子数量的两倍，该超市将甜口粽子每袋的售价定为40元，咸口粽子每袋的售价定为32元，并计划在端午节期间开展优惠促销活动，对每袋甜口粽子售价优惠2元，咸口不变，要使售完这60袋粽子总利润最大，应该购进甜口粽子多少袋？ 【答案】（1）甜口粽子每袋进价25元，咸口粽子每袋进价20元 （2）应该购进甜口粽子24袋 【解析】 【分析】（1）本题考查分式方程的实际应用，设出咸口粽子的进价，根据两种粽子的购进袋数相等的关系列分式方程求解即可； （2）本题考查一元一次不等式组与一次函数最值的实际应用，先根据资金和数量限制列出不等式组，得到甜口粽子进货量的取值范围，再根据一次函数的增减性求出总利润最大时的进货量． 【小问1详解】 解：设咸口粽子每袋进价为元，则甜口粽子每袋进价为元， 由题意得， 解得， 经检验是原方程的解，   （元）， 答：甜口粽子每袋进价25元，咸口粽子每袋进价20元． 【小问2详解】 解：设购进甜口粽子袋，则购进咸口粽子袋， 由题意得， 解得 ， 设售完60袋粽子的总利润为元， 由题意得 ，  ，  随的增大而增大， 当时，取得最大值， 答：要使总利润最大，应该购进甜口粽子24袋． 24. 直线经过点，点．过点的直线交直线于点D，交y轴于点E． （1）求D点坐标； （2）点M为y轴上一动点，的面积为5，求点M的坐标； （3）连接，点G是直线上一点，且满足，直接写G的坐标． 【答案】（1） （2）点M的坐标为或 （3）点G的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求出直线表达式为，然后和直线联立求解即可； （2）先求出点的坐标，再根据求解即可； （3）分两种情况进行讨论，通过构造等腰直角三角形，再构造“一线三等角”的全等三角形求解即可． 【小问1详解】 解：设直线表达式为， 代入点，点得，， 解得， ∴直线表达式为， ∴联立得，， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：如图， 对于直线，当时，， ∴， ∵， ∴ ， ， ， 解得， 当点M在点E上方时，， ∴； 当点M在点E下方时，，此时点M位于y轴负半轴； ∴； 综上所述，点M的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，当点在y轴左边时，过点B作交于点H，过点H作于点I， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为， ∴将和联立得，， 解得， ∴； 如图，当点在y轴右边时，过点B作交于点H，过点H作于点I， 同理可证，， ∴， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴同理可得，直线的表达式为， ∴将和联立得，， 解得， ∴； 综上所述，点G的坐标为或． 25. 如图，在等边中，点，分别是边，上的一点，． （1）如图，过点作于点，且，，求的长； （2）如图，若点是上的一点，连接交于点，且，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，，猜想与和之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，若，，点是上的一点，连接交于点，且，点是边上的一点，连接，以为边向左侧作等边，连接，，当最小时，直接写出的面积． 【答案】（1）的长为； （2），证明见解析； （3）当最小时，的面积为． 【解析】 【分析】（）先说明，再勾股定理求出，然后根据得出答案； （）延长至，使，可得是等边三角形,再根据“”证明，可得，然后根据“”证明，可得，从而求解； （）先作出等边，可得，，再根据等边三角形的性质可得，即可说明，进而得，然后说明，接下来根据“”证明，可得，即可说明点在线段的垂直平分线上，当时，最小，连接，可知，即点与点重合时，点与点重合，此时最小，再根据得出答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 解：猜想：， 证明：如图所示，将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， 延长至，使， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，以为一边，在下方作等边， ∴，， ∵，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 当时，最小，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴ ，且 ， ∴ ，即，即点与点重合时，点与点重合，此时最小， ∵，， ∴， ， ∵ ，是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当最小时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 万州二中初2024级八年级（下）第二次综合素质测评 数 学 试 卷 （本卷共三个大题，满分150分，答题时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）每个小题都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个正确的，请将正确答案填涂在答题卡上对应的位置． 1. 下列式子为分式的是（ ） A. B. C. D. 1 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 下列命题错误的是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 6. 若点，，在反比例函数图象上，则，，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 7. 在国际生物多样性日（每年5月22日）即将到来之际，某校八年级师生到距离学校的湿地公园进行相关调查研究，一部分师生骑自行车先出发，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到，已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，、分别是的角平分线和中线，过点C作于点F，连结，则线段的长为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 10. 在平面直角坐标系中，将点沿箭头方向按如图所示规律移动，当点首次位于轴上时，停止移动．甲、乙、丙三位同学的结论如下， 甲：点的坐标为； 乙：若在直线两侧的点（点，，，）的个数相等，则的取值范围为； 丙：直线与折线相交于点，从到的运动中的值先减小后增大． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将正确答案写在答题卡上对应位置 11. 荣获“国家科学技术进步二等奖”的洪家光是一名大国工匠，他打磨出来的发动机核心叶片误差控制到米，那么数据用科学记数法表示为______． 12. 已知点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围为______． 13. 如图所示是反比例函数和（）在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，连接、，若，则____． 14. 如图，四边形是平行四边形，，，，若直线平分四边形的面积，则______． 15. 如图，平行四边形中，对角线，相交于点O．，E是上一点，连接交于点F，，连接交于点P，，若，则____，____． 16. 若一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等且不为零，其中满足，则称这个四位自然数为”差方数”．例如，故6743是“差方数”，则最大的“差方数”为____；对于“差方数”M，将其千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，所得新数记为N，记，，若为整数，且是一个完全平方数，M的最大值为____． 三、解答题（本大题共9个小题共86分，17、18题每题8分，19至25题每题10分）解答时每个小题必须要给出必要的计算过程和推理步骤 17. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程： 18. 计算：，其中a是不等式组的整数解． 19. 学习了三角形的中位线定理后，小万和小二对该知识进行了拓展性研究．他们发现，连接梯形两腰中点的线段平行且等于上底与下底之和的一半．探究过程如下： （1）用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点（只保留作图痕迹） （2）已知：在（1）的情况下，若，，，，求线段的长度． 证明：∵是中点， ∴① ， ，， 在和中， ， ， ，， 在中，，， ∴③ ． ， ④ ． 20. 如图，在平行四边形中，连接，分别过点、点作于点，作于点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形 （2）若，，求的度数． 21. 已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，交y轴于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点A关于x轴对称的点为，求的面积． （3）请直接写出不等式的解集． 22. 如图1，在中，，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为秒（），的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）若直线与的图象只有一个交点，请直接写出的取值范围． 23. 端午节来临之际，重百超市准备大量购进咸口和甜口两种口味粽子，一袋甜口的进价比咸口的进价多5元，用750元购进甜口粽子和用600元购进咸口粽子的袋数相同． （1）求甜口和咸口的粽子每袋的进价各是多少？ （2）超市计划用不超过1320元的资金购进两种口味粽子共60袋，其中咸口粽子的数量不超过甜口粽子数量的两倍，该超市将甜口粽子每袋的售价定为40元，咸口粽子每袋的售价定为32元，并计划在端午节期间开展优惠促销活动，对每袋甜口粽子售价优惠2元，咸口不变，要使售完这60袋粽子总利润最大，应该购进甜口粽子多少袋？ 24. 直线经过点，点．过点的直线交直线于点D，交y轴于点E． （1）求D点坐标； （2）点M为y轴上一动点，的面积为5，求点M的坐标； （3）连接，点G是直线上一点，且满足，直接写G的坐标． 25. 如图，在等边中，点，分别是边，上的一点，． （1）如图，过点作于点，且，，求的长； （2）如图，若点是上的一点，连接交于点，且，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，，猜想与和之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，若，，点是上的一点，连接交于点，且，点是边上的一点，连接，以为边向左侧作等边，连接，，当最小时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $