精品解析：重庆市鲁能巴蜀中学校2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷

重庆市鲁能巴蜀中学校2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 2. 如图是由四个相同的小正方体搭成的一个几何体，从左面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向上平移2个单位后的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 4和5之间 C. 3和4之间 D. 2和3之间 6. 若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（ ） A. 甲组跳绳次数的波动比乙组大 B. 乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C. 甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D. 乙组跳绳次数的最大值大于190 8. 某工厂同时启动两台节能设备甲和乙，设备运行过程中，剩余电量（单位：千瓦时）会随着运行时间（分钟）持续减少．如图，线段表示甲设备，线段表示乙设备，在设备运行时间内，两台设备的剩余电量与运行时间都满足一次函数关系，其函数图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙两台设备的初始剩余电量不相同 B. 设备运行时间内，甲设备的电量消耗速度更快 C. 乙设备剩余电量与的函数关系式为 D. 当甲设备剩余电量是108千瓦时时，乙设备剩余电量是72千瓦时 9. 如图，在正方形中，对角线、相交于点，点是边上一点，连接，点是线段上一点，连接，，且，若，则为（ ） A. 5 B. C. D. 10. 已知关于的整式，其中，为正整数，，，，…为自然数，且．下列说法： 当，时，所有满足条件的整式的值的总和为； 满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有个； 当时，满足条件的整式共有种． 其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题个小题，每小题分，共分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 太阳的半径约为696000千米，用科学记数法表示数696000为______． 12. 因式分解：4a2﹣8ab+4b2＝_____． 13. 如图，在中，，剪去得到一个四边形，则的度数为______． 14. 如图，若一次函数与相交于点，则关于的方程的解是______． 15. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，点是边上一点，连接，与相交于点，过点作于点，连接，若，，则______． 16. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 17. 如图，在菱形中，，，点、分别在线段、上，将四边形沿着翻折到菱形所在平面得到四边形，刚好过点，交于点，连接．若，则______，点到的距离为______． 18. 我们规定：一个四位数，若满足，且各个数位上的数字均不相等，则称这个四位数为同差数．例如：四位数，因为，且各个数位上的数字均不相等，所以是同差数．按照这个规定，最小的同差数是_____；一个同差数，将其千位数字与百位数字调换位置，十位数字和个位数字调换位置，得到一个新的数，记，，的各个数位上数字之和记为．若是一个完全平方数，则满足条件的的最大值与最小值之差为______． 三、解答题：（本大题共8个小题，19题10分，20题8分，21题—26题，每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 20. 如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点F． （1）请用尺规作的角平分线，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，证明四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ． ①________． 平分，平分， ， ②________． ③________． 四边形是平行四边形． ④________． 四边形为平行四边形． 21. 某校开展了“青少年AI知识竞赛”活动，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩的数据是：66，68，74，76，78，79，83，83，86，87，87，88，89，91，91，91，93，94，97，99． 八年级20名学生竞赛成绩在C组中的数据是：81，87，85，89，88，88． 七、八年级所抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 87 b 八年级 85 a 92 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，_______，_______，_______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生AI知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有420名学生、八年级有500名学生参加了此次AI知识竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次AI知识竞赛成绩达到优秀的学生共有多少人？ 22. 如图，矩形中，，，点是边上的三等分点（），动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向运动，当点到达点时停止运动，用（秒）表示点的运动时间，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图像，并写出函数的一条性质； （3）若二次函数的图象如图所示，结合你所画函数的图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 如图，甲、乙两辆货车要从市运输货物到市．经查询，道路因塌方不能通行，现有两条路线可供选择：①；②．已知市位于市南偏西方向，市位于市的正西方向，同时位于市的西北方向，、两市之间的距离为千米，市位于市的南偏东方向，且恰好与市、市在同一直线上．（参考数据：，） （1）求、两市之间的距离（结果保留根号）； （2）甲货车选择路线①，平均速度为千米/小时；乙货车选择路线②，平均速度为千米/小时．请通过计算说明哪辆货车先到达市（结果保留一位小数）？ 24. 某江心生态岛位于城市两江交汇处，是当地最大的江心绿岛，游客可选择乘坐游船登岛，或在岛外乘坐观光车进入岛内游玩．据了解，四月份游船票价和观光车票价之比为，其中乘坐游船的人数为万人，乘坐观光车人数为万人，游船票与观光车票销售总额为万元． （1）求四月份游船票价和观光车票价每张多少元？ （2）为了庆祝五一劳动节，景区管理处决定，五月份降低游船票价和观光车票价．游船票价在四月份的基础上降低，观光车票价比四月份降低元，这样乘坐游船登岛的人数和四月一样，乘坐观光车登岛的人数比四月增加了，游船票和观光车票的销售总额比四月份销售总额减少了万元，求的值． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于、两点，直线与轴、轴分别交于、两点，直线与交于点，且． （1）求直线的解析式； （2）点是线段延长线上一点，连接、，当时，过点作直线轴，点为直线上一动点，求点的坐标以及的最大值； （3）如图2，点为直线上一动点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 26. 如图，与是两个共顶点的等腰三角形，且，． （1）如图1，当点在线段上时，连接，，，，求的长； （2）如图2，当与重合时，即，点在左侧，，过点作，交于点，连接，分别交，于点和．求证： ； （3）如图3，在中，，，点是的中点，连接，点是上的动点，连接，，．在中，，，，点，分别是，上的动点且，连接，，，当和同时取最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市鲁能巴蜀中学校2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义计算即可得到结果. 【详解】∵ 乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为，则 ， ∴ ， 故选D. 2. 如图是由四个相同的小正方体搭成的一个几何体，从左面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：从左面看，该几何体共有两列， ∵左边一列（对应几何体的后排）有2个正方形，右边一列（对应几何体的前排）有1个正方形， ∴从左面看到的平面图形是左边2个，右边1个，且下对齐．故C选项符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据单项式乘法、同底数幂除法、幂的乘方、积的乘方运算法则计算各选项，即可判断正确结果． 【详解】解：A选项：∵ ，∴A错误； B选项：∵，∴B错误； C选项：∵，∴C错误； D选项：∵ ．正确 4. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向上平移2个单位后的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一次函数图象“上加下减，左加右减”的平移规则即可直接求解，上下平移改变解析式的常数项，向上平移需在原解析式整体加平移的单位长度． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移后的函数解析式为：． 5. 估计的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 4和5之间 C. 3和4之间 D. 2和3之间 【答案】A 【解析】 【分析】先利用二次根式乘法运算法则化简原式，再估算无理数的取值范围，即可得到原式的大小范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 即的值在和之间． 6. 若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的函数值比较，可直接将点的横坐标代入函数解析式，得到和的表达式，再根据的条件比较大小． 【详解】解：将代入得：， 将代入得， ， ， 即． 7. 八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（ ） A. 甲组跳绳次数的波动比乙组大 B. 乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C. 甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D. 乙组跳绳次数的最大值大于190 【答案】C 【解析】 【分析】根据箱线图的特征，分别观察甲、乙两组数据的极差（波动情况）、中位数位置、下四分位数位置及最大值位置，结合选项逐一判断即可． 【详解】解：由箱线图可知：甲组数据的极差约为，乙组数据的极差约为，且甲组箱体长度大于乙组，  则甲组跳绳次数的波动比乙组大， 故A选项说法正确； 甲组中位数（箱体内横线）约为180，乙组中位数约为170，  ，  乙组跳绳次数的中位数比甲组小， 故B选项说法正确； 甲组下四分位数（箱体下边缘）对应数值约为170， 甲组跳绳次数的下四分位数小于180， 故C选项说法错误； 乙组最大值（上须顶端）对应数值约为195，  乙组跳绳次数的最大值大于190， 故D选项说法正确． 8. 某工厂同时启动两台节能设备甲和乙，设备运行过程中，剩余电量（单位：千瓦时）会随着运行时间（分钟）持续减少．如图，线段表示甲设备，线段表示乙设备，在设备运行时间内，两台设备的剩余电量与运行时间都满足一次函数关系，其函数图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙两台设备的初始剩余电量不相同 B. 设备运行时间内，甲设备的电量消耗速度更快 C. 乙设备剩余电量与的函数关系式为 D. 当甲设备剩余电量是108千瓦时时，乙设备剩余电量是72千瓦时 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象获取甲、乙两设备图象经过的点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，结合图象性质逐一判断选项即可． 【详解】解：由图象可知，甲、乙两线段均过点， 甲、乙两台设备的初始剩余电量相同，均为144千瓦时， 故A错误； 在分钟内，甲设备电量减少千瓦时，乙设备电量减少千瓦时， 乙设备的电量消耗速度更快， 故B错误； 设乙设备函数关系式为， 将和代入得： ， 解得：， 乙设备函数关系式为， 故C错误； 设甲设备函数关系式为， 将和代入得： ， 解得：， 甲设备函数关系式为， 当甲设备剩余电量时，， 解得：， 此时乙设备剩余电量为：， 故D正确． 9. 如图，在正方形中，对角线、相交于点，点是边上一点，连接，点是线段上一点，连接，，且，若，则为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别过点作 于，交于点，证明，进而证明是等腰直角三角形；即可证明是等腰直角三角形，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：分别过点作 于，交于点， 则 ， 四边形是正方形， ∴，，即， ∴ ，即 ， ， ， ， 是等腰直角三角形； ， ，，且 ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； ， ， ， ，即 ， ， 在 中，， ， ， ． 10. 已知关于的整式，其中，为正整数，，，，…为自然数，且．下列说法： 当，时，所有满足条件的整式的值的总和为； 满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有个； 当时，满足条件的整式共有种． 其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目给出的条件，按每个说法分别分类讨论计算验证，用到整式的定义，配方法判断二次式恒非负，自然数解计数等知识点，逐一对三个说法验证即可． 【详解】解：当时，条件为，为正整数，为自然数，所有可能为： ，对应，共组， ∴ ， 总和为： ，故正确； 二次三项式要求，且，即，条件为， 当，得，对应整式： ，时，，存在负值，不符合； ，时， ，符合； ，时， ，符合， 当，得，所有组合为，对应整式： ，时，，符合， 综上，符合条件的整式共个，故正确； 按分类计算满足的整式个数： ：，共种，全部满足，得种； ：，时满足条件种，时种，时种，共（种）； ：，时满足条件种，时种，共（种）； ：，剩余和为，满足共种，得种； ：，剩余和为，满足仅种，得种； ：，，，不满足； ∴满足条件的整式共，故正确， ∴三个说法都正确，正确个数为． 二、填空题：（本大题个小题，每小题分，共分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 太阳的半径约为696000千米，用科学记数法表示数696000为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 因式分解：4a2﹣8ab+4b2＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式4，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 13. 如图，在中，，剪去得到一个四边形，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形的内角和定理求得，再根据四边形的内角和为求解即可． 【详解】解：， ， ． 14. 如图，若一次函数与相交于点，则关于的方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系.将方程变形为，可知方程的解即为两函数图像交点的横坐标．根据交点坐标即可得出答案． 【详解】解：由方程，移项得， ∵一次函数与的图像相交于点， ∴当时，成立， ∴关于��的方程的解是． 15. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，点是边上一点，连接，与相交于点，过点作于点，连接，若，，则______． 【答案】##66度 【解析】 【分析】根据角平分线的判定定理得出平分，求出的度数，利用矩形性质和等腰三角形性质求出，通过证明 得出 ，利用三角形内角和定理求出 ，最后利用平角定义求解． 【详解】 四边形是矩形 ， ， ， ，， ， 平分，  ．  ，   ， ． 在中，．  平分，   ． 在 中， ， ． 在和中    ， ．  在 中，， ，  ． 16. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和根与系数的关系，先将原方程整理为一般形式，利用根与系数的关系求出的值，再利用方程根的定义对所求代数式降次，最后代入计算得到结果． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得， 方程的两个实数根为，， 根据根与系数的关系可得，， 已知， ∴， 解得， ∴ ， 是方程的根，将代入原方程得， 整理得， 将代入得， 将，，代入所求代数式得 ， ． 17. 如图，在菱形中，，，点、分别在线段、上，将四边形沿着翻折到菱形所在平面得到四边形，刚好过点，交于点，连接．若，则______，点到的距离为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过点N作的垂线，利用菱形性质、含直角三角形性质求出长；根据翻折性质得对应边、对应角相等，作辅助线构造直角三角形求出线段长，借助勾股定理列方程求出线段长度，最后利用等面积法求出点到的距离． 【详解】解：过点作于点H． 四边形是菱形，，， ，． ， ，． ， ． ． 在中，由勾股定理得，． 在中，由勾股定理得，． 由翻折性质可知，四边形四边形， ，， ， ． 点在上， ． 过点作，交的延长线于点K， ． ． 在中，由勾股定理得，． 在中，由勾股定理得，， ，． 设，则，． 过点作交于点P， ， ， ． 在中，由勾股定理得， ， ． 在中，由勾股定理得，， 即． 解得． ． 过点作于点， ，， ， ． 由勾股定理得，． ， 点到的距离等于菱形的高． 设点M到的距离为， ， ， 解得． 18. 我们规定：一个四位数，若满足，且各个数位上的数字均不相等，则称这个四位数为同差数．例如：四位数，因为，且各个数位上的数字均不相等，所以是同差数．按照这个规定，最小的同差数是_____；一个同差数，将其千位数字与百位数字调换位置，十位数字和个位数字调换位置，得到一个新的数，记，，的各个数位上数字之和记为．若是一个完全平方数，则满足条件的的最大值与最小值之差为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，根据同差数定义，要得到最小同差数，需千位数字尽可能小，结合 得最小为，再根据且各个数位数字互不相等，确定得到最小同差数；第二空，先根据定义表示出和，化简得到 ，结合，得到，代入条件得到表达式，根据完全平方数的范围枚举所有符合条件的，找到最大值和最小值作差即可． 【详解】解：第一空，求最小同差数： 要使四位数最小，千位数字需最小， ， ， 当时，， 由，且各个数位数字互不相等，要使最小，需尽可能小，即尽可能小， 时，，与重复，不符合； 时，，四个数字 均不相等，符合条件， 此时 ，故最小的同差数为； 第二空，求满足条件的的最大值与最小值之差： ， ， ， ， ， 代入得：， ， ， ，则 ， 由 均为数位数字，得， ， ，， ，为两位数，十位为，个位为， ， 则 ， 是完全平方数，且 ， 可能的完全平方数为 ，分情况讨论： ① ，即 ， 解得， 此时 ，四个数字互不相等， ，符合条件； ② ，即 ， 解得：，或，或， 时， ，四个数字互不相等， ，符合； 时， ，四个数字互不相等， ，符合； 时 ，四个数字互不相等， ，符合； ③ ，即 ， 解得 ， 此时 ，四个数字互不相等， ，符合； 综上，所有符合条件的中，最大值为 ，最小值为， 差值为 ． 三、解答题：（本大题共8个小题，19题10分，20题8分，21题—26题，每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴ ，． 20. 如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点F． （1）请用尺规作的角平分线，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，证明四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ． ①________． 平分，平分， ， ②________． ③________． 四边形是平行四边形． ④________． 四边形为平行四边形． 【答案】（1）如图，的角平分线即为所作 （2）①，②，③，④ 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义等知识． （1）以C为圆心、的长度为半径画弧交于点E，连接，问题得解； （2）根据题干的思路填空即可． 【小问1详解】 以C为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接， 作图如答案所示； 作图证明：∵是平行四边形， ∴，， 根据作图有：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是的角平分线； 【小问2详解】 略 21. 某校开展了“青少年AI知识竞赛”活动，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩的数据是：66，68，74，76，78，79，83，83，86，87，87，88，89，91，91，91，93，94，97，99． 八年级20名学生竞赛成绩在C组中的数据是：81，87，85，89，88，88． 七、八年级所抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 87 b 八年级 85 a 92 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，_______，_______，_______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生AI知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有420名学生、八年级有500名学生参加了此次AI知识竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次AI知识竞赛成绩达到优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1）；； （2）八年级的成绩更好，理由见解析 （3）322 【解析】 【分析】（1）根据八年级抽取学生A组、B组占比，以及 C组人数，算出D组人数及占比，得到m；根据人数占比，确定第10、11名的分数处于C组成绩排名的第3名、第4名，取两数的平均数，求出a；已知七年级成绩，91分出现次数最多，所以众数； （2）比较两个年级的平均数、中位数和众数即可； （3）根据七八年级样本中优秀成绩的占比估计总体的占比，计算人数即可． 【小问1详解】 解：已知八年级抽取学生A组、B组占比， A组人数为， B组人数为 八年级抽取学生C组人数为6， D组人数为， 占比，即， 八年级抽取学生中位数为成绩排名第10名、11名的平均分， 又A组2人，B组5人，C组6人， 第10名、11名为C组成绩排名的第3名、第4名， 八年级C组按成绩大小排序为：81，85，87，88，88，89， ， 已知七年级抽取学生成绩，91分出现次数最多， 众数． 【小问2详解】 解：八年级的成绩更好，原因是：虽然七八年级抽样平均数相同，但是八年级中位数大于七年级的中位数． 【小问3详解】 解：七年级抽样成绩中优秀学生占比为， 八年级抽样成绩中优秀学生占比为， ． 22. 如图，矩形中，，，点是边上的三等分点（），动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向运动，当点到达点时停止运动，用（秒）表示点的运动时间，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图像，并写出函数的一条性质； （3）若二次函数的图象如图所示，结合你所画函数的图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1） （2）如图，折线所示为函数的图像 当时，函数的值最大，最大为9 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，公式法解一元二次方程等知识． （1）分点P在上时、点P在上时，两种情况讨论，即可作答； （2）求出分段函数的端点的坐标，结合端点坐标作图即可，根据函数图象的特点灵活归纳即可； （3）的解集在坐标系中表现为：的图象在的图象上方时，自变量的取值范围，数形结合即可作答． 【小问1详解】 解：在矩形中，，，即有，， ∵点是边上的三等分点（）， ∴，， 点P在上时，， 根据运动可知：，即， ∴， ∵， ∴ ， 点P在上时，， 根据运动可知：，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上：， 【小问2详解】 解：， 当时，， 当时，， 当时，， 即此分段函数经过点，，， 函数图像略， 性质：当时，函数的值最大，最大为9； 【小问3详解】 解：联立：， 整理：， 利用公式法解得：（负值舍去）， （此值结合图象中两个函数的交点位置直接估计亦可）． 的解集在坐标系中表现为：的图象在的图象上方时，自变量的取值范围， 即：结合图象可知：当时的取值范围为：． 23. 如图，甲、乙两辆货车要从市运输货物到市．经查询，道路因塌方不能通行，现有两条路线可供选择：①；②．已知市位于市南偏西方向，市位于市的正西方向，同时位于市的西北方向，、两市之间的距离为千米，市位于市的南偏东方向，且恰好与市、市在同一直线上．（参考数据：，） （1）求、两市之间的距离（结果保留根号）； （2）甲货车选择路线①，平均速度为千米/小时；乙货车选择路线②，平均速度为千米/小时．请通过计算说明哪辆货车先到达市（结果保留一位小数）？ 【答案】（1）千米 （2）乙货车先到达市 【解析】 【分析】（1）过点A作于点E，根据方位描述，先确定、、的度数，进而确定的度数，根据含角的直角三角形的性质可得，结合勾股定理可得，结合、两市之间的距离可求出，问题随之得解； （2）先证明，再求出的长度，再根据（1）中已求出的、两市之间的距离，即可确定两种路线的长度，问题随之得解． 【小问1详解】 解：过点A作于点E，如图， ∵已知市位于市南偏西方向，市位于市的正西方向，市位于市的南偏东方向，市位于市的西北方向， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， ∵、两市之间的距离为， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； 甲货车选择路线①，即时间为：， 乙货车选择路线②，即时间为：， ∵ ， ∴乙货车先到达市． 24. 某江心生态岛位于城市两江交汇处，是当地最大的江心绿岛，游客可选择乘坐游船登岛，或在岛外乘坐观光车进入岛内游玩．据了解，四月份游船票价和观光车票价之比为，其中乘坐游船的人数为万人，乘坐观光车人数为万人，游船票与观光车票销售总额为万元． （1）求四月份游船票价和观光车票价每张多少元？ （2）为了庆祝五一劳动节，景区管理处决定，五月份降低游船票价和观光车票价．游船票价在四月份的基础上降低，观光车票价比四月份降低元，这样乘坐游船登岛的人数和四月一样，乘坐观光车登岛的人数比四月增加了，游船票和观光车票的销售总额比四月份销售总额减少了万元，求的值． 【答案】（1）四月份游船票价每张50元，观光车票价每张20元； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据票价比例设未知数，结合总销售额列一元一次方程求解； （2）据票价和人数的变化表示出五月份总销售额，结合总额变化条件列方程求解，舍去不符合的根得到结果． 【小问1详解】 解：设四月份游船票价为元，观光车票价为元. 将单位统一为元，0.8万人人，1万人人，60万元元． 根据题意列方程得：， 解得， 因此，． 答：四月份游船票价每张50元，观光车票价每张20元； 【小问2详解】 解：根据题意，五月份游船票价为元，乘坐游船人数为0.8万人，观光车票价为元，乘坐观光车人数为万人，总销售额为 万元，单位统一为万元， 列方程得： ， 化简得：， 整理得：， 解得，（舍去）． 答：a的值为50． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于、两点，直线与轴、轴分别交于、两点，直线与交于点，且． （1）求直线的解析式； （2）点是线段延长线上一点，连接、，当时，过点作直线轴，点为直线上一动点，求点的坐标以及的最大值； （3）如图2，点为直线上一动点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出A、B、E点坐标，进而得出的长度，再确定C的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）连接，作点C关于直线对称的点T，连接，，利用先求出，进而可求出，再利用，表示出，结合之前所求的值即可确定P点坐标；根据对称性有，即将求的最大值转化为求的最大值，在中即可作答； （3）作点A关于轴对称的点N，连接，将直线沿y轴向下平移，使其经过点N，且与直线交于点F，再在上取一点G，使得点G、点F关于轴对称，连接，交直线于点M， 在点E的左侧、直线上取点J，使得，连接；根据点A、E、C的坐标，结合勾股定理，先证明是直角三角形，即有 ，结合等腰三角形的对称性可确定M点符合要求，根据平移的性质，设直线的解析式为：，求出其解析式，进而可求出点F的坐标，根据对称性确定点G的坐标，再求出直线的解析式，即可得出M点坐标，根据对称性可判断点J也是满足要求的点，设，利用勾股定理，结合，可求出其坐标，问题得解． 【小问1详解】 解：直线：， 当时，，即，则有， 当时，，即，则有， 当时，，即， ∵， ∴，即， 设直线的解析式为：， 代入，，有：， 解得：， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 连接，作点C关于直线对称的点T，连接，如图， 设点P的坐标为：，即有：， 直线：， 当时，，即，则有， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，化简：， 又∵， ∴，，即； ∵过点作直线轴， ∴直线的解析式为：， ∵点、点T关于直线对称， ∴，即， ∵， ∴， ∵点、点关于直线对称， ∴， ∴， 在中， ， 当点D在线段上时，此时有 ， 即：， ∴的最大值为， ∴的最大值为； 【小问3详解】 作点A关于轴对称的点N，连接，将直线沿y轴向下平移，使其经过点N，且与直线交于点F，再在上取一点G，使得点G、点F关于轴对称，连接，交直线于点M， 在点E的左侧、直线上取点J，使得，连接，如图， ∵，，， ∴， 同理：，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 根据平移有： ， ∴， ∵点A、点N关于轴对称， ∴， ，， 即是等腰三角形， ， ∵点G、点F关于轴对称，且轴是等腰的对称轴，， ∴， ∴ ，即 ， ∴此时的M点满足要求； ∵ ，直线的解析式为：， ∴设直线的解析式为：， ∵， ∴ ，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立：，解得：， ∴， ∵点G、点F关于轴对称， ∴， 同理求得：直线的解析式为：， 联立：，解得：， ∴； ∵，， ∴点M、点J，关于直线对称， ∴ ， 设， ∵， ， ∴，， ∵， ∴， 简化： ， ， 即： ，或者 ， ∴解得：，（，此时点J、点M重合，舍去）， 即：， ∵ ， ∴ ， ∴此时若点M为点J时，同样符合题意， 综上所述：满足要求的M点的坐标为：或． 【点睛】本题是一道一次函数的综合题，主要考查了对称的性质，勾股定理，求解一次函数解析式，平移的性质，配方法解一元二次方程等知识，以构造为目的来构造合理的辅助线，是解答本题的关键． 26. 如图，与是两个共顶点的等腰三角形，且，． （1）如图1，当点在线段上时，连接，，，，求的长； （2）如图2，当与重合时，即，点在左侧，，过点作，交于点，连接，分别交，于点和．求证： ； （3）如图3，在中，，，点是的中点，连接，点是上的动点，连接，，．在中，，，，点，分别是，上的动点且，连接，，，当和同时取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，根据可知可得是等边三角形，可得，，可得，，根据勾股定理即可得的长； （2）延长至点，使得，连接，，可得 ，设，由等边对等角，结合三角形的内角和定理，可得 ，由平行线的性质，可得 ， ，可得 ，可得 ，即可证得结论； （3）过点作于，过点作 ，且，证明，可得 ， ，当、、三点共线时，取得最小值，由等边三角形的判定和性质，可得，结合已知可得垂直平分， ，可得， ， ，当、、三点共线时， 取得最小值，过点作 ，交延长线于点，延长，交于点，由等腰三角形的判定和性质，结合勾股定理可得 ，，可得，，由的面积可得，由平行线的性质可得 ，由角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股定理，可得，由平行线间的距离可得，即可得的面积． 【小问1详解】 解：过点作交于点， ∵， ， ∴是等边三角形，  ∴，， ∵，，， ∴，，， ∴ ， ， ∴在中，， ∴． 【小问2详解】 证明：延长至点，使得，连接， ∵， ∴ ， ∴ ， 又∵，， ∴， ∴ ， 设， ∵，，， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ， ∴， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 【小问3详解】 解：如图，过点作于，过点作 ，且，则 ， ， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ， ∴ ， 当、、三点共线时，取得最小值， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵点是的中点， ∴垂直平分， ， ∴， ， ∴ ， 当、、三点共线时， 取得最小值， 当、、三点共线时， ，过点作 ，交延长线于点，延长，交于点， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴ ， ∵，， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∵、、三点共线，于，， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用特殊三角形的性质和判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $