专题05 圆周角 暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题05圆周角暑假预习讲义 · 知识技能：掌握圆周角定义，区分圆周角与圆心角；熟记圆周角定理及推论，熟练进行圆心角、圆周角角度换算；掌握直径与直角圆周角互推、圆内接四边形对角互补、外角等于内对角的性质；能结合垂径、圆心角知识综合推理，规范书写证明并标注定理依据。 · 过程方法：体会分类讨论、转化、数形结合思想；形成固定解题思路：见同弧找等角、见直径构造直角、四点共圆用四边形角度规律。 · 分层学习：基础学生会判断圆周角、完成简单角度计算；中等生独立完成常规几何证明；优等生攻克多弧、动点类圆综合大题。 · 教学导向：学生自主标记预习疑难；课堂重点纠正混淆同弧 / 等弧、圆周角判定漏条件等易错点；串联圆前面知识点，构建角度计算知识体系；对接中考，夯实圆综合、切线题型的解题基础 预习必备 知识梳理 1.圆周角基础核心概念 2.圆周角定理及推论 3.圆内接四边形专项知识 4.标准解题模型 5.易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.圆周角的概念辨析及简单运算 2.圆周角定理 3.同弧或等弧锁定圆周角相等 4.半圆所对的圆周角是直角 5.90的圆周角所对的弦是直径 6圆内接四边形求角度. 7.求四边形外接圆的直径 加强题型 解答题6题 知识点01:基础核心概念 1. 圆周角定义 顶点在圆上，且角的两边都与圆相交的角叫做圆周角。 两大判定条件（缺一不可） ①顶点必须落在圆周上； ②角的两条边都和圆存在另一个交点（两边与圆相交）。 2. 圆周角与圆心角对比表 角的名称 顶点位置 核心特征 圆心角 圆心 两边过圆上两点，度数等于所对弧的度数 圆周角 圆周上 两边与圆相交，度数等于所对弧度数的一半 知识点02:圆周角定理及推论（高频考点） 定理：同弧所对的圆周角的度数 = 同弧所对的圆心角度数的一半”， 几何语言：所对∠BAC=∠BOC 补充：圆周角度数 = 所对弧度数的一半 核心推论（直接用）： 1 直径 / 半圆所对圆周角=90∘（⊙O中，BC为直径⇒∠BAC=90∘） 2 90∘圆周角所对弦 = 直径（∠BAC=90⇒BC为直径） 3 同弧 / 等弧所对圆周角相等（所对∠ACB=∠ADB） 知识点03:圆内接四边形专项知识点（独立考点，填空、证明高频） 定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形，叫做圆内接四边形，这个圆称为四边形的外接圆。 性质 （核心）：圆内接四边形的对角互补，即对角相加等于 180°。 圆内接四边形对角互补（ABCD内接于⊙O⇒∠A+∠C=180∘，∠B+∠D=180∘） 反向判定：如果一个四边形对角互补，则该四边形四个顶点四点共圆。 解题应用：已知四边形三个内角，快速求第四个角；利用外角相等证明三角形相似、角度等量代换。 知识点04:标准解题模型（教师板书必备，学生直接套用） 1.同弧等角模型 图中共享一段圆弧，多个圆周角全部相等，实现角等量替换，是几何证明最常用模型。 2.直径直角模型 连接直径两端与圆上任意一点，自动形成 Rt△，结合勾股定理、直角三角形性质计算边长、角度。 3.圆内接四边形倒角模型 遇四点共圆，优先使用对角互补、外角等于内对角，快速转换角度，简化推理步骤。 本节高频易错点（课堂重点纠错，减少学生失分） 1.判断圆周角时漏条件：只看顶点在圆上，忽略两边与圆相交； 2.乱用定理：不是同弧 / 等弧，强行认为圆周角相等； 3.混淆 “等弧” 和 “等弦”：相等的弦对应的圆周角不一定相等（弦对应两条弧，一优一劣，角互补）； 4.圆内接四边形记错结论：误以为邻角互补，实际是对角互补； 5.使用直径推论时忽略前提：线段必须是完整直径，半圆才会产生直角。 题型1.圆周角的概念辨析及简单运算 【典例】判断下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项D中的角是圆周角． 【跟踪专练1】如图，弦所对的圆周角有_______________________，劣弧所对的圆周角有_________________． 【答案】 ，， ， 【分析】本题考查了圆周角的概念，掌握圆周角的概念是解题的关键． 根据圆周角的概念直接得到答案． 【详解】解：弦所对的上的圆周角为，所对的上的圆周角为，，则弦所对的圆周角有，，； 劣弧所对的圆周角有，； 故答案为：，，；，． 【跟踪专练2】如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解决问题的关键．由圆周角定理可得，结合为的直径，弦于点，，可得，，推出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ， 为的直径，弦于点，， ，， ， 在中，由勾股定理得，即， ，即的半径是， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A．8 B．10 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设半圆的半径为，则，圆心到点的距离，利用勾股定理列方程，解方程求半径，求的长度． 【详解】解：设半圆的半径为，则，圆心到点的距离， ， ， 连接， ， ∴是直角三角形， 根据勾股定理： ， 代入已知，得： ， 解得，， ， ∴． 故答案为：B． 题型2.圆周角定理 【典例】如图，A、B、C点在圆O上，若，则______． 【答案】36 【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，由此可求出的度数． 【详解】解：与是同弧所对的圆心角与圆周角， ， ， ． 【跟踪专练1】如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得到的度数，再由圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练2】以为中心点的量角器与直角三角板按如图的方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么__________度． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理及平角的定义. 根据量角器读数确定圆心角的度数，利用互补关系求出，再根据圆周角定理计算的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ，为的直径 点在上 由题意得： 与分别是所对的圆周角和圆心角 ． 【跟踪专练3】如图，是的半径，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知，垂直平分，则，进而得到是等边三角形，则，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， 根据作图可知，垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 题型3.同弧或等弧所对圆周角相等 【典例】如图，，，，，五点在上，连接，，，．若，，则的度数是______． 【答案】/63度 【分析】首先根据求出，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，在中，是直径，点、在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧或等弧所对的圆周角相等求出，再结合直径所对的圆周角是直角求出． 【详解】解：和所对的弧都是弧， ， 所对的是直径， ， ． 【跟踪专练2】如图，点、、、在上，．若，则_________°． 【答案】 【分析】连接，由圆内接四边形的性质得，再根据等弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ． ∵， ． 【跟踪专练3】如图，点，，，在上，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ， 故选：A． 题型4.半圆所对的圆周角是直角 【典例】如图，为的直径，点，，是上的三点．若，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而求得的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴ ∵ ∴ 【跟踪专练1】如图，是的直径，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆周角定理求得，据此求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练2】如图，是的直径，，，是上的点，，交于点．若，则的大小为_______°． 【答案】47 【分析】本题考查圆周角定理及其推论的应用，解题核心是利用 “同弧或等弧所对的圆周角相等”， 得出结合直径所对的圆周角为直角，通过角度关系推导的大小． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ， ， ． 【跟踪专练3】如图，A，B，C是上的点，且．现给出下列度数的圆周角，仅用一把无刻度的直尺无法画出的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作直径，连接、，在弧上取一点E，连接、，    ∵A、B、C是上的点，且， ， ∵四边形内接于， ， ， ∵为的直径， ， ， ∴仅用无刻度的直尺能画出的圆周角有，，和． 题型5.90的圆周角所对的弦是直径 【典例】古代工匠确定圆形器具的圆心时，如图通常把角尺的直角顶点放在圆周上，即可找出该圆形器具的一条直径，进而找出圆心，这种方法的数学依据是________． 【答案】的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了圆周角定理的应用，根据的圆周角所对的弦是直径解答即可． 【详解】解：这种方法的数学依据是的圆周角所对的弦是直径． 故答案为：的圆周角所对的弦是直径． 【跟踪专练1】小星用直角三角尺检查某种半圆形工业配件是否合格．下列配件中，合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据的圆周角所对的弦是直径，只有选项A中的工件合格． 【跟踪专练2】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，的直径为寸，矩形内接于，若寸，则______寸． 【答案】 【分析】连接，由矩形的性质得，即得是的直径，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是的直径， ∴寸， ∵寸， ∴(寸)． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在线段上，且，则线段的长不可能为（     ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意可得，从而得到点F在以为直径的半圆上运动，设的中点为O，以为直径画圆，连接， 设与圆O交于点，则圆O的半径为，则当点F与点重合时，线段最小，最小值为，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上运动， 如图，设的中点为O，以为直径画圆，连接， 设与圆O交于点，则圆O的半径为， ∴当点F与点重合时，线段最小，最小值为， 在中，，， ∴， 即的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值大于，故A选项符合题意． 题型6圆内接四边形求角度. 【典例】如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为______度． 【答案】140 【分析】根据圆内接四边形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练1】如图，在中，点、、、分别在圆上，若，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，点、、、分别在圆上， ∴， ∵， ∴ 【跟踪专练2】如图，四边形内接于，，，为的中点，则________． 【答案】15 【分析】先根据圆的内接四边形求解，然后根据圆周角定理求解，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 题型7.求四边形外接圆的直径 【典例】如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为______． 【答案】 【分析】连接，并延长交圆于点，连接，，可得，从而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积． 【详解】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，． 则，． ∵， ∴//， ∴ ∴BE=CD， ∵ ∴． 在Rt△中，AB=10， 所以，由勾股定理得， ∴． 所以圆的面积为． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作出辅助线构造直角是解答本题的关键． 【跟踪专练1】如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，利用方程解决问题，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，设的半径为，根据垂径定理得，列关于半径的方程求解即可． 【详解】解：连接，设的半径为， 则，， ，， ， 是的中点， ， ， 在中，， 解得， 即的半径为， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，线段的两个端点分别在x轴和直线l上滑动（均不与原点O重合），，，作轴，，交点为P，设P的坐标为，则______． 【答案】 【分析】首先根据题意得到四点共圆，且为直径，然后设圆心为D，分别连接，，过点D作于点E，，然后根据勾股定理列方程求出，进而可得出的值． 【详解】∵ ∴ ∴四点共圆，且为直径， 如图所示，设圆心为D，分别连接，，过点D作于点E， 则 ∵ ∵， ∴ 在中，由勾股定理得，， 即，解得 ∴， ∵点P的坐标为， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理，圆内接四边形，垂径定理，30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线． 【跟踪专练3】如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 解答题 1．如图，试列举出中的一条直径、两条半径、三条弦、三段弧、三个圆周角和三个圆心角． 【答案】直径：；半径：，；弦：，，；弧：，，；圆周角：，，；圆心角：，，（答案不唯一） 【详解】解：直径：； 半径：，，，，； 弦：，，，，； 弧：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； 圆周角：，，，，； 圆心角：，，，，，，，，，． 2．如图，圆中两条弦相交于点E，且．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴． ∵， ∴ ∴． 【分析】根据已知求得，可得，再通过证明即可得． 【详解】略 3．如图，在中，，以为直径作交于点，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知，，求的半径． 【答案】(1) 证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)的半径为 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角结合等腰三角形的性质可得，，，由圆周角定理可得，则，因此； （2）结合（1）的结论可得，，，，使用勾股定理计算出，进而求出的半径． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，，， ∵， ∴， 在中，， ∴的半径为． 4．如图，四边形内接于，直径与弦相交于点P，连接，． (1)若，求的大小； (2)若，且，求的半径长； (3)记，，的面积分别为，，，设，，求y关于x的函数解析式． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补求得，再根据圆周角定理求解即可； （2）过O作于G，根据垂径定理得，设，根据可得，证明是等腰直角三角形得到，则，进而可求解； （3）利用三角形的面积公式可得，，，进而可求解． 【详解】（1）解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过O作于G，则， 设，则，， ∵， ∴， 整理，得，即， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， 在中，， ∴，即的半径长为3； （3）解：如图，过B作于E，过D作于F， ∴， ， ， ∵， ∴，则， 又∵，，， ∴， ∴， 即． 5．如图，在正方形内有一折线段，其中，，并且，，，求正方形的外接圆半径． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，外接圆的特点，以及勾股定理的应用，通过平移线段构造矩形，将正方形外接圆直径转化为直角三角形的斜边是解题关键． 通过平移线段构造矩形，将分散线段整合为直角三角形的边，用勾股定理求出正方形对角线，再结合正方形外接圆直径与对角线的关系，得到外接圆半径． 【详解】解：如图，平移至，连接，， 、， ， ，且， 四边形是矩形， ，，，， 在中，，即正方形对角线， 正方形的外接圆直径等于其对角线长， 正方形外接圆半径为：． 6．如图，中，是边中点． (1)求作的外接圆（保留作图痕迹，不写画法）； (2)交于点，连接，若，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了尺规作图－作三角形外接圆，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）作出和的垂直平分线交于点O，然后以点O为圆心，为半径画圆即可； （2）连接，首先得到，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：连接， 是的直径． 中，D是边中点， ， ， ． 的半径为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05圆周角暑假预习讲义 · 知识技能：掌握圆周角定义，区分圆周角与圆心角；熟记圆周角定理及推论，熟练进行圆心角、圆周角角度换算；掌握直径与直角圆周角互推、圆内接四边形对角互补、外角等于内对角的性质；能结合垂径、圆心角知识综合推理，规范书写证明并标注定理依据。 · 过程方法：体会分类讨论、转化、数形结合思想；形成固定解题思路：见同弧找等角、见直径构造直角、四点共圆用四边形角度规律。 · 分层学习：基础学生会判断圆周角、完成简单角度计算；中等生独立完成常规几何证明；优等生攻克多弧、动点类圆综合大题。 · 教学导向：学生自主标记预习疑难；课堂重点纠正混淆同弧 / 等弧、圆周角判定漏条件等易错点；串联圆前面知识点，构建角度计算知识体系；对接中考，夯实圆综合、切线题型的解题基础 预习必备 知识梳理 1.圆周角基础核心概念 2.圆周角定理及推论 3.圆内接四边形专项知识 4.标准解题模型 5.易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.圆周角的概念辨析及简单运算 2.圆周角定理 3.同弧或等弧锁定圆周角相等 4.半圆所对的圆周角是直角 5.90的圆周角所对的弦是直径 6圆内接四边形求角度. 7.求四边形外接圆的直径 加强题型 解答题6题 知识点01:基础核心概念 1. 圆周角定义 顶点在圆上，且角的两边都与圆相交的角叫做圆周角。 两大判定条件（缺一不可） ①顶点必须落在圆周上； ②角的两条边都和圆存在另一个交点（两边与圆相交）。 2. 圆周角与圆心角对比表 角的名称 顶点位置 核心特征 圆心角 圆心 两边过圆上两点，度数等于所对弧的度数 圆周角 圆周上 两边与圆相交，度数等于所对弧度数的一半 知识点02:圆周角定理及推论（高频考点） 定理：同弧所对的圆周角的度数 = 同弧所对的圆心角度数的一半”， 几何语言：所对∠BAC=∠BOC 补充：圆周角度数 = 所对弧度数的一半 核心推论（直接用）： 1 直径 / 半圆所对圆周角=90∘（⊙O中，BC为直径⇒∠BAC=90∘） 2 90∘圆周角所对弦 = 直径（∠BAC=90⇒BC为直径） 3 同弧 / 等弧所对圆周角相等（所对∠ACB=∠ADB） 知识点03:圆内接四边形专项知识点（独立考点，填空、证明高频） 定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形，叫做圆内接四边形，这个圆称为四边形的外接圆。 性质 （核心）：圆内接四边形的对角互补，即对角相加等于 180°。 圆内接四边形对角互补（ABCD内接于⊙O⇒∠A+∠C=180∘，∠B+∠D=180∘） 反向判定：如果一个四边形对角互补，则该四边形四个顶点四点共圆。 解题应用：已知四边形三个内角，快速求第四个角；利用外角相等证明三角形相似、角度等量代换。 知识点04:标准解题模型（教师板书必备，学生直接套用） 1.同弧等角模型 图中共享一段圆弧，多个圆周角全部相等，实现角等量替换，是几何证明最常用模型。 2.直径直角模型 连接直径两端与圆上任意一点，自动形成 Rt△，结合勾股定理、直角三角形性质计算边长、角度。 3.圆内接四边形倒角模型 遇四点共圆，优先使用对角互补、外角等于内对角，快速转换角度，简化推理步骤。 本节高频易错点（课堂重点纠错，减少学生失分） 1.判断圆周角时漏条件：只看顶点在圆上，忽略两边与圆相交； 2.乱用定理：不是同弧 / 等弧，强行认为圆周角相等； 3.混淆 “等弧” 和 “等弦”：相等的弦对应的圆周角不一定相等（弦对应两条弧，一优一劣，角互补）； 4.圆内接四边形记错结论：误以为邻角互补，实际是对角互补； 5.使用直径推论时忽略前提：线段必须是完整直径，半圆才会产生直角。 题型1.圆周角的概念辨析及简单运算 【典例】判断下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，弦所对的圆周角有_______________________，劣弧所对的圆周角有_________________． 【跟踪专练2】如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是______． 【跟踪专练3】如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A．8 B．10 C．4 D．5 题型2.圆周角定理 【典例】如图，A、B、C点在圆O上，若，则______． 【跟踪专练1】如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】以为中心点的量角器与直角三角板按如图的方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么__________度． 【跟踪专练3】如图，是的半径，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型3.同弧或等弧所对圆周角相等 【典例】如图，，，，，五点在上，连接，，，．若，，则的度数是______． 【跟踪专练1】如图，在中，是直径，点、在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点、、、在上，．若，则_________°． 【跟踪专练3】如图，点，，，在上，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型4.半圆所对的圆周角是直角 【典例】如图，为的直径，点，，是上的三点．若，则的度数为________． 【跟踪专练1】如图，是的直径，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是的直径，，，是上的点，，交于点．若，则的大小为_______°． 【跟踪专练3】如图，A，B，C是上的点，且．现给出下列度数的圆周角，仅用一把无刻度的直尺无法画出的是（     ）    A． B． C． D． 题型5.90的圆周角所对的弦是直径 【典例】古代工匠确定圆形器具的圆心时，如图通常把角尺的直角顶点放在圆周上，即可找出该圆形器具的一条直径，进而找出圆心，这种方法的数学依据是________． 【跟踪专练1】小星用直角三角尺检查某种半圆形工业配件是否合格．下列配件中，合格的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，的直径为寸，矩形内接于，若寸，则______寸． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在线段上，且，则线段的长不可能为（     ） A． B． C．5 D．6 题型6圆内接四边形求角度. 【典例】如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为______度． 【跟踪专练1】如图，在中，点、、、分别在圆上，若，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，四边形内接于，，，为的中点，则________． 【跟踪专练3】如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 题型7.求四边形外接圆的直径 【典例】如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为______． 【跟踪专练1】如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，线段的两个端点分别在x轴和直线l上滑动（均不与原点O重合），，，作轴，，交点为P，设P的坐标为，则______． 【跟踪专练3】如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 解答题 1．如图，试列举出中的一条直径、两条半径、三条弦、三段弧、三个圆周角和三个圆心角． 2．如图，圆中两条弦相交于点E，且．求证：． 3．如图，在中，，以为直径作交于点，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知，，求的半径． 4．如图，四边形内接于，直径与弦相交于点P，连接，． (1)若，求的大小； (2)若，且，求的半径长； (3)记，，的面积分别为，，，设，，求y关于x的函数解析式． 5．如图，在正方形内有一折线段，其中，，并且，，，求正方形的外接圆半径． 6．如图，中，是边中点． (1)求作的外接圆（保留作图痕迹，不写画法）； (2)交于点，连接，若，求的半径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $