2026年广东省中山市南头三鑫学校中考数学一模试题

**基本信息** 以华为科技、手影游戏等真实情境为载体，融合几何直观与模型意识，梯度覆盖中考核心知识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相反数、中心对称图形、圆的位置关系|结合手机解锁图案考查图形性质，体现空间观念| |填空题|5/15|科学记数法、概率、反比例函数|以《春江花月夜》诗句考概率，渗透文化传承| |解答题（三）|2/27|二次函数综合、几何变换|23题二次函数与等腰直角三角形动态探究，考查推理能力与创新意识|

2025-2026学年广东省中山市南头三鑫学校中考数学一模 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分) 1.-的相反数是() 3 D. 2.在下列手机手势解锁的团中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（) .◇ 3.已知⊙O的半径为4cm,若点P到圆心O的距离为3cm,则点P() A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.与⊙O的位置关系无法确定 4.下列计算中，正确的是() A.x2.x=x6 B.-2x2P=-8x6 C.3x3-x=3 D.x6y3+x2y=xy2 5.手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，小狗手影就是我们小时候常玩的游戏.再一 次游戏中，小明距离墙壁2米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，如下图所示，若在光源不 动的情况下，要使小狗手影增加一倍，则光源与小明的距离应() 手 影 光源 墙 A.增加1米B.减少1米C.增加2米D.减少2米 6.若ab<0,则方程ax+2x+b=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 7.如图是由小正方形拼成的网格，A,B两点均在格点上，C,D两点均为小正方形一边的中 第1页（共21页） 点，直线AB与直线CD交于点E,则∠BED=() A.60°B.75°C.90°D.105° 8.若二次函数y=ax2-3ax+c(a>0)的图象经过点A(0,y1),B(-1,y2),C(2,y3),则y1,y2,y3的大 小关系是() A.y3<y1<y2B.y1<y3<y2C.y3<y2<y1D.y2<y3<y1 9.如图，△ABC中，∠B=90°，AB=3cm,BC=6cm动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/sd的速 度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，若P,Q两点分别从A,B两点同时出 发，点P到达点B时运动停止，则△PBQ的面积S与出发时间t的函数图像大致是() 10.如图，在平面直角坐标系中，直线4：y=x与双曲线y=《(x>0)交于点A,将直线l4沿y轴竖直 向上平移2个单位长度得到直线l2:y=x+b,直线2于双曲线交于点B,与y轴交于点C,若 OA=2BC,则k的值为( B 第2页（共21页） A.6B.8C. D. 64 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.华为Mat60RS非凡大师配备了令人惊艳的6.82英寸OLED显示屏，能够呈现出107000万种色 彩，无论是视觉效果还是操作流畅度都达到了业界领先水平，则107000万用科学记数法表示 为 12.“春江潮水连海平，海上明月共潮生”是唐代诗人张若虚《春江花月夜》中的名句，描绘了 一幅幽美邈远的春江月夜图.将这句诗中的每个字分别写在背面完全相同的不同张卡片上，随 机抽取1张卡片，则抽中“海”字卡片的概率为 13.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B,C分别在x轴，y轴上，且AB⊥x轴.已 知一个反比例函数的图象经过点A,S。ABc=4cm,则该反比例函数的表达式为 14.如图，正方形ABCD中有两个小正方形，两个小正方形的面积分别为S1和S2,边长分别为 a,b,当AB=4时，ab的值为 C A 题13图 I5.学校爱心义卖活动中，某班设计了一份宣传海报，如图海报中的“爱心”是由菱形ABCD的 一组邻边AB,BC的两条等弧连接而成，两条等弧所在的圆分别于AB,BC相切与点A,C,若 ∠ABC=120°，AB=12cm,则“爱心”的周长（图中实线部分的长度）为 cm.（结果 保留根号，保留π) 第3页（共21页） 三、.解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16.计算：（π-6°+/27-2cos60+-V2 以先化商，再求位：〈12其中x-4 18.一台笔记本点电脑放置在水平的桌面上，其示意图如图1所示，∠AOB=120°，OA=OB=40 ;使用时，为了加强笔记本散热，底板下面需垫入散热架ACO',并将显示屏OB旋转到O'B'的 位置，其示意如图2所示。已知B',O,C三点在同一直线上，且B'C⊥AC,∠O'AC=37 B 显示屏 B B 底板 B 散 120 0 图1 图2 (1)求散热架ACO'的高度O'C: (2)垫入散热架后，显示屏顶部B'的竖直高度比原来高度升高了多少？ (参考数据：sin37°取0.6，cos37°取0.8，tan37取0.75,3取1.73) 第4页（共21页） 四、.解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19.玉林素有“岭南美玉、胜景如林”的美誉，是中国优秀旅游城市，区域内著名旅游点有：A. 大容山风景区，B.云天文化城，C.五采田园，D.龟山公园.我市八年级某班计划暑假期间到以 上四个地方开展研学旅游，学生分成四个小组，根据报名情况绘制了两幅不完整的统计图. 人数 20 20 15 10外 5 B 40% 04 A BC D 旅游点 请根据图中信息，解答下列问题： (1)全班报名参加研学旅游活动的学生共有 人，扇形统计图中D部分所对应的扇形圆 心角是 (2)补全条形统计图： (3)该班语文、数学两位学科老师也报名参加了本次研学旅游活动，他们随机加入A、B、C三 个小组中，求两位老师在同一个小组的概率 20.车厘子，学名“Cerasuspseudocerasus”,又称樱桃，原产于亚洲西南部，距今已有几千年的 历史.因其果实鲜美、色泽艳丽、饱满多汁而备受人们喜爱.车厘子是春季的水果佳品，“果 甜美”水果店以6750元购进两种不同品种的车厘子.若按标价出售可获毛利润1750元（毛利润 =售价-进价)，这两种盒装车厘子的进价、标价如表所示： 第5页（共21页） 价格/品种 A品种 B品种 进价（元/盒） 125 150 标价（元/盒） 150 200 (1)求“果甜美”水果店各购进这两个品种的车厘子多少盒： (2)因两种品牌的车厘子销售良好，“果甜美”水果店计划再购进这两种品种的车厘子共80盒进 行销售，同时由于资金周转问题，该店用于购进两种品牌的车厘子的总资金不超过11200元，问 如何进货且销售完这批车厘子可以获得的毛利润最大？最大毛利润是多少元？ 21.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C,E是⊙O上的两点，CE=CB, ∠BCD=∠CAB,延长AE交BC的延长线于点F. E 0 (1)求证：CD是⊙O的切线； ②若am∠CAB号，D=4,求⊙0的半径： (3)若BC=2AE,求sin∠CAB的值. 五、.解答愿（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共127分） 22.【教材再现】 第6页（共21页） D A E 白 B ① ② D B C ③ (I)如图①，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF,求证： BE=DF,BE⊥DF (2)如图②，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,E为CD边上一点，将△BED沿BE折叠得到△BEG, 延长DG,BC相交于点F,CE=2DE,求FG的长； (3)保持(2)中的AB,AD的大小不变，扭动矩形，使得∠A=120°，如图③所示，E是CD边上 一点且满足CE=2DE,点F是BC延长线上的一点，连接DF交射线BE于点G,当线段DF与射线 BE所夹的夹角为60°时，直接写出DGDF的值. 23.如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴相交于点A(-2,0,B(4,0) ,与y轴相交于点C. 第7页（共21页） y N M A B 图1 图2 (1)求抛物线的孵析式： (2)已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴上一点，以B,E,F为顶点的三角形是等腰直角三 角形，且∠BFE=90°，求出点F的坐标： (3)如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M,连接BP并延长交y轴于点N, 在点P的运动过程中，OM+ON是否为定值，若是，求出这个定值：若不是，请说明理由. 参考答案与试题解析 1.C 【解析】：“只有符合不同的两个数叫做互为相反数， “号的相反数是 2 故选C 2.B 【解析】A选项，不是中心对称图形，是轴对称图形： B选项，是中心对称图形，但不是轴对称图形： C选项，既是中心对称图形，也是轴对称图形： D选项，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形： 根据题意，选B. 3.A 第8页（共21页） 【解析】：点P到圆心距离为3cm,圆O半径为4cm, 点P到圆心距离<半径， ∴点P在圆内， 故选A. 4.B 【解析】A:计算机结果是x,原计算错误，不符合题意； B:-2x2=-8x,原计算正确，符合题意 C:计算结果是2x,原计算错误，不符合题意： D:计算结果是xy,原计算错误，不符合题意. 故选B 5.D 【解析】如图①，点O为光源，AB表示小明的手，CD表示小狗手影，AB‖CD 过点O作OE⊥AB,延长OE角CD于点F,则OF⊥CD C 0s5 0' B ① ② .AB‖CD,∴.△AOB一△COD A5=0EEF=2,0E=4,∴0F=6A=0E= ·CDOF ·CDOF3 设AB=2k,CD=3k 光源不动的情况下，要使小狗手影高度增加一倍，如图②，即有： AB=2k,C'D'=6k △A0'B-△C'O'D'. 58F-0E-20c0E-2 因此光源于小明距离减少2米即可，故选D 第9页（共21页） 6.A 【解析】由一元二次方程的根的判别式可知： △=2-4×a×b=4-4ab.ab<0.∴.△=4-4ab>0 因此方程有两个不相等的实数根，故选A. 7.c 【解析】如图，平移CD至FG处，则F,G均在正方形格点上，连接GB. 设小正方形的边长为1，由勾股定理得： BF2=5,GF2=5,BG2=10 ∴.BF2+GF2=BG2 .∠BFG=90° 由条件可知CD‖GF, ∴.∠BEC=∠BFG=90° .∴.∠BED=90 故选C. 8.A 【解析】根据题意， 二次函数开口向下，其对称轴为x=-30=3 2a2 那么三个点到对称轴的距离中，C点最近，B点最远，结合开口方向 则y3最i小，y2最大，故选A. 9.C 第10页（共21页） 【解析】根据题意， AP=t,BQ=2,AB=3Bp=3-t,0≤≤35BPBQ=×3-tx2t=-+3t 此为开口向下的二次函数图象，结合选项，选C. 10.C 【解析】根据一次函数图象平移可知，12y=x+2,∴.C(0,2 两条直线于y轴所夹锐角为45° .OA=2BC,yA=XA=2XB 设A(2t,2t),∴.B(t,2+t) .∴.k=（2t2=t×(2+t) ≥0，t-号k= 9 11.1.07×10 【解析】107000=1.07×10 12.月 【解析】共有14个字，其中“海”字有2个 2=1 ∴抽中“海”字卡片的概率为14方 故答案为：月 13.y=-8 【解析】解：连接OA 第11页（共21页） B .AB⊥x轴 ABy轴，5sk风 .SAOB=S.ABC=4cm2 ∵k<0 ∴.k=-8 一该反比例函数的表达式为y=-8 ,8V2 14.3 【解析】解：如图所示 A M a S N bQ E S, H B c G :AC是正方形ABCD的对角线 .∠ACB=∠DAC=∠BAC=∠ACD=45°，∠B=90°，AB=BC=4 第12页（共21页） ..AC=VAB2+BC2=42+42=42 又：四边形EFGB与四边形MNHQ是正方形 ∴.△AEF,△CGF,△AQM,△CHN均为等腰直角三角形 .EF=BG=FG=GC,MN=QM=AQ=QH=CH .'EF=-BC=2,MN=1AC=42 3 3 =492,b=2 即a= ∴.ab 82 3 15.24+32/3 【解析】，'∠ABC=120°，AD‖BC.∴.∠DAB=60° .AB与⊙O相切， ∴.∠OAB=90°，∠OAD=90°-60°=30°.OA=OD∴.∠OAD=∠OAD=30°∴.∠AOD=120°∴.OA=OD= 所以优弧AD的长度为 360°-120m×43_1685元 180° 3 那么优弧CD等长 因此“爱心”的周长为12+12+163L+165n=24+323江 3 3 3 16.3V3+V2 【解析】原式=1+33-2×号+2=33+2 x+1 17.化简后式子为x-2,代入后所得值为2 =x+2×(x+12 _X+1 【解桥】原式三+1+X+)xx+2x-2x+1(x+2)x-2X) X 将x=-4代入， 原式4号君月 18. 第13页（共21页） 【解析】 18. (1)24 【解析】如图2，在Rt△ACO'中， :sinA=6in37=0:C-0,C=0.60'C=40×0.6=24 0'A40 (2)29.4 【解析】如图1，过点B作BH⊥AO的延长线于点H B 120° 0 :2A0B=120:∠B0H=1800-120=60:Sin∠B0H=B距-B阳=5：BH=205=20×1.73=34.6 OB402 如图2： B .B 0 -- CO B'C=O'C+O'B'=24+40=64 垫入散热架后，显示屏顶部B'的竖直高度比原来升高了 64-34.6=29.4 19. (1)50:36° 【解析】解：全班报名参加研学旅游活动的学生共有：20÷40%=50（人） 扇形统计图中D部分所X对应的扇形圆心角是。360°义李36。 第14页（共21页） (2)10人，补图见解答 【解析】C景点的人数：50-15-20-5=10（人） 人数， 20 20 15 15 10 10 0 A B C D 旅游点 补全统计图如下： (3)3 【解析】根据题意画树状图如下： 开始 语文老师 B 数学老师A B C 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一小组的结果有3种 3-1 ∴两人恰好选中同一个小组的概率为3 20. (1)购进A品种车厘子30盒，B品种车厘子20盒 【解析】解：设购进A品种车厘子m盒，B品种车厘子n盒. 第15页（共21页） 125m+150n=6750 根据题意得： 150-125m+200-150n=1750 解得， m=30 n=20 .购进A品种车厘子30盒，B品种车厘子20盒. (2)购进A品种车厘子32盒，B品种车厘子48盒，可以获得的毛利润最大，最大毛利润是3200元 【解析】解：设购进A品种车厘子x盒，销售完这批车厘子获得的毛利润为w元 ,用于购进两种品牌的车厘子的总资金不超过11200元 ∴.125x+15080-x≤11200 解得x≥32 根据题意得w=150-125x+200-150川80-x=-25x+4000 .-25<0 .w随x的增大而减小 .当x=32时，w取最大值为-25×32+4000=3200 ∴.购进A品种车厘子32盒，B品种车厘子48盒，可以获得的毛利润最大，最大毛利润是3200元 21. (1)见答案解析 【解析】连接OC,如下图： ○ B .AB是⊙O的直径，∠ACB=90° ∴.∠OCA+∠OCB=90°OA=OC.∴.∠OCA+∠OAC.:∠BCD=∠CAB∴.∠BCD+∠OCB=90°.∴.∠OCI 又OC为⊙O的半径 .CD是⊙O的切线 第16页（共21页） 【解析】在Rt△ABC中，tan∠ACB=BC=2 AC 3 :∠BCD=∠CAB,∠D=∠D.△DBC-△DAC.CD-BD=BC=A=CD=65-.AD= AD CD AC3·CD31 AD 3 .⊙0的半径为2 (3).sin∠CAB=-1+9/33 8 【解析】设AB=a,AE=k,.BC=EC=2k ,AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ACE=90° .‘CE=CB,∴.BC=CE.∴.∠FAC=∠BAC 在△BAC和△FAC中， ∠ACB=∠ACF AC=AC ∴.△BAC≌△FAC(ASA).∴AB=AF=a,BC=FC=2k.∴.EF=AF-AE=a-k,FB=4k ∠BAC=∠FAC :'∠FCE为圆内接四边形ABCE的外角， ∠FCE=∠AB:∠F=∠F△FCE-△FAB:EC=FE:2k=9k:k=1+33a或13 - AB FB a 4k 16 16 k>0,k=-1+33。 -a 16 sin∠CAB=BC=2k=-1+33 AB a 8 22. (1)见答案解析： 【解析】证明：如图①，延长BEDF于点H 第17页（共21页） D E H ① 在△BCE和△DCF中， CE=CF ∠BCE=∠DCF∴.ABCE≌△DCF(SAS)∴.∠CBE=∠CDF,BE=DF.'∠BEC=∠DEH∠BEC+∠BCE BC=DC 2)FG=75 10 【解析】如图②，矩形ABCD中，AB=3,AD=4,CE=2DE,延长BE交DF于点H D H G B ② .'CD=AB=3,AD=BC=4,DE=1,CE=2 在Rt△BCE中，BE=VBC2+CE=2/5 由折叠的性质可知，BE垂直平分DG .∴DH=HG,BH⊥DF R∠DH证90之BCEC=∠DEH..A BCE-ADHE.:P8P是2CDFE∠CBED11 42V5 在Rt△DCF中， mcDF哥cD-3cF 根据勾股定理，DF-VCD+CF=3E 第18页（共21页） FG=DF-DG=354575 510 (3)2或3 【解析】略 23 0》y分4 【解析】将点A(-2,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+4。得： 1 4a-2b+4=0. Q=- 16a+4b+4=0 b=1 抛物线的解析式为y=x4x+4 (2)点F的坐标为1,1)或(1，-5)或(1，-3)或(1,3) 【解析】点A(-2,0,B(4,0,抛物线的对称轴：X=2+4=1 2 设直线l与x轴交于点G,过点E作ED⊥1与点D ①当点F在x轴上方时，如图： A :B,E,F为顶点的三角形为等腰直角三角形，∠BFE=90 ∴.EF=BF.'∠DFE=90°-∠BFG=∠GBF,∠EDF=∠BGF=90 ∴.△DFE≌△GBF(AAS).∴GF=DE,GB=FD 设F(1,m),∴.DE=m,DG=DF+FG=GB+FG=3+m ∴.E(1+m,3+m),E在抛物线上 3+m=-1+m+(1+m+4m=1或m=-3(舍)F1,1 第19页（共21页） ②当点F在x轴下方时，如图： D-- 同理可得△DFE≌△GBF(AAS),GF=DE,GB=FD 设F(1,n),.E(1-n,n-3) ∴n-3=- 1-n+1-n+4.n=-5=3(舍F1,-5列 ③当E与A重合时，如下图： 等腰直角三角形AABF中， AB=6,∠BFE=90°.GF=1AB=3∴.F(1,-3 综上所述，符合题意的点F的坐标为(1,1)或(1，-5)或(1，-3)或(1,3) (3)定值为6 【解析】OM+号ON为定值6，理由如下： 设P(s,t),直线AP的解析式为y=d+f,BP的解析式为y=gx+h A(-2,0),B(40,P(s,t2d+f=0,4g+h=0 ds、t +2 g=t s-4 sd+f=t'sg+h=t F=_2t 4t h= S+2 4-s 第20页（共21页） 可得： s+5x+2t 直线AP的解析式为y= s+2 直线BP的解析式为y=。 4t S4+ 4-s 对于直线AP,令X=0,y=2t s+2 ∴.M(0, 2t +2 可鲤可符，N0,4” .P在抛物线上， =-+s*4=-s-4川s+2刘 .0M+50N=2+号×4t=12t=-6s-4s+2=6 2 s+22^t-s-s2+2s+8-(s-4)(s+2) 因此OM+号0N为定值6 第21页（共21页）