精品解析：2026年广东省中山市华侨中学中考数学一模试卷

2026年广东省中山市华侨中学校中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： 的相反数是． 2. 下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意， B、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意， C、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意， D、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意， 故选：D 3. 下列各数中，是无理数的为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：由无理数的定义可知，四个数中只有是无理数． 4. 将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，直角三角板．先得出，再根据平行线的性质得出，进而根据，得出答案． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 故选：D． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则一一判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、与 不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：A． 6. 如图是由5个小正方体组成的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据俯视图是从上面看到的图形求解即可，掌握俯视图是从上面看到的图形是解题的关键． 【详解】解：从上面看，一共有两行，第一行有 个正方形，第二行中间有 个正方形， ∴几何体的俯视图是 故选：B． 7. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设人数为，琎价为， 根据每人出钱，会多出4钱可得出， 每人出钱，又差了3钱．可得出， 则方程组为：， 故选：B． 8. 已知二次函数（m为常数，且）的图象上有三点，，，则、、的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴是解题的关键． 二次函数开口向上，对称轴为，顶点处函数值最小；通过计算各点函数值比较大小即可解答． 【详解】解：∵ 二次函数， ， ∴抛物线的开口向上，对称轴， ∴当时，最小， ∵，， ∵， ∴， ∴． 故选A． 9. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是 ，当重物上升时滑轮的一条半径 绕轴心 按逆时针方向旋转的角度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算公式，正确理解公式是关键． 重物上升，即弧长是，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：设旋转角度为，由题意得， ， 解得． 故选D． 10. 如图，四边形 是正方形，点E是线段 上的动点，以 为边作正方形，连接 ，M为 的中点，且，则线段的最小值是( ) A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】取 的中点N，连接 交 于P，正方形的边长为，利用中位线定理求出，利用四边形是矩形求出EP，继而求出，利用二次函数的顶点式求的最小值，从而得到的最小值． 【详解】解：取 的中点N，连接 交 于P， 设正方形的边长为，即， ∵N是 的中点，M为 的中点，， ∴，， ∴ 又∵四边形是正方形， ∴四边形是矩形，，， ∴ ∵ ， ∴ ∴当 时，，即 故选：B． 【点睛】本题考查中位线定理，勾股定理，正方形的性质，矩形的判定与性质，二次函数的最值等知识，正确画出图形是解题的关键． 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_______ ． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算．直接按同分母分式加减运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：1． 13. 如图，在中， ，若，则 与 的面积之比为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先求出，再证明得到，接着证明，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若是一元二次方程的两个实数根，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得，，，然后代入求解即可． 【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系得，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程的两个实数根，满足，． 15. 如图，在中，， ，，将绕点C顺时针旋转90°后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在 上的点F处，点B经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，解直角三角形、旋转变换等知识，先求出，，根据计算即可． 【详解】解：在中，， ，， ，， ， 故答案为：． 三.解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；24． 【解析】 【分析】先根据完全平方公式和平方差公式计算，再去括号，合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解： ； 当时， 原式 =24． 【点睛】本题考查了整式的混合运算与化简求值，熟知完全平方公式和平方差公式，正确进行化简是解题关键． 17. 解分式方程： 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据将分式方程转化为整式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解： ∴ 解得： 当时， ∴是原方程的增根，原方程无解 18. 在平行四边形 中，已知． （1）尺规作图：作的平分线交 于点E，在上截取，连接 ；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）如图所示即为所求： （2）证明：四边形 是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 由（1）得：， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、作图基本作图、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质和角平分线作图，证明是解决问题（2）的关键． （1）由角平分线的作法得出结果，在上截取，连接 ；画出图形即可； （2）由平行四边形的性质和角平分线得出，证出，由（1）得：，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四.解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. “爱你老己”是2025年底流行的网络热梗，“爱你老己”是“爱你自己”的意思，称自己为“老己”，仿佛在与一位相识多年的老朋友对话，亲切又幽默．九年级学生小明选用材质、颜色、大小均相同的四张卡片，分别将“爱”、“你”、“老”、“己”四个字书写在上面，并背面朝上反扣在桌上． （1）小明随机在四张卡片中抽取一张，求小明抽取到写有“爱”字卡片的概率． （2）小明随机在四张卡片中抽取两张，请用树状图或者表格分析，能凑成“老己”这个词的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据概率公式直接得出答案； （2）根据题意，列出表格，可得一共有12种等可能结果，其中能凑成“老己”这个词的有2种，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：小明抽取到写有“爱”字卡片的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意，列出表格，如下： 爱 你 老 己 爱 你、爱 老、爱 己、爱 你 爱、你 老、你 己、你 老 爱、老 你、老 己、老 己 爱、己 你、己 老、己 一共有12种等可能结果，其中能凑成“老己”这个词的有2种， 所以能凑成“老己”这个词的概率． 20. 某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为 ，则，即可求解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意，得， 解得或（舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为 ． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为 ， 则， ， ∴当时，月销售利润最大． 答：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个． 21. 某校数学“综合与实践”小组在测量临沂书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 书圣阁 测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）： 先将无人机从地面的点C处垂直上升m至点 ，此时测得书圣阁的顶端A的俯角为； 再将无人机从点 处向右沿水平方向飞行 m至点，然后沿垂直方向上升m至点，此时测得书圣阁的端A的俯角．| 测量示意图 请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学“综合与实践”小组求出书圣阁的高度．（结果保留整数，参考数据： 【答案】m 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，准确理解题意，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．延长交于 ，延长 交于，设，在中，，可得，，在中，通过，列出方程，解方程求得，最后通过，求得的值． 【详解】解：如图，延长交于 ，延长 交于， 由题易知，四边形为矩形， 则， 设，则， 在中，， ， 则， ， 在中，， ， ，即， 解得：， 则， 答：书圣阁的高度约为m． 五.解答题（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为妙趣三角形，这个锐角叫做妙趣角．如图1，是妙趣三角形，是妙趣角．若，则 ． 【概念理解】 （1）当妙趣三角形是等腰三角形时，则妙趣角的度数为__________； 【性质探究】 （2）如图2，数学兴趣小组发现，当是妙趣三角形， 是钝角，是妙趣角时，存在的结论，请你证明这个结论； 【拓展应用】 （3）如图3，是的直径，点，是圆上的两点，弦与交于点 ，连接，， 和都是妙趣三角形，且、分别为妙趣角时，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，作 交 于D， ， 是妙趣三角形， 是钝角，是妙趣角， ， ， 又， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）设妙趣角的度数为x．根据新定义，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理列方程再求解即可； （2）先根据新定义证明 ，再证 ，推出，即可证明； （3）连接，，设 ，由为妙趣角，得出 ，由为妙趣角，得出 ，根据内角和为180度列式可求得 ，再证明 ，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：设妙趣角的度数为x． 则 ， 解得 ， 即妙趣角的度数为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，，设 ， 为妙趣角， ， ， 是的直径， ， ， 为妙趣角， 在 中， ， ， ， ， 解得 ， 即 ． 则 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 则 ， ∴ ， 故， ∵ ， ∴ ， 则 ， 即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 则 ， ∴， ∵ ， ∴． 23. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）如图1，一次函数的图象与坐标轴分别交于点M，N．点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线的垂线段，垂足为Q，求的最小值； （2）如图2，D是直线 上方抛物线上一动点，作垂足为点F，交 于点E，连接，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接 ，将线段 绕点O按顺时针方向旋转 得到线段，连接 ，求线段 的最小值． 【答案】（1） （2）存在，点D的坐标为或或 （3）线段 的最小值为 【解析】 【分析】（1）过P作轴交于点G，设，则，求得，根据，用 的二次函数表示出，利用二次函数的性质即可求解； （2）用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点 ，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时， 最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【小问1详解】 解：如图，过P作轴交于点G， 设，则， ∴， 对于一次函数，令 ，得 ，令 ，得 ， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，为最小值； 【小问2详解】 解：对于抛物线表达式，当 ，， ∴， 设直线 的表达式为： ， 则， 解得：， ∴直线 的表达式为：， 设点D的横坐标为t， ∵， ∴，， ∴， ∵， ， ①当 时，， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ②当时，， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ③当时，， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ∴， ∴； 综上，是等腰三角形时，点D的坐标为或或； 【小问3详解】 解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点 ，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时， 最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段 长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广东省中山市华侨中学校中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各数中，是无理数的为（　　） A. B. C. D. 4. 将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图是由5个小正方体组成的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 7. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为 ，琎价为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（m为常数，且）的图象上有三点，，，则、、的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 9. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是 ，当重物上升时滑轮的一条半径 绕轴心 按逆时针方向旋转的角度约为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是正方形，点E是线段 上的动点，以 为边作正方形，连接，M为的中点，且，则线段的最小值是( ) A. 1 B. C. D. 2 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_______ ． 12. 计算：______． 13. 如图，在中， ，若，则 与 的面积之比为____________． 14. 若是一元二次方程的两个实数根，则________． 15. 如图，在中，， ，，将绕点C顺时针旋转90°后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是______． 三.解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 解分式方程： 18. 在平行四边形中，已知． （1）尺规作图：作的平分线交 于点E，在上截取，连接 ；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是菱形． 四.解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. “爱你老己”是2025年底流行的网络热梗，“爱你老己”是“爱你自己”的意思，称自己为“老己”，仿佛在与一位相识多年的老朋友对话，亲切又幽默．九年级学生小明选用材质、颜色、大小均相同的四张卡片，分别将“爱”、“你”、“老”、“己”四个字书写在上面，并背面朝上反扣在桌上． （1）小明随机在四张卡片中抽取一张，求小明抽取到写有“爱”字卡片的概率． （2）小明随机在四张卡片中抽取两张，请用树状图或者表格分析，能凑成“老己”这个词的概率． 20. 某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21. 某校数学“综合与实践”小组在测量临沂书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 书圣阁 测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）： 先将无人机从地面的点C处垂直上升m至点，此时测得书圣阁的顶端A的俯角为； 再将无人机从点处向右沿水平方向飞行 m至点，然后沿垂直方向上升m至点，此时测得书圣阁的端A的俯角．| 测量示意图 请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学“综合与实践”小组求出书圣阁的高度．（结果保留整数，参考数据： 五.解答题（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为妙趣三角形，这个锐角叫做妙趣角．如图1，是妙趣三角形，是妙趣角．若，则 ． 【概念理解】 （1）当妙趣三角形是等腰三角形时，则妙趣角的度数为__________； 【性质探究】 （2）如图2，数学兴趣小组发现，当是妙趣三角形， 是钝角，是妙趣角时，存在的结论，请你证明这个结论； 【拓展应用】 （3）如图3，是的直径，点，是圆上的两点，弦与交于点，连接，， 和都是妙趣三角形，且、分别为妙趣角时，求的值． 23. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）如图1，一次函数的图象与坐标轴分别交于点M，N．点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线的垂线段，垂足为Q，求的最小值； （2）如图2，D是直线 上方抛物线上一动点，作垂足为点F，交 于点E，连接，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接 ，将线段 绕点O按顺时针方向旋转 得到线段，连接 ，求线段 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $