精品解析：2024年广东省清远市连南初中学业水平考试数学模拟试卷

初中学业水平考试模拟考试 数学 本试卷共7页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下各数中，最小的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：，， ∵， ∴， ∵， ∴最小的数为． 2. 2024年巴黎奥运会中国代表团共获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，金牌数与美国队并列排名第一，历届奥运会会徽也以其独特的设计吸引观众的注意，以下奥运会会徽属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、不是轴对称图形． 3. 中国超级市场规模增速超过全球，预计到2025年将达到46600000000元，这表明，中国在超级计算机领域不仅取得了技术上的突破，还在全球范围内展现了强大的竞争力和影响力，46600000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 4. 如图所示，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的外角的性质解题即可． 【详解】解：∵， ∴． 5. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：最简二次根式需要同时满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式， A．，被开方数含能开得尽方的因数 ，不是最简二次根式； B．，被开方数含分母， 不是最简二次根式； C．的被开方数 不含分母，且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，是最简二次根式； D．，分母含根号，不是最简二次根式． 6. 某社区的5名孩子在“艺术百花——少儿艺术花会”比赛中，成绩（单位：分）分别是88、95、92、88、90，这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 97、88 B. 90、90 C. 95、88 D. 88、90 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数的定义，解题思路是先将数据从小到大排序，再根据定义分别求出众数和中位数即可． 【详解】解：首先将这组数据从小到大排序得： ∵众数是一组数据中出现次数最多的数，88出现2次，次数最多， ∴众数为； ∵这组数据共有5个，为奇数个，中位数是排序后位于中间位置的数，即第3个数， ∴中位数为； 因此众数和中位数分别为88和90，故选D． 7. 一个正多边形每个外角都是30°，则这个多边形边数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数列式计算即可得解． 【详解】360°÷30°=12． 故选Ｃ． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和、多边形的每一个外角的度数、多边形的边数三者之间的关系是解题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，点在一次函数的图象上，则点所在的象限是（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】解： 点在一次函数的图像上， 将，代入函数解析式，得， 解得， 将 代入点，可得点的横坐标为， 点的纵坐标为， 第四象限内点的横、纵坐标符号为， 点在第四象限． 9. 2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，属于握手问题，解题思路是先确定每人的握手次数，再去掉重复计算的部分，根据总握手次数列出方程． 【详解】解：∵设有 人参加聚会， ∴每个人需要和除自身外的人握手， 又∵每两人之间仅握手1次，上述计算中每一次握手被重复计算了1次， ∴总握手次数为，结合题意总握手次数为次， 可得方程．故选C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，反比例函数的图象经过点A和点B，且点B为 的中点．则的面积为（ ） A. l B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，得到，推出，根据，得到，据此计算即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， ， ， ， ， 的边在y轴上，点B为 的中点， ， ， ∵反比例函数的图象经过点A和点B， ， ， ， ， ． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的因式分解，解题的关键是识别多项式符合完全平方公式的形式，直接利用公式分解． 观察多项式，其符合完全平方公式的形式，其中，，直接代入公式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 不等式组的解集是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 所以不等式组的解集为． 13. 早上8点30分，时针与分针的夹角为_____． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题根据钟表刻度的角度特征，确定8点30分时针与分针的位置，再计算两者的夹角即可． 【详解】钟表一周为，被平均分为个大格，因此每个大格的度数为， 8点30分时，分针指向数字，时针指向数字与的正中间，此时时针与分针间隔个大格， 因此夹角为． 14. 平行四边形的两边长分别是和，周长为，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵平行四边形的两边长分别为和，周长为， ∴，即， ∴． 15. 在矩形 中，E，F，D是 上的三点， 且 ，若点H在 的中点，点P在以点H为圆心、1为半径的圆上运动，且始终满足 ，则m的最小值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线定理得 ，要m最小只需 最小，点 既在以为圆心、 为直径的圆上，又在 上， 到 距离为，求得 最小值为 ，故 最小值为． 【详解】解： ，取 的中点为点D， ∴当 取得最小值时， 的长度取得最小值， 四边形 为矩形，，点 是 的中点， 圆心 到直线 的距离为 又∵由题意可知，点P在以H为圆心、半径长为1的 上， 线段 ，其中 为定值；当H、P、D三点共线，且时， 长度最小，此时取得最小值。 ∴过点H作AB的垂线，交 于点P，交于点D，此时最短，最短． 此时， ， ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 17. 大家元摩天轮建在屋顶，建筑面积约1万，高101米，共48只轿厢，可同时容纳384人，现今是全国第二大摩天轮，也是国内最大的屋顶摩天轮，坐落在石角镇美林湖社区湖岸西路，距广清纺织园仅几分钟车程，作为清远的地标建筑之一，这里也是很多旅客的打卡圣地．如图1，是夜幕下的摩天轮，灯光璀璨，绽放异彩，图2是其示意图，虚线部分被屋顶遮住了． （1）在图2中画出摩天轮的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若已知摩天轮的半径为，拱门下端为．求扇形的面积． 【答案】（1）如图，点O即为所求 （2） 【解析】 【分析】（1）在圆弧上任取一点 ，作 和的垂直平分线，交点即可为圆心O； （2）证明为等边三角形，再利用扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接及， ， ， 为等边三角形， ， ． 18. 2024年4月25日20时59分搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射“80后”乘组航天员叶光富、李聪、李广苏开启了为期半年的太空之旅．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达P点时，从位于地面A处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达Q处，此时测得仰角为 ． （1）求点P离地面的高度； （2）求飞船从P处到Q处的平均速度． （结果精确到，参考数据：） 【答案】（1） （2）飞船从P处到Q处的平均速度为 【解析】 【分析】 （1）直接利用锐角的正弦求解的长即可； （2）先求解，，可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解： ， 为直角三角形， ， ． 【小问2详解】 解：∵在中，， ， ， 为直角三角形， ， ， ， ∵后飞船从P到达Q处， ∴飞船从P处到Q处的平均速度． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为了推进乡村振兴的实施，清远市进行“五大百亿农产品”展销，重点展销有：清远鸡、清远丝苗米、英德红茶、西牛麻竹笋、连州菜心，五个特色农副产品，是清远对外宣传推广的重要窗口．为了解市民对五个特色农产品的喜欢程度，随机抽取了部分市民进行调查，将调查结果绘制成如下不完整的统计图表： 抽样调查各类喜欢程度人数统计表 喜欢程度 人数 A．非常喜欢 m人 B．比较喜欢 n人 C．无所谓 40人 D．不喜欢 16人 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中表示B程度的扇形圆心角为 ． （2）根据抽样调查结果，请你估计该地区5000名市民中大约有多少名市民喜欢五个特色农产品（包括非常喜欢和比较喜欢）． （3）请用画树状图或列表的方法，求甲和乙两位市民选择同一农产品的概率． 【答案】（1）200， （2）估计该地区5000名市民中大约有3600名市民喜欢五个特色农产品 （3） 【解析】 【分析】（1）根据选择C选项的共40人，占总调查人数的，可以计算出参与调查的总人数，再算出选择D选项所占的百分比，从而算出选择B选项所占的百分比为，最后用求出扇形统计图中表示B选项的扇形圆心角度数； （2）先算出喜欢五个特色农产品（包括非常喜欢和比较喜欢）所占百分比为，再用样本估计总体，即（名），估计该地区5000名市民中大约有3600名市民喜欢五个特色农产品； （3）根据画树状图或列表的方法，罗列出所有等可能的结果，找出符合题意的等可能的结果，从而求出概率． 【小问1详解】 解：∵， ∴本次调查的样本容量是200． ∵， ∴选择D选项的人数占总调查人数的， ∴， ∴选择B选项的人数占总调查人数的， ∵ ∴扇形统计图中表示B选项的扇形圆心角为． 【小问2详解】 解：∵选择B选项的人数占总调查人数的，选择A选项的人数占总调查人数的， ∴喜欢五个特色农产品（包括非常喜欢和比较喜欢）所占百分比：， （名）， 答：估计该地区5000名市民中大约有3600名市民喜欢五个特色农产品． 【小问3详解】 解：把清远鸡、清远丝苗米、英德红茶、西牛麻竹笋、连州菜心五个特色农副产品分别记为：a，b，c，d，e，根据题意，列表如下： 甲 乙 a b c d e a （a，a） （a，b） （a，c） （a，d） （a，e） b （b，a） （b，b） （b，c） （b，d） （b，e） c （c，a） （c，b） （c，c） （c，d） （c，e） d （d，a） （d，b） （d，c） （d，d） （d，e） e （e，a） （e，b） （e，c） （e，d） （e，e） 其中总共有25种等可能的结果，甲和乙两位市民选择同一农产品的结果有5种， 分别为：、、、、． 所以，甲和乙两位市民选择同一农产品的概率为：． 20. 为了备战中考体育考试，学校决定为参加体育特训的学生提供营养补给，给学生准备了特仑苏有机纯牛奶和燕塘原味酸奶两种饮品作为训练后的补充．两种饮品每盒容量均为，其营养成分如下： （1）若中考前轩轩需要摄入热量和蛋白质，请问他应选用特仑苏有机纯牛奶和燕塘原味酸奶各多少盒以满足需求? （2）考虑到中考体育训练强度大，学校希望为学生提供足够的蛋白质同时尽量控制总热量．若每月选用特仑苏有机纯牛奶和燕塘原味酸奶共30盒，要使蛋白质含量不低于，且热量最低，那么学生应该如何选择这两种饮品的数量? 【答案】（1）轩轩应选用特仑苏有机纯牛奶6盒，燕塘原味酸奶4盒 （2）为了使每月的蛋白质含量不低于90g且热量最低，应选用特仑苏有机纯牛奶2盒，燕塘原味酸奶28盒 【解析】 【分析】（1）设轩轩应选用特仑苏有机纯牛奶x盒，燕塘原味酸奶y盒．根据等量关系：“摄入热量和蛋白质”，列出二元一次方程组并求解即可； （2）设选用特仑苏有机纯牛奶a盒，则燕塘原味酸奶盒．根据不等关系：蛋白质含量不低于，列出不等式，求得a的取值范围，设总热量为W千焦，根据热量最低即可求解． 【小问1详解】 解：设轩轩应选用特仑苏有机纯牛奶x盒，燕塘原味酸奶y盒． 由题意知，热量与蛋白质含量是每的含量， 则1瓶有机纯牛奶或燕塘原味酸奶中含有个， 则得，， 整理得，， 解得， 答：轩轩应选用特仑苏有机纯牛奶6盒，燕塘原味酸奶4盒． 【小问2详解】 解：设选用特仑苏有机纯牛奶a盒，则燕塘原味酸奶盒． 根据蛋白质含量不低于可得：， 解得：， 由于a为整数，所以 ， 设总热量为W千焦，则， 因为 ，所以W随a的增大而增大． 要使热量最低，则a应取最小整数为2，故 ， 答：为了使每月的蛋白质含量不低于且热量最低，应选用特仑苏有机纯牛奶2盒，燕塘原味酸奶28盒． 21. 综合与实践 【主题】探索家用脚踏式翻盖垃圾桶的神奇构造 【素材】为了隔绝异味，拒绝细菌传播，脚踏式翻盖垃圾桶成为许多家庭和公共场合的常见物品，它方便我们在不用手接触的情况下打开垃圾桶，更加卫生、便捷．图1所示是家用脚踏式翻盖垃圾桶在地面上水平放置的侧面实物图，它主要由桶体、桶盖、杠杆和脚踏部分组成，桶盖为圆形，在打开桶盖的过程中，桶盖可以绕点O逆时针方向旋转，桶身为圆柱体． 在数学活动课上，班级各兴趣小组为了探究家用脚踏式翻盖垃圾桶的神奇构造，绘制了如2图所示的简化示意图．连接杆 与圆管垂直，与地面平行，支点P固定在垃圾桶底部的某一位置，圆珠B始终在一根固定的圆管内上下滑动，通过脚向下踩踏点A到，圆珠B上升到点， 绕支点P转动，转动过程中始终保持 ，与此同时传动杆向上运动，由点H上升到点，从而使桶盖打开． 【实践操作】 步骤1：仔细观察脚踏式翻盖垃圾桶的整体结构； 步骤2：反复操作脚踏板，观察桶盖的运动过程； 步骤3：测量垃圾桶的相关数据：脚踏板到支点的距离 厘米，支点到桶盖连接点的距离 厘米，厘米， 厘米，当脚踩踏板时垃圾桶盖打开最大张角； 步骤4：根据观察到的现象和测量得到的数据，利用数学知识进行分析和计算． 【实践探索】 （1）请用数学知识说明直径为的7号篮球能扔进垃圾桶吗? （参考数据：） （2）若脚踏板下压的垂直距离为时，求桶盖边缘点M掀起的高度是多少? 【答案】（1）直径为24.6cm的7号篮球不能扔进垃圾桶 （2）桶盖边缘点M掀起的高度是厘米 【解析】 【分析】（1）过点 作于点 ，在中利用 求出，即桶盖打开后最大间隙高度，与篮球直径 比较即可判断． （2） 踏板下压 后，过作 于 ，过点 作 于点Q，利用求出 点上升量，再由，在中用勾股定理求，最后利用的比例关系求出点掀起高度． 【小问1详解】 解：如图（1），过点M作于点Q，则 当脚踩踏板垃圾桶盖打开最大张角时， 在中， ∵7号篮球的直径为24.6cm 且 ∴直径为24.6cm的7号篮球不能扔进垃圾桶 【小问2详解】 解：如图（2），过点作 于点C，过点 作 于点Q， 则 ∴ ∵点A的对应点是 厘米， 在中， 厘米， 厘米， 厘米 解得：， ∵当圆珠B上升到点时，点H上升到点 过点作 于点N，则 在中， 厘米，厘米 ， 厘米 答：桶盖边缘点M掀起的高度是厘米． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【知识技能】 已知四边形 的外接圆圆心为点，， （1）如图1，求证 【数学理解】 （2）如图2，四边形 的外角平分线交 于点，连接并延长，交的延长线于点，求证：； 【拓展探索】 （3）如图3，在（2）的条件下，连接，，若 是 的直径，，，探索与的关系并给予证明，求出的长． 【答案】（1）证明：如图，以为圆心，为半径作圆，点 、、 、均在圆上，连接． ∵四边形 内接于圆， ， ， ， ∴， ． （2）证明：如图，连接，， 由（1）得， ， ∵四边形内接于圆， ， ， ， ∵平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ， ． （3）解：且，，证明如下： 如图，连接 ，，延长交于点，连接，， ∵ 是直径， ， ∵ ，是圆的半径， ， ∴点在的中垂线上， 由（1）可知， ∴点在的中垂线上， ∴垂直平分， ，， 在中，，， ， 设，则， 在中，，， ， 解得， ， ∵ 为圆的直径， ，， ∵平分， ， ， ， ， 在中，，， ， ∴的长为． 【解析】 【分析】（1）利用圆内接四边形对角互补，结合已知补角推出，转化为等弧，得等弦； （2）先证得，推出，再用圆心角是圆周角倍，代换得到； （3）由直径得，推出垂直平分，用勾股定理求出圆直径，由角平分线推出，进而判定等腰直角，得，结合算出长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 【问题背景】 如图1，抛物线与坐标轴交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，若点D为抛物线上的动点，点D的坐标为． 【构建联系】 （1）求证：抛物线必过． （2）连接，将直线绕着点C旋转，与抛物线相交于点H，求H点坐标． 【深入研究】 （3）如图2，M是抛物线上的顶点，四边形为正方形，若F是上一动点，求的最小值． 【答案】（1）证明： 过点，， ，解得， ， 在上， ， 当时，， 二次函数经过点； （2）或 （3）最小值为 【解析】 【分析】（1）用待定系数法，求出解析式，把点代入求出，把点的横坐标代入，即可求证； （2）设，过点H作，求出点 的坐标，从而可得为等腰直角三角形，，再根据旋转的方向分类讨论，分别求出，利用锐角三角函数和点在抛物线上，求出m，n的关系，联立方程，求解即可； （3）过点M作轴，过点N作，过点F作轴，先求出顶点，再根据正方形的性质和“”，得，从而可得，再利用的三角函数，易得，进而可得，则当N，F，三点一线时，即最小，即点N到x轴的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，，解得：，，则， ，， ， ， 为等腰直角三角形，， 设，则， 当逆时针旋转时，， ， 如图，过点H作， 在中，，即， ， ，解得（舍去），， 当时，， H为； 当顺时针旋转时，， ， 如图，过点H作， 在中，，即， ， ，解得（舍去），， 当，， H为， 综上所述：点H的坐标为或； 【小问3详解】 解： ， 顶点， 如图，过点M作轴，过点N作，过点F作轴， 四边形为正方形， ， ， ，， ， ， ，， ，， ，， ， ， 在中，， ， ， 当N，F，三点一线时，即最小， 此时最小值为N点到x轴的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中学业水平考试模拟考试 数学 本试卷共7页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下各数中，最小的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 2024年巴黎奥运会中国代表团共获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，金牌数与美国队并列排名第一，历届奥运会会徽也以其独特的设计吸引观众的注意，以下奥运会会徽属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国超级市场规模增速超过全球，预计到2025年将达到46600000000元，这表明，中国在超级计算机领域不仅取得了技术上的突破，还在全球范围内展现了强大的竞争力和影响力，46600000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 某社区的5名孩子在“艺术百花——少儿艺术花会”比赛中，成绩（单位：分）分别是88、95、92、88、90，这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 97、88 B. 90、90 C. 95、88 D. 88、90 7. 一个正多边形每个外角都是30°，则这个多边形边数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 在平面直角坐标系中，点在一次函数的图象上，则点所在的象限是（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，反比例函数的图象经过点A和点B，且点B为的中点．则的面积为（ ） A. l B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：______． 12. 不等式组的解集是__________． 13. 早上8点30分，时针与分针的夹角为_____． 14. 平行四边形的两边长分别是和，周长为，则______． 15. 在矩形 中，E，F，D是 上的三点， 且 ，若点H在 的中点，点P在以点H为圆心、1为半径的圆上运动，且始终满足 ，则m的最小值是______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 17. 大家元摩天轮建在屋顶，建筑面积约1万，高101米，共48只轿厢，可同时容纳384人，现今是全国第二大摩天轮，也是国内最大的屋顶摩天轮，坐落在石角镇美林湖社区湖岸西路，距广清纺织园仅几分钟车程，作为清远的地标建筑之一，这里也是很多旅客的打卡圣地．如图1，是夜幕下的摩天轮，灯光璀璨，绽放异彩，图2是其示意图，虚线部分被屋顶遮住了． （1）在图2中画出摩天轮的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若已知摩天轮的半径为，拱门下端 为．求扇形的面积． 18. 2024年4月25日20时59分搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射“80后”乘组航天员叶光富、李聪、李广苏开启了为期半年的太空之旅．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达P点时，从位于地面A处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达Q处，此时测得仰角为 ． （1）求点P离地面的高度； （2）求飞船从P处到Q处的平均速度． （结果精确到，参考数据：） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为了推进乡村振兴的实施，清远市进行“五大百亿农产品”展销，重点展销有：清远鸡、清远丝苗米、英德红茶、西牛麻竹笋、连州菜心，五个特色农副产品，是清远对外宣传推广的重要窗口．为了解市民对五个特色农产品的喜欢程度，随机抽取了部分市民进行调查，将调查结果绘制成如下不完整的统计图表： 抽样调查各类喜欢程度人数统计表 喜欢程度 人数 A．非常喜欢 m人 B．比较喜欢 n人 C．无所谓 40人 D．不喜欢 16人 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中表示B程度的扇形圆心角为 ． （2）根据抽样调查结果，请你估计该地区5000名市民中大约有多少名市民喜欢五个特色农产品（包括非常喜欢和比较喜欢）． （3）请用画树状图或列表的方法，求甲和乙两位市民选择同一农产品的概率． 20. 为了备战中考体育考试，学校决定为参加体育特训的学生提供营养补给，给学生准备了特仑苏有机纯牛奶和燕塘原味酸奶两种饮品作为训练后的补充．两种饮品每盒容量均为，其营养成分如下： （1）若中考前轩轩需要摄入热量和蛋白质，请问他应选用特仑苏有机纯牛奶和燕塘原味酸奶各多少盒以满足需求? （2）考虑到中考体育训练强度大，学校希望为学生提供足够的蛋白质同时尽量控制总热量．若每月选用特仑苏有机纯牛奶和燕塘原味酸奶共30盒，要使蛋白质含量不低于，且热量最低，那么学生应该如何选择这两种饮品的数量? 21. 综合与实践 【主题】探索家用脚踏式翻盖垃圾桶的神奇构造 【素材】为了隔绝异味，拒绝细菌传播，脚踏式翻盖垃圾桶成为许多家庭和公共场合的常见物品，它方便我们在不用手接触的情况下打开垃圾桶，更加卫生、便捷．图1所示是家用脚踏式翻盖垃圾桶在地面上水平放置的侧面实物图，它主要由桶体、桶盖、杠杆和脚踏部分组成，桶盖为圆形，在打开桶盖的过程中，桶盖可以绕点O逆时针方向旋转，桶身为圆柱体． 在数学活动课上，班级各兴趣小组为了探究家用脚踏式翻盖垃圾桶的神奇构造，绘制了如2图所示的简化示意图．连接杆与圆管垂直，与地面平行，支点P固定在垃圾桶底部的某一位置，圆珠B始终在一根固定的圆管内上下滑动，通过脚向下踩踏点A到，圆珠B上升到点，绕支点P转动，转动过程中始终保持 ，与此同时传动杆向上运动，由点H上升到点，从而使桶盖打开． 【实践操作】 步骤1：仔细观察脚踏式翻盖垃圾桶的整体结构； 步骤2：反复操作脚踏板，观察桶盖的运动过程； 步骤3：测量垃圾桶的相关数据：脚踏板到支点的距离 厘米，支点到桶盖连接点的距离 厘米，厘米， 厘米，当脚踩踏板时垃圾桶盖打开最大张角； 步骤4：根据观察到的现象和测量得到的数据，利用数学知识进行分析和计算． 【实践探索】 （1）请用数学知识说明直径为的7号篮球能扔进垃圾桶吗? （参考数据：） （2）若脚踏板下压的垂直距离为时，求桶盖边缘点M掀起的高度是多少? 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【知识技能】 已知四边形的外接圆圆心为点，， （1）如图1，求证 【数学理解】 （2）如图2，四边形的外角平分线交于点 ，连接并延长，交 的延长线于点，求证：； 【拓展探索】 （3）如图3，在（2）的条件下，连接 ， ，若是的直径，，，探索 与的关系并给予证明，求出 的长． 23. 【问题背景】 如图1，抛物线与坐标轴交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，若点D为抛物线上的动点，点D的坐标为． 【构建联系】 （1）求证：抛物线必过． （2）连接 ，将直线 绕着点C旋转，与抛物线相交于点H，求H点坐标． 【深入研究】 （3）如图2，M是抛物线上的顶点，四边形为正方形，若F是 上一动点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $