19.2 实数 一课一练 2026～2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

**基本信息** 初中八年级沪教版五四制数学上学期19.2实数同步练，以“基础巩固-能力提升-拓展探究”分层设计，通过概念辨析、运算应用及综合探究，培养抽象能力、运算能力与推理意识，构建实数知识从单一到综合的巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|无理数识别、实数分类、基本性质|选择填空为主，如无理数判断、整数负数分类，夯实概念理解| |提升层|估算、相反数、绝对值、数轴表示|结合数轴比较大小、绝对值化简，渗透数形结合思想| |拓展层|新定义运算、实际问题、规律探究|如数值转换器、差倒数循环、图形面积计算，培养创新意识与应用能力|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 沪教版五四制新教材2026~2027学年八年级数学上学期 · 19.2实数一课一练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 无理数 1．下列是无理数的是（     ） A． B． C．3.14 D． 【答案】A 【来源】2026年山西长治市壶关县部分学校中考考前模拟数学试卷 【知识点】无理数 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数， ∴ 是整数，属于有理数，是有限小数，可化为分数，属于有理数，是分数，属于有理数， 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 2．估计的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【来源】2026学年天津市部分区九年级第二次模拟考试-数学 【知识点】无理数的大小估算 【分析】先估算的取值范围，再推导的范围即可得到结果 【详解】解：，，，且， ∴，即， 则， 的值在4和5之间 3．下列关于判断正确的是（    ） A．表示5的平方根 B．不可以用数轴上的点来表示 C．是一个比大的数 D．是一个无理数 【答案】D 【来源】四川省德阳市旌阳区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数、实数与数轴、实数的大小比较 【分析】本题考查算术平方根、无理数的定义及实数与数轴的关系．根据实数、无理数的定义和算术平方根的定义进行判断即可． 【详解】解：A：表示5的算术平方根，而非所有平方根．5的平方根为，故A错误． B：实数与数轴上的点一一对应，是实数，可用数轴上的点表示，故B错误． C：，而，则，故C错误． D：无法表示为两个整数之比，且是无限不循环小数，属于无理数，故D正确． 故选：D． 4．在，，，，，，（每两个2之间依次多1个0），中无理数有______个． 【答案】 【来源】湖北省黄石市第十六中学2024-2025学年下学期3月月考七年级数学试卷 【知识点】无理数 【分析】此题主要考查了算术平方根，立方根，无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据无理数、有理数的定义即可判定． 【详解】解：，是分数，是整数，它们是有理数； 无理数有，，，，（每两个2之间依次多1个0），共5个， 故答案为：． 实数感念 5．把下列各数填入相应的括号内（请填序号）． ①，②0，③，④，⑤，⑥． 整数：_______； 负数：_______； 无理数：______． 【答案】②⑤；①③；④⑥ 【来源】浙江省嘉兴市海盐县2025-2026学年七年级上学期期中数学卷 【知识点】无理数、实数的分类 【分析】本题考查了实数的概念，有理数和无理数的概念，解题的关键在于掌握相关的概念． 根据实数的概念，有理数和无理数的概念判断即可． 【详解】解：， 整数：②⑤； 负数：①③； 无理数：④⑥． 故答案为：②⑤；①③；④⑥ 6．下列命题中是真命题的是（   ） A．是个分数 B．实数分为正实数和负实数 C．若，则 D．实数由有理数和无理数组成 【答案】D 【来源】黑龙江省绥化市绥棱县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题 【知识点】判断命题真假、实数的分类、实数的性质 【分析】本题考查实数的分类及实数的性质，正确掌握实数的分类是解题关键．根据实数的分类，实数的性质进行逐项分析即可． 【详解】解：A、 是个无理数，该选项是假命题 B、实数分为正实数，零和负实数，该选项是假命题； C、若，则，该选项是假命题； D、实数由有理数和无理数组成，该选项是真命题；． 故选：D． 7．把下列各数的序号填入相应的括号内. ①10，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨1.3，⑩1.8080080008…（相邻两个8之间依次多一个0） 整数集合_________________________ 负分数集合_________________________ 正有理数集合_________________________ 无理数集合_________________________ 【答案】 ①⑥⑧ ③④ ①⑦⑨ ②⑤⑩ 【来源】北师大八年级上第二章 A 学习区 6 实数 【知识点】实数的分类、有理数的分类、有理数的定义 【分析】根据实数的概念，有理数和无理数的概念判断即可． 【详解】=-1.1， 整数集合 ①⑥⑧， 负分数集合③④， 正有理数集合 ①⑦⑨， 无理数集合②⑤⑩， 故答案为①⑥⑧，③④，①⑦⑨，②⑤⑩． 【点睛】此题考查实数的概念，有理数和无理数的概念，解题关键在于掌握各性质定义. 8．下列说法正确的有________． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥/⑥① 【来源】专题10.3 实数（举一反三讲义）数学华东师大版2024八年级上册 【知识点】相反数的定义、实数与数轴、实数的分类 【分析】本题考查的是实数的概念，实数与数轴，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 无理数估算 9．已知x是整数，且x的值满足，则符合条件的整数x的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【来源】 广东省广州市花都区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，首先估算和的近似值，确定整数的范围，再统计符合条件的整数个数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 符合条件的整数x为3，4，5，6，7，有5个， 故选：B． 10．数轴上有A、B、C、D四个点，根据图中各点的位置，判断哪一点表示的数与最接近（   ）    A．点D B．点C C．点B D．点A 【答案】C 【来源】安徽省合肥市第四十二中学2024-2025学年七年级下学期期中数学绿色评价试卷 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，先整理，得，，则，然后观察数轴，得，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴ ∵， 则， ∴， 观察数轴，得， ∴点B表示的数与最接近， 故选：C 11．估计的值应在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【来源】重庆市永川区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的大小估算，根据无理数的大小估算方法即可求解，掌握无理数的大小估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 12．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分． 例如：，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为是 ，小数部分为 ，的值为 ． (2)已知的立方根为，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)4；；8 (2) 【来源】云南省昆明市云南民大附中2024-2025学年七年级下学期4月期中联考数学试题 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查无理数的估算，代数式求值，算术平方根、平方根和立方根的定义．掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）结合阅读材料可求出m和n的值，再代入求值即可； （2）根据算术平方根和立方根的定义可求出a和b的值，再结合阅读材料可求出c的值，从而可求出的值，最后计算其平方根即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为是4，小数部分为， ∴． （2）解：∵的立方根为， ∴， ∴． ∵的算术平方根是5， ∴， ∴， ∵，即， 又∵是的整数部分， ∴， ∴， ∴的平方根为． 实数的性质 13．（1）分别写出，的相反数； （2）指出，分别是什么数的相反数； （3）求的绝对值； （4）已知一个数的绝对值是，求这个数． 【答案】（1），；（2），；（3）4；（4）或 【来源】【人教版课时练习】七年级下册数学第六章实数6.3 实数 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的绝对值、绝对值的几何意义、相反数的定义 【分析】根据相反数的定义，求一个数的立方根，绝对值的意义分别求解即可． 【详解】（1）因为，， 所以，，的相反数分别为，． （2）因为，， 所以，，分别是，的相反数． （3）因为， 所以． （4）因为，， 所以绝对值为的数是或． 【点睛】本题考查了实数的性质，求一个数的立方根，绝对值的意义，求一个数的相反数，掌握以上知识是解题的关键． 14．若互为相反数，互为倒数，的绝对值为，则______． 【答案】7 【来源】山西省大同市新荣区两校联考2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题 【知识点】相反数的定义、倒数、实数的性质、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，绝对值的性质，掌握以上知识的计算是关键． 根据题意，，由此即可求解． 【详解】解：互为相反数，互为倒数，的绝对值为， ∴， ∴当时， ； 当时， ； 故答案为：． 15．的相反数是______，的绝对值是______． 【答案】 【来源】天津市实验中学滨海学校2025-2026学年七年级下学期期中考试数学试题 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、实数的性质 【详解】解：的相反数为. ， ，则 ． 16．_____． 【答案】 【来源】黑龙江省绥化市海伦市第十中学2025-2026学年七年级上学期10月月考数学试题 【知识点】实数的性质、实数的混合运算 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键，根据绝对值的定义化简即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 实数与数轴 17．如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 【答案】B 【来源】海南省省直辖县级行政单位琼海市嘉积中学2024-2025学年七年级下学期5月期中数学试题 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的性质、实数与数轴 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质和绝对值的性质． 先根据数轴推出，进而得到，据此可得，化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，， ． 故答案为：B． 18．如图，面积为6的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为2．以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点E（点E在点A的左侧），则点E所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省大连市金普新区2024-2025年七年级下学期期中数学试题 【知识点】数轴上两点之间的距离、求一个数的算术平方根、实数与数轴 【分析】本题主要考查了正方形的面积，实数与数轴，熟记正方形的面积公式是解题的关键． 根据正方形的面积求出的长，再根据作法可得，从而得出结果． 【详解】解：∵正方形的面积为6， ∴， ∵以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点E（点E在点A的左侧）， ∴， ∵点A表示的数是2， ∴点E所表示的数为， 故选：D． 19．如图，、在数轴上表示的数分别是2、，是关于的对称点，则点表示的数（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】重庆市求精中学2025-2026学年下学期七年级半期考试数学试题 【知识点】实数与数轴、数轴上两点之间的距离 【分析】根据数轴上两点间的距离公式求出的长，再根据对称性得出，最后利用点在点的左侧求出点表示的数，即可求解． 【详解】解：点、表示的数分别是、 点是点关于点的对称点 点是线段的中点，即 点在点的左侧 点表示的数为． 20．如图，已知点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为______； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)的算术平方根是3． 【来源】河南省周口市扶沟县崔桥镇2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、实数与数轴、绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）根据A点表示的数及平移的方向与距离，列出算式求出B点表示的数； （2）先根据绝对值、算术平方根的非负性，求出c、d，再代入，求出的算术平方根． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B， ∴点B表示的数为， 故答案为：； （2）解：∵与互为相反数， ∴，， ∴，， ∴的算术平方根是， 即的算术平方根是3． 【点睛】本题考查了绝对值非负性，求一个数的算术平方根，利用算术平方根的非负性解题，实数与数轴，已知字母的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 实数的大小 21．比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】专题06 实数（十大类型）（题型专练）-2023-2024学年八年级数学上册《知识解读�题型专练》（北师大版） 【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较 【分析】根据无理数的估算方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴，即，原式错误，符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴，即，正确，不符合题意； D、∵，，且， ∴，正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法以及无理数的估算是解题的关键． 22．将下列各数表示在数轴上，并将它们按从小到大的顺序用“<”连接． ；；；0； 【答案】数轴见解析， 【来源】浙江省杭州市钱江外国语实验学校2025-2026学年七年级上学期期中数学练习卷 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较、求一个数的绝对值、求一个数的立方根 【分析】本题考查了实数的大小比较，绝对值，算术平方根，立方根，实数与数轴，掌握实数的大小比较方法，立方根的定义，绝对值的定义，算术平方根的定义是解题的关键． 先利用绝对值的定义，立方根的定义进行计算，然后把各数在数轴上表示出来，最后用“<”把各数连接起来即可． 【详解】解：，， 把各数在数轴上表示为： 按从小到大的顺序用“<”连接为： 23．比较大小：______． 【答案】 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【知识点】实数的大小比较、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了实数的大小比较，常通过比较它们的平方（或立方）的大小来比较或都化成带根号的数比较被开方数的大小． 此题分别估算出取值范围即可比较大小． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为： 24．当时，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】【新东方】初中数学1286-初一上 【知识点】实数的大小比较 【分析】根据除法、乘方和开方的法则分别判断，从而比较大小． 【详解】解：∵， ∴＞1， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，比较简单，解题的关键是掌握乘方和开方的运算法则． 实数混合运算 25．计算：. 【答案】 【来源】湖北省襄阳市襄州区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【知识点】零指数幂、实数的混合运算、求一个数的算术平方根、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，首先根据绝对值的定义、指数幂的法则、算术平方根的定义把算式中各部分分别计算出来，再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 26．计算：______． 【答案】 【来源】山东省滨州市博兴县2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题 【知识点】实数的混合运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算乘方，化简绝对值，二次根式，再算加减即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 27．已知实数，满足关系式，求的立方根______． 【答案】3 【来源】山东省青岛莱西市（五四制）2023-2024学年七年级上学期期末考试数学试题 【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】本题考查非负性，求一个数的立方根，根据非负性求出的值，再根据立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为：3． 28．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的实数分别是a、b、c，若原点在第③部分，则下列结论：（1），（2），（3）（4），其中，正确的是（    ） A．（1）和（2） B．（3）和（4） C．（2）和（3） D．（1）和（4） 【答案】C 【来源】2022年江苏省镇江市中考一模数学试题 【知识点】实数运算的实际应用、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】由点A、B、C在数轴上点的位置判断a、b、c的符号，按照运算法则进行判断即可 【详解】解：若原点在第③部分，则a＜0，b＜0，c＞0，a＜b＜0＜c， （1）∵a＜0，b＜0， ∴ 故（1）错误； （2）∵a＜0，b＜0， ∴ 故（2）正确； （3）∵a＜0，c＞0， ∴ 故（3）正确； （4）∵a＜b＜0， ∴ 故（4）错误； 故选：C 【点睛】此题考查了数轴、数轴上的点表示的数的规律、相关运算法则等知识，解决本题的关键是数形结合思想的灵活应用． 程序设计与实数运算 29．有一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的的值为36时，输出的______． (2)是否存在输入有效的的值后，始终输不出的值的情况？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由． (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你推算输入的数据可能是什么情况，并说明理由． (4)若输出的的值是，试判断输入的的值是否唯一．若不唯一，请写出满足题意的最小的2个不同的值． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)输入的数据可能是负数，理由见解析 (4)输入的值不唯一，最小的2个满足题意的值为2，4 【来源】河北保定市易县2025-2026学年下学期综合评估试卷七年级数学 【知识点】求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算、无理数 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0和1的算术平方根即可判断； （3）根据负数没有算术平方根即可解答； （4）找到使得输出值为的最小的两个数即可． 【详解】（1）解：当时，，是无理数， ∴输出的； （2）解：存在，当或时，始终输不出值， ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数， ∴始终输不出值； （3）解：输入的数据可能是负数，理由如下： ∵负数没有算术平方根， ∴屏幕显示“该操作无法运行”， ∴输入的数据可能是负数； （4）解：4的算术平方根是2，2的算术平方根是， 故输入的值不唯一，最小的2个满足题意的值为2，4． 30．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是_______________． 【答案】 【来源】2015-2016学年江苏省兴化顾庄学区三校八年级上学期期中数学试卷 【知识点】程序设计与实数运算、求一个数的算术平方根、无理数 【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可． 【详解】解：当输入是81时，取算术平方根是9，9是有理数； 再把9输入，9的算术平方根是3，3是有理数； 再把3输入，3的算术平方根是，是无理数， 所以输出是． 31．如图，某计算器有、、三个按键，以下是三个按键的功能．①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；②：将荧幕显示的数变成它的倒数；③：将荧幕显示的数变成它的平方，小宇输入一个数据后，按照以下不走操作，依次按照从第一步到第三步循环按键，若一开始输入的数据为10，则第2022步之后，显示的结果是（    ）． A．100 B．1 C．0.01 D．10 【答案】D 【来源】山东省济南市天桥区泺口实验学校2022年八年级上学期10月月考数学试题 【知识点】与实数运算相关的规律题、程序设计与实数运算 【分析】根据题意分别计算出第1、2、3、4、5、6步显示结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解可得答案． 【详解】解：由题意知第1步结果为， 第2步结果为， 第3步结果为， 第4步结果为， 第5步结果为， 第6步计算结果为10， …… ∴运算的结果以六个数为周期循环， ∵， ∴第2022步之后显示的结果为10． 故选：D． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，倒数的含义，求解一个数的算术平方根，解题的关键是根据计算结果得出数字的循环规律． 32．按如图所示的流程操作，当输入时，输出的值是______；当输出的值等于4时，输入的负数是______． 【答案】 8 【来源】浙江省温州市新素质教育联盟2025-2026学年七年级上学期期中数学试卷 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】本题考查了流程图与实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先判断正负，再根据流程图计算即可． 【详解】解：当输入时，， ， ； 当输出的值等于4时，， 输入的负数是， 故答案为：8，． 新定义下的实数运算 33．已知有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数依此类推，那么的值是__________． 【答案】/0.25 【来源】2024年内蒙古赤峰市松山区中考数学二模试题 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了数字类型规律探索，依次将数列列出来，并找到规律是解题关键．求出数列的前个数，从而得出这个数列以，，依次循环，用除以，再根据余数可求的值． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， …… ∴每三个一次循环， ∵， ∴， 故答案为：． 34．现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【来源】福建省泉州市惠安县第三教研联盟2020-2021学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】新定义下的实数运算、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算，，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解： ， 故选：B． 35．我们把叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（   ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】D 【来源】湖北省潜江市园林一中等校2024-2025学年七年级下学期3月联考数学试卷 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、新定义下的实数运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值、算术平方根的性质，结合已知条件求出的值是解题的关键．根据集合的互异性可得，，推出，得到，再根据解出的值即可解答． 【详解】解：由集合的互异性可得，， ，， 集合中的元素， ，即， 又， ， 和都为负数， ， 又， ， ， ． 故选：D． 36．用“※”表示一种新运算：对于任意正实数a、b，都有a※b=-a，例如2※3=-2，那么12※196=________． 【答案】2 【来源】安徽省淮南市潘集区2018-2019学年八年级下学期期中数学试题 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】根据新定义a※b=-a求4※（-3）的值． 【详解】∵a※b=-a， ∴12※196＝ 故答案是:2. 【点睛】考查了实数的运算，是一道新运算的题目，解决此题的关键是要看明白所给出的例题． 无理数整数部分的有关计算 37．若的整数部分为a，小数部分为b，求的值为______． 【答案】/ 【来源】广东惠州市惠台学校2025-2026学年第二学期期中综合素质训练 七年级数学试卷 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】先估算得到的整数部分和小数部分，再代入式子计算即可． 【详解】解：， ， ． ． 38．如图，将长为6、宽为3的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，求正方形的边长，并判断它最接近的整数． 【答案】，正方形的边长最接近的整数是4． 【来源】陕西省西安市高陵区第四中学2025-2026学年八年级上学期第三次月考数学试卷 【知识点】算术平方根的实际应用、无理数的大小估算 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，无理数的大小估算． 由题意可得正方形的面积，从而可得正方形的边长，进行估算即可． 【详解】解：由题意可得正方形的面积为， ∴正方形的边长为． ∵，， ∴， ∴正方形的边长为，它最接近的整数是4． 39．若的整数部分为a，小数部分为b，则___________________． 【答案】 【来源】北京市第一零九中学2023-2024学年 七年级下学期期中数学试卷 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查无理数整数部分的有关计算，先求出，，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为4，小数部分为， ∴，， ∴． 故答案为：． 40．因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．例如是无理数，的小数部分我们不可能全部写出来，由于，所以的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用表示．由此我们得到一个真命题：如果，其中x是整数，且，那么，． 请解答下列问题： (1)如果，其中a是整数，且，那么_______，________； (2)如果，其中c是整数，且，那么______，______； (3)已知，其中m是整数，且，求的值． 【答案】(1)2， (2)， (3) 【来源】辽宁省铁岭市西丰县2024-2025学年七年级下学期5月期中数学试卷 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． （1）估算出，据此即可确定出a、b的值； （2）估算出，据此即可确定出c、d的值； （3）先估算出，确定、的值，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，其中a是整数，且， 又， ，， 故答案为：2，； （2）解：，其中c是整数，且， 又， ， ，， 故答案为：，； （3）解：， ， ，其中m是整数，且， ，， ， 的值为． 实数运算的实际应用 41．如图，用两个边长为cm的小正方形拼成一个大的正方形． (1)求大正方形的边长： (2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48？ 【答案】(1)大正方形的边长为8cm (2)沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48 【来源】辽宁省大连市高新园区名校联盟2021-2022学年七年级下学期 期中考试数学试题 【知识点】平方根的应用 【分析】（1）根据已知正方形的面积关系即可求出大正方形的边长； （2）先求出长方形的边长，再判断即可． 【详解】（1）解：大正方形的边长为acm，则， ∵， ∴． 答：大正方形的边长为8cm． （2）解：设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm，则， 解得， ∵， ∴， ，， ∵大正方形的边长为8cm，符合． 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48． 【点睛】本题考查了平方根的实际应用，能根据题意列出算式是解此题的关键． 42．《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 【答案】 【来源】陕西省渭南市蒲城县2025-2026学年八年级上学期期中数学试题 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】本题主要考查实数的应用，解题的关键是理解题意；由题意可知装裱后长方形的长为，宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：装裱后长方形的长为， ∴长方形的面积为； 故答案为． 43．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【来源】广东省深圳市深圳外国语学校 2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 44．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1用来记录孩子自出生后的天数由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．10 B．164 C．89 D．294 【答案】D 【来源】甘肃省武威市重点校2025-2026学年七年级上学期期中数学试卷 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用．理解题意，明确运算方式是解题的关键． 从右向左依次代表的数为4，，，，然后求和计算即可． 【详解】解：孩子自出生后的天数是： 故选：D． 与实数运算相关的规律题 45．观察下列等式，然后回答问题： 解答以下问题： (1) ； (2)请用含（为正整数）的代数式表示第个等式（不证明）； (3)利用上面的结论，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】四川省达州市渠县第二中学2024-2025学年八年级上学期9月月考数学测试题 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握题中的运算法则是解题的关键． （1）根据题中的运算方法求解即可； （2）分析所给式子的特点，找到规律即可求解； （3）先利用分母有理化化简各式，再进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由题意可得：， 第个等式为：； （3）解：， ， ， ， ． 46．我们规定一个新数“”，使其满足，并进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有 那么___________，___________． 【答案】 【来源】北京市延庆区2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试卷 【知识点】新定义下的实数运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了新定义下实数运算，数字变化规律， ①根据题中给出的运算法则将变形为，再代入计算即可； ②先找到规律，发现每四个数为一个周期，相加和为，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：①；②． 47．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点，处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为_______． 【答案】/ 【来源】江苏省南通市南通大学附属初级中学2024~2025学年七年级下学期第一次月考数学试卷 【知识点】与实数运算相关的规律题、实数与数轴 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，熟练运用实数的运算是解题的关键． 由题意可得，则表示的数为，表示的数为，则，然后依次表示，，即可找到规律求解． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得； ； ； ； ； ， 故答案为：． 48．对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对72进行如下操作： ，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行________次操作后变为2；如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为________． 【答案】 3 256 【来源】北京交大附中2019-2020学年七年级下学期4月月考数学试题 【知识点】整数问题的综合应用、新定义下的实数运算、无理数的大小估算 【分析】仿照题目已知的例题即可解答． 【详解】解：由题意得： 现在对36进行如下操作： 36{}＝6{}＝3{}＝2， ∴对36只需进行3次操作后变为2； 现在对256进行如下操作： 256{}＝16{}＝4{}＝2， 如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为：256； 故答案为：3，256． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，理解已知条件的规定：用{}表示不小于的最小整数，是解题的关键． 试卷第2页，共32页 试卷第1页，共32页 学科网（北京）股份有限公司 $苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 沪教版五四制新教材2026~2027学年八年级数学上学 期 19.2实数一课一练 学校： 姓名： 班级： 、 考号： 1.下列是无理数的是() A.-V2 B.-1 C.3.14 D +23 2.估计 的值在() A.3和4之间 B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间 3,下列关于5 判断正确的是() A v5 5 表示5的平方根 B 不可以用数轴上的点来表示 C V5 5是一个比大的数 D. 5 是一个无理数 9 4.在3.14,2， -100,0,3,0.2020020002…(每两个2之间依次多1个 0),0.15中无理数有 个 5.把下列各数填入相应的括号内（请填序号）· ①-2.1，②0，③7，④7，⑤-(-2)，⑧z 整数： 负数： 无理数： 6.下列命题中是真命题的是() 2 A.2是个分数 B.实数分为正实数和负实数 试卷第1页，共32页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 C.若a2=b2,则a=b D.实数由有理数和无理数组成 7.把下列各数的序号填入相应的括号内 11 ①10，②-π，③1.331，④-3.14，⑤2，⑥0，⑦3，⑧-1，⑨1.3， ⑩1.8080080008.…（相邻两个8之间依次多一个0） 整数集合 负分数集合 正有理数集合 无理数集合 8.下列说法正确的有」 ①实数不是有理数就是无理数；② 是有理数；③不带根号的数都是有理数；④“是有理 数：⑤数轴上任一点都对应一个有理数：⑧V 的相反数是V3 9已知x是整数，且的值满足V万<x<厅 则符合条件的整数x的个数为() A.4 B.5 C.6 D.7 2-23 10.数轴上有A、B、C、D四个点，根据图中各点的位置，判断哪一点表示的数与 最接近() A B A.点D B.点C C.点B D.点A 1.估计40-1。 值应在() A.5和6之间 B.4和5之间 C.3和4之间 D.2和3之间 2.大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数.因此2的小数部分我们不可能 1<V2<2 全部写出来，而 于是可用2-1 表示 的小数部分， 试卷第2页，共32页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 :V9<V10<163<V10<4 例如： ,即 0的整数部分为3，小数部分为0-列 请解答： a)v 少的整数部分为m是，小数部分”为，m-n+西 的值为_ ②尼如8-2的立方根为之，26-的算术平方根是5，C是8 的整数部分，求0+b-C的 平方根. 13。(4)分别写出6，-3.14 相反数： -V51-5 (2)指出 分别是什么数的相反数： -64 (3)求 的绝对值： 3 (4)已知一个数的绝对值是，求这个数. 14.若a,b互为相反数， c,d 互为倒数，无的绝对值为 ,则 2x2+(a+b-cd+1)x+3a+b+cd= 15.1-V2 3- 的相反数是 “的绝对值是 16 3.14-π+(+π)= 17.如图，实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，化简Va-b-a的结果是{） a 0b A.a B.b C.2a-b D.b-2a 18.如图，面积为6的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为2.以点A为圆心， AD长为半径画弧，交数轴于点E(点E在点A的左侧)，则点E所表示的数为() 试卷第3页，共32页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 A -3-2-1E01234→ B.-√6 C.2+6 D.2-6 19.如图，B、C在数精上表示的数分别是2、5.4是C关于5的对称点，则点4表示 的数() A B 0 2 5 A.-v5 B,2-V5 c.4-V5 D.5-2 20如图，己知点A表示的数为V万 ”，点A向右平移2个单位长度到达点B. -3-2-10123> (I)点B表示的数为一： (②四在数箱上还有C,D两点分别表示实数c和d,且有0-与2d+6互为相反数，求 3c+2d的算术平方根. 21,比较下列各组数的大小，错误的是() A,8<10 5-1<0.5 5+1>1.5 B.2 C.2 D.V50>7 22.将下列各数表示在数轴上，并将它们按从小到大的顺序用“<”连接. :2::0服 -101 试卷第4页，共32页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 思充光今装 4 13√20 8-3.5 -5-4-3-2-1012345 →按从小到大的顺序用 <连接为：-号<5<0<8<小3 26 23.比较大小： 1 24.当0<a<1时，。ava之间的大小关系是() A.a<a<va<I B.a<-<a<a a C.axa'<a<I D.a'<va<a'<I a 25.计算：（-2)x3+3+(π-1°-V25 26.计算：（)--2+8 27.已知实数a,b清足关系武a-2+b++v50-c=0,求c-的立方根 28.如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分， 点A、B、C对应的实数分别是a、b、c,若原点在第③部分，则下列结论：(1)ab<0, (2)a+b<0,(3)a-c<0(4)2a>2b,其中，正确的是() ① ② A C A.(1)和(2)B.(3)和(4) C.(2)和(3) D.(1)和(4) 29.有一个数值转换器，原理如图所示。 是无理数 输入x 取算术平方根 输出y 是有理数 (1)当输入的x的值为36时，输出的y= (2)是否存在输入有效的x的值后，始终输不出y的值的情况？如果存在，请写出所有满足 试卷第5页，共32页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 便危光令装 要求的x的值；如果不存在，请说明理由、 (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”·请你推算输入的 数据可能是什么情况，并说明理由. ④若输出的'的值是V5 ，试判断输入的的值是否唯一.若不唯一，请写出满足题意的最 小的2个不同x的值， 30.有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为81时，输出y的值是 是无理数 输入x 取算术平方根 输出y 是有理数 31.如图，某计算器有 1/x x2 个按键，以下是三个按键的功能.① 将荧幕显示的数变成它的算术平方根； 1/x 将荧幕显示的数变成它的倒 数： ③ 将荧幕显示的数变成它的平方，小宇输入一个数据后，按照以下不走操作， 依次按照从第一步到第三步循环按键，若一开始输入的数据为10，则第2022步之后，显 示的结果是()· 输入x 第一步 第二步 第三步 A.100 B.1 c.0.01 D.10 32.按如图所示的流程操作，当输入-29时，输出的值是 当输出的值等于4时， 输入的负数是 是 输入 大于0 +2 ×2 算术平方根 输出 +1 ←相反数 1 33.己知有理数a1,我们把1-a称为a的差倒数，如：2的差倒数是1-2-1，-1的差 试卷第6页，共32页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 11 倒数是1-(-1)2.如果a,=-3,4是4的差倒数，43是a的差倒数，a,是4的差倒数 依此类推，那么“的值是 34.现对实数a,b定义一种运算：※b=ab+a-b V16※-8 .则 等于() A.-6 B.-2 C.2 D.6 M={1,3,x 35.我们把 叫集合M,其中1,3，x叫做集合M的元素.集合中的元素具有确 定性（如x必然存在），互异性（如x≠1，x≠3），无序性（即改变元素的顺序，集合不 变)，若集合N=xl,3到，我们说M=N.已知集合4=0，，以，集合8={区，可习 若A=B,则x+y的值是() A.4 B.2 C.0 D.-2 36、用“※”表示一种新运算：对于任意正实数a、D,都有※-6 ,例如2※3=5 -2,那么12※196- 37. 1B的整数部分为a,小数部分为b,求+b的值为 38.如图，将长为6、宽为3的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，求 正方形的边长，并判断它最接近的整数. 的整数部分为4，小数部分为b,则+2b- 40.因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来.例如 2 1<√2<2 是无理数，的小数部分我们不可能全部写出来，由于 ，所以的整数 试卷第7页，共32页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里危光今笔 “黄去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此2的小数部分可用5-1】 √2 分是1，将 表示.由此我们得到一个真命题：如果 5=+y,其中x是整数，且0<y< 那么=1 y=V2-1 请解答下列问题： 0)如果7=a+6 其中a是整数，且0<b< ,那么a= b三 2如果v7=c+ ,其中c是整数，且0<d<1,那么c= d= 6记知2+万=m+”,其中m是整数，且0<n<1,求 m-川的值. 41.如图，用两个边长为 V3 cm的小正方形拼成一个大的正方形. (1)求大正方形的边长： (2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为 4:3,且面积为48cm2? 42.《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为 582cm,宽为 30v3c ”的长方形，现要装袜该画，装被后画的长培加了Sm,宽不变， 则装裱后整个长方形画卷的总面积为cm2. 试卷第8页，共32页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 43.如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要 一个图2这样的杯子.（单位：cm)(温馨提示： V=r2.h ) 2a 图1 图2 44.中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计 数”，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1用来记录孩子自出生 后的天数由图可知，孩子自出生后的天数是() A.10 B.164 C.89 D.294 45.观察下列等式，然后回答问题： 1 (2-1(2+ √2+1 V2+1 --1 ②。1 (3-2)5+2) 3+√2 √3+√2 -5-5 454- ③ @5+45-4 1 解答以下问题： 试卷第9页，共32页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 1 ()1+10-: (2)请用含n(n为正整数)的代数式表示第n个等式（不证明）： 1 1 1 1 3)利用上面的结论，求V2+15+V5+4+5+…+V2023+V202 十 (023+的 值. 46.我们规定一个新数“”，使其满足 =i,2=-1 ，并进一步规定：一切有理数可以与 新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有 =i,2=-1,=i2.i=-i,=i2.2=-1×(-1)=1,… 那么”= +2+i2+.+i2026+2027 4,如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把5表示在数轴上点，4处，记右 侧最近的整数点为，以点8为圆心，4 B B. 为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最 近的整数点为月，以点8为园心， A,B, 为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则 AB的长为 0 1 A1 B1 A2 B2 A3 48,对于实数卫，我们规定：用WD表示不小子VP的最小整数.例如：W④=2， {5}=2 现在对72进行如下操作： 722=9*{5}=3*小}=2，即对2只需进行3次操作后变 为2.类比上述操作：对36只需进行」 _次操作后变为2；如果只需进行3次操作后 试卷第10页，共32页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡笔 变为2的所有正整数中最大的数为 试卷第11页，共32页