19.2实数（第4课时实数的绝对值和大小比较）（题型专练）数学沪教版五四制2024八年级上册

19.2 实数（第4课时实数的绝对值和大小比较） 题型一、实数的绝对值、相反数、倒数 1．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 2．化简： ． 3．若有一个实数为，则它的相反数为（    ） A． B． C． D． 4．的相反数是 ；绝对值是 ． 5．的平方根是 ；的相反数是 ；的倒数是 ． 6．求下列各数的相反数与绝对值：． 7．求下列各数的相反数、倒数和绝对值． (1)； (2)； (3)． 8．已知与互为相反数，求的平方根． 9．若互为相反数，互为倒数，的绝对值为，则 ． 题型二、实数的大小比较 10．在“，，0，3”这组数中，最小的实数是（   ） A． B． C．0 D．3 11．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 12．比较两数的大小：4 （用“”或“”填空）． 13．比较大小： ． 14．把下列实数表示在如图所示的数轴上、并比较它们的大小（用“”连接）． 题型一、距离问题 15．如图，数轴上有三点，表示和的点分别为，点到点的距离与点到原点的距离相等．设三点表示的三个数之和p= ． 16．、为数轴上两点，点表示的数为1，点到点的距离是，则点表示的数为 ． 17．如图，在数轴上，两点对应的实数分别是和，点、点到点的距离相等，则点对应的实数是 ． 18．如图，在数轴上，以表示数1，2的点为顶点作边长为单位1的小正方形，以表示数1的点为圆心，小正方形的对角线为半径画圆，与数轴分别相交于点（点在右），则点到原点的距离为 ． 19．在数轴上，表示2的点和表示的点之间的距离是： ． 题型二、无理数整数部分的有关计算 20．若是的整数部分，则 ． 21．的小数部分是 ． 22．若的整数部分为，小数部分为，则的值为 ． 23．已知：、分别是的整数部分和小数部分，那么的值为 ． 24．已知的整数部分为，小数部分为，求． 1．[新考法·新运算]对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到： ①对进行“差绝对值运算”的结果是8； ②x，2，5的“差绝对值运算”的最小值是3； ③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种． 以上说法中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．在两个连续的整数和之间，则 ． 3．在数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数共有 个． 4．先化简再求值：，其中x，y满足． 5．[新趋势·归纳与探究]计算： （1），________，________，________，________． 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来． （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则________； ②________． 试卷第1页，共3页 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.2 实数（第4课时实数的绝对值和大小比较） 题型一、实数的绝对值、相反数、倒数 1．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的性质，根据绝对值的定义，负数的绝对值是其相反数求解即可． 【详解】解： 故选B． 2．化简： ． 【答案】/ 【详解】本题考查了无理数的估算，化简绝对值，掌握无理数的估算方法是解题关键．估算出，得到，再根据绝对值的性质化简，即可求解． 【分析】解：， ， ， ． 故答案为：． 3．若有一个实数为，则它的相反数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数的定义化简即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的相反数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了实数，相反数，掌握一个数a的相反数是是解题的关键． 4．的相反数是 ；绝对值是 ． 【答案】 【分析】根据相反数的定义和绝对值的性质解答即可． 【详解】解：的相反数是；绝对值是． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义和绝对值的性质，熟记概念与性质是解题的关键． 5．的平方根是 ；的相反数是 ；的倒数是 ． 【答案】 ±2； ； ． 【分析】先化简，再求其平方根；数值相同符号相反的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，据此作答即可． 【详解】∵，4的平方根为±2， ∴的平方根为±2； 的相反数是； 的倒数是． 故答案为：±2，，． 【点睛】本题考查了求一个数的平方根、相反数以及倒数的知识．掌握平方根、相反数以及倒数的定义是解题的关键． 6．求下列各数的相反数与绝对值：． 【答案】见解析 【分析】对于每个数，先根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是 ）求出其相反数；再依据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是 ）判断数的正负性，进而求出绝对值．分别对，，，，，这几个数进行分析计算．本题主要考查了实数的相反数和绝对值的求解，熟练掌握相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是 ）和绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是 ）是解题的关键． 【详解】解：相反数是只有符号不同的数，（时） 的相反数是，的绝对值是 相反数是只有符号不同的数，（时） 的相反数是，的绝对值是 相反数是只有符号不同的数，（时） 的相反数是，的绝对值是 ，所以；相反数是只有符号不同的数，（时） 的相反数是，的绝对值是 ，则，所以；相反数是只有符号不同的数，（时） 的相反数是，的绝对值是 的相反数是，的绝对值是 的相反数是，的绝对值是 7．求下列各数的相反数、倒数和绝对值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，， (2)，， (3)，， 【分析】（1）（2）直接利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出答案； （3）利用立方根的定义化简，再利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出答案． 本题考查了实数的相反数、倒数的定义和绝对值的非负性，解题关键在于掌握各性质和定义． 【详解】（1）的相反数是，倒数是，绝对值是； （2）的相反数是，倒数是，绝对值是； （3）的相反数是，倒数是，绝对值是． 8．已知与互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是立方根的含义，求解一个数的平方根，相反数的含义，先由相反数的定义可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 解得， ∴． ∵4的平方根是， ∴的平方根是． 9．若互为相反数，互为倒数，的绝对值为，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，绝对值的性质，掌握以上知识的计算是关键． 根据题意，，由此即可求解． 【详解】解：互为相反数，互为倒数，的绝对值为， ∴， ∴当时， ； 当时， ； 故答案为：． 题型二、实数的大小比较 10．在“，，0，3”这组数中，最小的实数是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正数大于，负数小于，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，进行比较即可求解，掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∵正数大于，负数小于， ∴最小的数是， 故选：． 11．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，先利用夹逼法估算a，b的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， 又， ∴， 故选：C． 12．比较两数的大小：4 （用“”或“”填空）． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较，立方根的定义，根据，即可得出答案． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 13．比较大小： ． 【答案】> 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用作差法比较实数的大小是解题的关键．利用作差法比较实数的大小即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：>． 14．把下列实数表示在如图所示的数轴上、并比较它们的大小（用“”连接）． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了实数的大小比较、立方根、算术平方根、实数与数轴，准确熟练地在数轴上找到各数对应的点是解题的关键．先在数轴上找到各数对应的点，观察数轴即可比较它们的大小． 【详解】解：，， 实数表示在如图所示的数轴上： ∴由数轴可得，． 题型一、距离问题 15．如图，数轴上有三点，表示和的点分别为，点到点的距离与点到原点的距离相等．设三点表示的三个数之和p= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握应用两点间的距离公式．利用两点间的距离公式求出，再利用两点间的距离公式求出点表示的数，从而求出即可； 【详解】解：由题意，得． 因为点在原点左侧， 所以点表示的数为， 所以． 故答案为：． 16．、为数轴上两点，点表示的数为1，点到点的距离是，则点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握实数与数轴的对应关系是解题的关键． 根据实数与数轴的关系可知，点可能在点的左侧，也可能在点的右侧，据此作答即可． 【详解】解：∵点表示的数为1，点到点的距离是， ∴点表示的数为或； 故答案为：或 17．如图，在数轴上，两点对应的实数分别是和，点、点到点的距离相等，则点对应的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数和数轴，两点之间线段的长度就是用右边点表示的数减去左边点表示的数．先求得的长度，根据点、点到点的距离相等，即可得出的长，再用的长度加上即可得出点C所对应的实数． 【详解】解：∵A、B两点对应的实数是和， ∴， ∵点、点到点的距离相等，， ∴， ∴点C所对应的实数是， 故答案为：． 18．如图，在数轴上，以表示数1，2的点为顶点作边长为单位1的小正方形，以表示数1的点为圆心，小正方形的对角线为半径画圆，与数轴分别相交于点（点在右），则点到原点的距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数和数轴，数轴上两点之间的距离，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，点表示的数为，即可得出点表示的数为，从而得出答案． 【详解】解：∵半圆的半径为， ∴的长度为半圆的直径，即， 又∵点表示的数为， ∴点表示的数为， ∴点到原点的距离为， 故答案为：． 19．在数轴上，表示2的点和表示的点之间的距离是： ． 【答案】 【分析】估算大小，后用靠近右边的数减去左边的数即可． 【详解】∵， ∴表示2的点和表示的点之间的距离是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，熟练掌握估算是解题的关键． 题型二、无理数整数部分的有关计算 20．若是的整数部分，则 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．根据，由此找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的整数部分即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵是的整数部分， ∴； 故答案为：3． 21．的小数部分是 ． 【答案】/ 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，根据即可求得答案． 【详解】解：∵， 即：， ∴的小数部分是． 故答案为：． 22．若的整数部分为，小数部分为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数的估算的运算，掌握无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分并理解其表示形式是解题的关键．无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即 ∴, ∴， 故答案为：． 23．已知：、分别是的整数部分和小数部分，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是无理数整数部分的有关计算、已知字母的值求代数式的值、运用平方差公式进行运算，解题关键是通过比较大小的方法判断无理数的整数部分． 先找出的整数部分和小数部分，分别代入后运用平方差公式即可求解． 【详解】解：， ， ， 即， 的整数部分为，小数部分为， 即，， ， ， ， ． 故答案为：． 24．已知的整数部分为，小数部分为，求． 【答案】， 【分析】根据无理数估算，表示出的整数部分为，小数部分为，代值求解即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 的整数部分，小数部分， ， 将，代入，原式 ． 【点睛】本题考查分式化简求值，涉及无理数估算，熟练掌握分式的混合运算是解决问题的关键． 1．[新考法·新运算]对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到： ①对进行“差绝对值运算”的结果是8； ②x，2，5的“差绝对值运算”的最小值是3； ③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种． 以上说法中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值计算，定义新运算问题，实数计算等．根据题意将代入题中式子计算即可判断①的结论正确；对x，2，5进行“差绝对值运算”得到，再由绝对值几何意义得到的最小值为6，即可判断②的结论不正确；对a，b，c进行“差绝对值运算”得到，再根据绝对值几何意义即可得到本题答案． 【详解】解：对进行“差绝对值运算”的结果是， ①的结论正确； 对x，2，5进行“差绝对值运算”得到， 由绝对值的几何意义知，当时，取得最小值为3， 的最小值为6， ②的结论不正确； 对a，b，c进行“差绝对值运算”得到， 而利用绝对值的意义去绝对值后，的不同表达式一共有7种， ，，，，，，0， ③的结论不正确， 以上说法中正确的个数为1个． 故选：B． 2．在两个连续的整数和之间，则 ． 【答案】9 【分析】结合，由此可以估计的近似值，然后就可以得出a，b的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：9． 【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，解题的关键是熟练掌握无理数估算的性质，从而完成求解． 3．在数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数共有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，掌握数轴上的点到原点距离的意义是解题的关键． 根据实数与数轴的对应关系，得出所求数的绝对值小于，且为整数，再利用无理数的估算即可求解． 【详解】解：设满足条件的数为a，由于在数轴上到原点的距离小于，则，且为整数， 则， 又∵，即， ∴a可以是或或0． 即在数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数共有5个， 故答案为：5． 4．先化简再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的性质，先去括号，然后合并同类项化简整式，再由被开方数大于等于0求出x的值，进而求出y的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 5．[新趋势·归纳与探究]计算： （1），________，________，________，________． 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来． （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则________； ②________． 【答案】（1），0，6，；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了算术平方根的定义，实数的绝对值，规律的探索及规律的应用；正确掌握算术平方根的定义是关键． （1）直接计算算术平方根即可； （2）根据（1）中的计算即可得到规律，并可用字母表示出来； （3）①直接利用总结出的规律计算即可； ②直接利用总结出的规律计算即可． 【详解】（1）解：，，，； 故答案为：，0，6，； （2）解：规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值；用字母表示为：； （3）解：①当时，， ； 故答案为：； ②； 故答案为：． 试卷第1页，共3页 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$