精品解析：上海市同济大学第二附属中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

2025～2026学年同济二附中高一下期末考试数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 设复数z满足（其中为虚数单位），则______． 2. 函数是____________函数（填“奇”或“偶”）． 3. 函数，其中的导数________． 4. 若向量满足，且与的夹角为，则 ________. 5. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为___． 6. 已知平面向量，，若与共线，则m的值为_____. 7. 若，则__________． 8. 已知，且，则的值是_________. 9. 已知，，若与夹角为钝角，则的取值范围为______. 10. 已知，则__________. 11. 若复数满足，则的最小值是_____ 12. 如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为______ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题好题5分，每题有且只有一个正确选项） 13. 设，则“”是“是实数”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分又不必要 14. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 15. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 16. 在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题共有5题，请分78分） 17. 已知是关于的方程的一个根，其中，． （1）求的值； （2）设复数满足是纯虚数，求实数的值． 18. 已知函数，及点. （1）若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程； （2）若点在的图象外，过点与的图象相切的直线斜率是1，求的取值. 19. 如图所示，公路一侧有一块空地，其中 ， ，，规划局设计在中间开挖人工湖，、都在边上，（、不与、重合，在、之间），且. （1）若在距离点处，求的长度； （2）为节省投入资金，要让人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积. 20. 已知函数． （1）将函数化为的形式； （2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； （3）若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围． 21. 定义平面斜坐标系：如图，平面向量是两个单位向量，夹角为锐角，那么构成平面的一个基，若，则称有序数对为在这个基下的一个斜坐标，表示为；若一个复数在该斜坐标系中对应向量，记对应的斜坐标为. （1）若，的斜坐标为，的斜坐标为，求的值； （2）设复数对应斜坐标向量，若，问是否存在锐角，若存在，求出，若不存在，说明理由； （3）记，在该斜坐标系中，若，求的大小； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年同济二附中高一下期末考试数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 设复数z满足（其中为虚数单位），则______． 【答案】13 【解析】 【详解】因为，所以． 2. 函数是____________函数（填“奇”或“偶”）． 【答案】偶 【解析】 【详解】由诱导公式有， 因为是偶函数，所以函数是偶函数. 3. 函数，其中的导数________． 【答案】 【解析】 【详解】，. 4. 若向量满足，且与的夹角为，则 ________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用向量数量积定义求出，再展开向量点积表达式，代入已知模长与数量积的值计算结果. 【详解】由向量数量积定义，得. . 5. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为___． 【答案】 【解析】 【详解】已知，， ， ， 向量在向量方向上的投影向量的坐标为： ． 6. 已知平面向量，，若与共线，则m的值为_____. 【答案】-1 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示可得与，再由向量共线即可计算出. 【详解】由，可得： ，， 又因为与共线可得： ，解得. 7. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以． 8. 已知，且，则的值是_________. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用平方关系和商数关系求出，再根据二倍角的正切公式即可得解. 【详解】因为，且， 所以，则， 所以. 故答案为：. 9. 已知，，若与夹角为钝角，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【详解】 ， 由夹角为钝角得，即，得. 若与反向共线，则满足，解得​， 此时夹角为，满足，但夹角不是钝角，因此要排除. 综上，的取值范围是. 10. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的值域和已知条件可得，取，求解即可. 【详解】因为， 且， 所以， 不妨取， 则， 所以. 11. 若复数满足，则的最小值是_____ 【答案】5 【解析】 【分析】设，，由条件可得，设复数在复平面上的对应点为，则点在直线上，结合条件可得等于到点和点的距离和，结合结论两点之间线段最短可求结论. 【详解】设，， 则，， 因为，所以， 所以，故， 设复数在复平面上的对应点为，则点在直线上， 又， 所以， 所以等于到点和点的距离和， 因为，当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 由已知线段的方程为，， 联立，可得， 所以当的坐标为，取最小值，最小值为， 所以当时，取最小值，最小值为， 故答案为：. 12. 如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为______ 【答案】16 【解析】 【分析】取线段的中点，连接、、，根据已知有、、，利用几何意义求最值即可得. 【详解】取线段的中点，连接、、，如下图所示：    因为，所以，且， 因为四边形为矩形，则， 因为， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题好题5分，每题有且只有一个正确选项） 13. 设，则“”是“是实数”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分又不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数与共轭复数及充分必要条件的定义判断即可. 【详解】设复数，则它的共轭复数. 若，则，化简得，所以，此时，是实数. 所以“”能推出“是实数”，充分性成立. 若是实数，则，此时，，所以. 所以 “是实数”能推出“”，必要性成立. 故“”是“是实数”的充分必要条件. 故选：C. 14. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据即可求出，从而得到向量，然后利用向量的模的坐标公式即可求解. 【详解】已知向量，，若，则，解得， 所以，则， 因此，故D正确. 15. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【详解】∵ 目标函数为，可变形为，此式是将中的替换为得到. ∴ 要得到的图象，只需将的图象上所有点向左平移个单位长度. 16. 在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据“正余弦函数”定义结合题给条件得出，结合正弦函数性质，对“正余弦函数”的性质进行逐一判断. 【详解】由题知，点坐标为，则 . 性质①：，值域为，正确. 性质②：， ，所以，错误. 性质③：当时，，，非最值； 最值出现在，即，错误. 性质④：正弦函数为周期函数，最小正周期为， 故为周期函数，最小正周期为，正确. 综上，性质①④正确，共2个. 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，请分78分） 17. 已知是关于的方程的一个根，其中，． （1）求的值； （2）设复数满足是纯虚数，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可知是方程的另外一个根，再利用韦达定理求解； （2）根据复数的乘法计算，再根据纯虚数的概念列式求解即可. 【小问1详解】 解：是关于的方程的一个根， 是方程的另外一个根， ，解得， ； 【小问2详解】 解：， 又是纯虚数， ， 解得． 18. 已知函数，及点. （1）若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程； （2）若点在的图象外，过点与的图象相切的直线斜率是1，求的取值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求导函数，再代入求出导数值即可求出切线的斜率，最后点斜式求出直线方程； （2）设出切点坐标，利用导数及斜率坐标公式列式计算得解. 【小问1详解】 由点在的图象上，得， 求导得，则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 由点P在的图象外，得，则， 设过点的直线与的图象切于点， 则切线的斜率， 由过点P与的图象相切的直线斜率是1， 得，解得， 所以的值为. 19. 如图所示，公路一侧有一块空地，其中 ， ，，规划局设计在中间开挖人工湖，、都在边上，（、不与、重合，在、之间），且. （1）若在距离点处，求的长度； （2）为节省投入资金，要让人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先利用直角三角形边角关系，确定角度与边长，再借助余弦定理求出线段长度； （2）先设出角，结合正弦定理表示线段，再利用三角形面积公式列式，通过三角恒等变换化简，最后结合三角函数的取值范围，找到使面积取最小值，并求出最小面积即可. 【小问1详解】 在 中， ， ，， 由勾股定理得 ，则 ， 在 中，已知 ，，， 由余弦定理： ，故 . 【小问2详解】 设 ，则 ， 在 中，由正弦定理得： 在 中，， ， 由正弦定理得：， 的面积：， 令 ，则： ， ， 当 ，即 时， 取得最大值 ， 此时 取得最小值：， 所以当 时， 的面积最小，最小面积为 . 20. 已知函数． （1）将函数化为的形式； （2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； （3）若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换可化简函数的解析式； （2）由可得，令，其中，则实数的取值范围即为函数在区间上的值域，利用正弦型函数的基本性质求解即可； （3）求出函数，由可求得，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由可得，可得， 令，其中， 由题意可知，实数的取值范围即为函数在区间上的值域， 由可得，所以， 故，故实数的取值范围是. 【小问3详解】 ， 当时，，且， 因为正弦函数在上从小到大的第一个最小值点为，第二个最小值点为， 因为有且只有一个，使得函数取得最小值， 则，解得， 故实数的取值范围是. 21. 定义平面斜坐标系：如图，平面向量是两个单位向量，夹角为锐角，那么构成平面的一个基，若，则称有序数对为在这个基下的一个斜坐标，表示为；若一个复数在该斜坐标系中对应向量，记对应的斜坐标为. （1）若，的斜坐标为，的斜坐标为，求的值； （2）设复数对应斜坐标向量，若，问是否存在锐角，若存在，求出，若不存在，说明理由； （3）记，在该斜坐标系中，若，求的大小； 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据斜坐标的定义写出，再利用数量积的运算求出模长； （2）根据斜坐标的定义写出，根据判断； （3）根据斜坐标的定义写出，利用数量积的运算即可得出，根据即可求出. 【小问1详解】 由题意得，，， 则， 则； 【小问2详解】 由题意得，，， 因为， 所以 ， 则，因为为锐角，所以不存在； 【小问3详解】 因为， 所以， 则 ， 因为，所以， 因为，所以，则，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $