精品解析：上海市长宁区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2026年长宁区高一年级下学期期末统考 2026.06.22 一、填空题（每小题3分，共36分） 1. 已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为2 cm，则该扇形的面积是________． 2. 已知向量，若，则___________. 3. 已知为第三象限角，，则___． 4. 在中，已知，，，则 ______． 5. 已知，则______. 6. 函数的定义域为______. 7. 若复数满足，则______． 8. 已知，，且，则在方向上的投影是_____． 9. 设点是平面直角坐标系内的一个动点，它从初始位置出发，绕原点按逆时针方向转动角后到达点，然后继续绕原点按逆时针方向转动角到达点；若的横坐标是，则的坐标是______． 10. 已知，则的取值范围是______． 11. 如图，已知塔坐落在一座小山上，且垂直于地面；观察者在地面上的点处测得仰角，，在延长线上的点处测得仰角，并测得米，则塔的高大约是_______米（精确到0.01米） 12. 已知平行四边形中，，分别是边，的中点，且，，则的最大值为______． 二、选择题（每小题3分，共12分） 13. 下列函数中，最小正周期是的是（ ） A. B. C. D. 14. 若在中，“”是“”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 15. 已知，，，函数 的部分图象如图所示，则该函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 16. 如图，设，是两条射线，，，分别为与，同向的单位向量，称和，一起构成了“-仿射坐标系”；在-仿射坐标系中，若，则称为的坐标，表示为；现有以下几个命题： ①在-仿射坐标系中，若，则； ②在-仿射坐标系中，与平行的充要条件是； ③在-仿射坐标系中，若，，且，则； 其中，真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（共52分） 17. 已知，，，，求和的值； 18. 已知，； （1）若点O，A，B三点共线，求m的值； （2）若是钝角，求m的取值范围； 19. 复数和分别对应复平面上的向量和，点在第一象限；已知，的虚部是6； （1）求； （2）若点为复平面内一点，且四边形为平行四边形，求所对应的复数； 20. 已知是以为圆心，20米为半径的扇形舞台，且；现对舞台进行改造，要在扇形内做一个矩形可升降舞台，现有两种改造方案； 方案1：点，在线段上，点在弧上，点在线段上； 方案2：点，分别在线段，上，点，在弧上； （1）若，采用方案1，设，求可升降舞台面积的最大值以及此时的大小； （2）若采用方案2，当升降舞台面积最大时，求的面积以及的长度；（用表示）； 21. 已知函数，实数，； （1）若该函数的最小正周期为，函数图象经过点，求该函数的表达式； （2）在（1）的条件下，若时，该函数与直线有且仅有一个交点，求实数的取值范围； （3）若存在实数，使得函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年长宁区高一年级下学期期末统考 2026.06.22 一、填空题（每小题3分，共36分） 1. 已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为2 cm，则该扇形的面积是________． 【答案】 【解析】 【详解】依题意，扇形的弧所对的圆心角为，且半径为2 cm， 所以扇形的面积为. 2. 已知向量，若，则___________. 【答案】3 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标运算求解. 【详解】向量，若，则，解得 故答案为：3. 3. 已知为第三象限角，，则___． 【答案】## 【解析】 【详解】因为为第三象限角，， 所以， 则. 4. 在中，已知，，，则 ______． 【答案】1或2 【解析】 【分析】利用余弦定理建立关于边的一元二次方程求解即可. 【详解】在中，由题意得，，， 根据余弦定理： ， 将已知条件代入得：  ， 化简得： ， 因式分解得 ，解得 或， 经检验，两个解均满足三角形三边关系，故 或 . 5. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系，结合二倍角的正弦公式进行求解即可. 【详解】， 故答案为： 6. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数的定义域用整体代入的方法即可求出函数的定义域. 【详解】由得， 所以函数的定义域为； 故答案为：. 7. 若复数满足，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由可得， 故. 8. 已知，，且，则在方向上的投影是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量投影公式直接计算即可得. 【详解】. 9. 设点是平面直角坐标系内的一个动点，它从初始位置出发，绕原点按逆时针方向转动角后到达点，然后继续绕原点按逆时针方向转动角到达点；若的横坐标是，则的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】设是角终边上一点，且，则.根据旋转的特点，可用表示出的横坐标，结合同角三角函数关系式及两角差的正、余弦公式求得，进而求得的坐标． 【详解】设是角终边上一点，且， 因为点到原点的距离：，所以. 由题意知点，的横坐标为， 所以 ，即. 由，得， 所以. 所以   ，  ， 所以点的坐标为，即. 10. 已知，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用消元法将目标式转化为单变量函数，再求二次函数在区间上的值域即可. 【详解】由已知条件 ，可得， ,则， 由，得 ， 因此 ，令 ，则 ， 目标式转化为二次函数， 而，开口向上，对称轴为 ， 最小值在对称轴 处取得， 最大值在区间端点处取得，，，最大值为 ， 综上， 的取值范围是 . 11. 如图，已知塔坐落在一座小山上，且垂直于地面；观察者在地面上的点处测得仰角，，在延长线上的点处测得仰角，并测得米，则塔的高大约是_______米（精确到0.01米） 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形外角性质求出 ，在  中利用正弦定理求出 ，再分别在 Rt 和 Rt 中求出  和 ，最后由  求解 【详解】由题意可知，， 则 、、 均为直角三角形. 在  中， 是  的外角， 所以 ， 由正弦定理 ， 得 ； 在 Rt 中，，； 在 Rt 中，， 所以塔高 （米）. 故塔  的高大约是  米. 12. 已知平行四边形中，，分别是边，的中点，且，，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先建立以为原点，直线为轴的直角坐标系，设，从而得到点，，，的坐标，进而结合数量积的坐标表示，及二次函数的配方公式即可求解． 【详解】建立以为原点，直线为轴的直角坐标系， 设，由，， 则，，， 设，，则， 又，分别是边，的中点， 则，解得，， 则，， 所以， 故的最大值为． 二、选择题（每小题3分，共12分） 13. 下列函数中，最小正周期是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数周期的计算即可求解. 【详解】对于A，最小正周期为，故A错误； 对于B，最小正周期为 ，故B错误； 对于C，最小正周期为，故C错误； 对于D，因为，所以最小正周期为，故D正确. 14. 若在中，“”是“”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】C 【解析】 【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】在三角形中，若，根据大角对大边可得边， 由正弦定理得. 若，则由正弦定理得， 根据大边对大角可知， 所以“”是“”的充要条件． 故选：C． 15. 已知，，，函数 的部分图象如图所示，则该函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象最高点确定，利用周期求出，最后代入最低点坐标求出. 【详解】由 ，，，的图象可知， . 因函数图象过最高点，且随后经过点， 所以函数的最小正周期满足，解得，因为，所以 . 即函数表达式为 . 将点 代入上式，得，化简得. 所以，因为，可得. 所以该函数的表达式是 . 16. 如图，设，是两条射线，，，分别为与，同向的单位向量，称和，一起构成了“-仿射坐标系”；在-仿射坐标系中，若，则称为的坐标，表示为；现有以下几个命题： ①在-仿射坐标系中，若，则； ②在-仿射坐标系中，与平行的充要条件是； ③在-仿射坐标系中，若，，且，则； 其中，真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用“-仿射坐标系”的定义，结合向量的数量积的定义计算可判断①③；利用向量共线的充要条件计算可判断②. 【详解】对于①，在-仿射坐标系中，可知，即，则， 若，则， 所以，故①错误； 对于②，若时，显然有与平行，可得成立， 反之显然成立； 当，与平行的充要条件是存在，使得， 所以，所以，所以， 综上，在-仿射坐标系中，与平行的充要条件是，故②正确； 对于③，在-仿射坐标系中，若，，则，， 所以， ， ， 又因为，所以， 所以，解得，又因为，所以，故③正确. 故真命题有2个. 三、解答题（共52分） 17. 已知，，，，求和的值； 【答案】， 【解析】 【详解】由于，，，，故， 所以， 18. 已知，； （1）若点O，A，B三点共线，求m的值； （2）若是钝角，求m的取值范围； 【答案】（1）或； （2）或且 【解析】 【分析】（1）根据共线得到方程，求出答案； （2），且不反向共线，结合（1）得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 点O，A，B三点共线，则， 所以，即， 解得或； 【小问2详解】 由题意得， 故，且不反向共线， ， 解得或， 由（1），当时，，同向共线， 当时，，反向共线， 故， 综上，或且. 19. 复数和分别对应复平面上的向量和，点在第一象限；已知，的虚部是6； （1）求； （2）若点为复平面内一点，且四边形为平行四边形，求所对应的复数； 【答案】（1）或； （2）当时对应复数为，当时对应复数为 【解析】 【分析】（1）设，根据题意得到方程组，求出答案； （2）在（1）基础上，分两种情况，利用进行求解，得到答案. 【小问1详解】 设，点在第一象限，故， 则， 由，可得， 的虚部是6，即，， 联立与，解得或， 当时，，当时，， 综上，或； 【小问2详解】 当时，， 故，故， 因为四边形为平行四边形，故， 所以所对应的复数为； 当时，， 故，故， 因为四边形为平行四边形，故， 所以所对应的复数为； 综上，当时对应复数为，当时对应复数为. 20. 已知是以为圆心，20米为半径的扇形舞台，且；现对舞台进行改造，要在扇形内做一个矩形可升降舞台，现有两种改造方案； 方案1：点，在线段上，点在弧上，点在线段上； 方案2：点，分别在线段，上，点，在弧上； （1）若，采用方案1，设，求可升降舞台面积的最大值以及此时的大小； （2）若采用方案2，当升降舞台面积最大时，求的面积以及的长度；（用表示）； 【答案】（1）， （2）， . 【解析】 【分析】（1）通过角度将矩形的宽和高表示出来，通过二倍角公式和辅助角公式可以得出面积的最大值； （2）通过对称性可知矩形面积最大时关于角平分线对称，设，用角分别表示矩形的宽和高，利用辅助角公式即可把面积最大值和边长计算出来. 【小问1详解】 因为扇形半径，圆心角， ，所以，， ， 所以， 设矩形的面积为S， 因为，所以，所以， 当，即时，面积有最大值； 【小问2详解】 由对称性可知，矩形面积最大时关于角平分线对称， 设，所以， 设，所以， 因为，所以，即， 所以矩形面积 所以，当， 即时，面积有最大值，， 此时 米. 21. 已知函数，实数，； （1）若该函数的最小正周期为，函数图象经过点，求该函数的表达式； （2）在（1）的条件下，若时，该函数与直线有且仅有一个交点，求实数的取值范围； （3）若存在实数，使得函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围； 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由最小正周期求解由经过的点求解； （2）令，问题转化为：与直线在上有且仅有一个交点 ；（3）函数的零点即方程的解， 要存在使得区间内恰有 2 个解. 【小问1详解】 由函数的最小正周期，可得，则得， 将点代入得，即， 则，又，则得，故； 【小问2详解】 令，当时，，问题转化为：与直线在上有且仅有一个交点， 当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，， 当时，仅在处有 1 个交点，符合条件； 当时，仅在递减段有 1 个交点，符合条件； 当时，递增段和递减段各有 1 个交点，共 2 个，不符合； 当或时，无交点，不符合， 综上，的取值范围为； 【小问3详解】 函数的零点即方程的解， 令，由且，得，其中， 方程的解为：或， 正半轴上的解按顺序为： 要存在使得区间内恰有 2 个解，需满足： 当从大于0趋近于 0 时，则区间右端点需大于，才能包含 2 个解，即，即； 当从小于趋近于时，则区间右端点需不超过（开区间端点不算），才能保证最多 2 个解，即，即. 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $