精品解析：四川省南充市高坪中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

高坪中学高2024级高二上学期第一次月考 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求． 1. 为了解某地参加计算机水平测试的500名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽到的200名学生的成绩是（ ） A. 总体 B. 样本 C. 个体 D. 样本量 2. 从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.6 3. 在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 总体由编号为01，02，…，30的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ） （第一行）1712 1340 3320 3826 1389 5103 7417 7637 （第二行）1304 0774 2119 3056 6218 3735 9683 5087 A. 20 B. 26 C. 17 D. 03 5. 已知点关于x轴的对称点为，则（ ） A. B. C. D. 6. 某次乒乓球单打比赛在甲、乙两人之间进行.比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛的胜利，比赛结束.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜出的概率都为，比赛不设平局，各局比赛的胜负互不影响.这次比赛甲获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 8. 素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对．其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”．在不超过的素数中，任选两个不同的素数、，令事件，，，记事件、、发生的概率分别为、、，则下列关系式成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛场，甲胜场 B. 某医院治疗一种疾病的治愈率为，前个病人没有治愈，则第个病人一定治愈 C. 随机试验的频率与概率相等 D. 用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 的最大值为4 11. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 的长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，．若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码被成功破译的概率为_________． 13. 一组数据的方差为2，则的方差为________． 14. 已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，都有（其中），则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 16. 某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图． （1）求直方图中的值； （2）估计月平均用电量的第50百分位数； （3）已知该城市一共有36万户居民，试估计该市月平均用电量在的用户有多少户？ 17. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求“星队”在两轮活动中全都猜对的概率； （2）求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率； （3）求“星队”在两轮活动中至少猜对1个成语的概率． 18. 4月23日是世界读书日，树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图：（以各组的区间中点值代表该组的各个值） 男生一周阅读时间频数分布表 小时 频数 9 25 3 3 （1）从一周课外阅读时间为的学生中按比例分配抽取6人，从这6人中任意抽取2人，求恰好一男一女的概率； （2）分别估计男生和女生一周课外阅读时间的平均数，； （3）估计总样本的平均数和方差. 参考数据和公式：男生和女生一周课外阅读时间方差的估计值分别为和.，和分别表示男生和女生一周阅读时间的样本，其中. 19. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为．已知四棱锥在点的曲率为． ①求证：平面平面； ②在直线上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高坪中学高2024级高二上学期第一次月考 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求． 1. 为了解某地参加计算机水平测试的500名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽到的200名学生的成绩是（ ） A. 总体 B. 样本 C. 个体 D. 样本量 【答案】B 【解析】 【详解】在总体中，被抽取的对象为样本. 2. 从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.6 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题中条件，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率. 【详解】从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共个； 则这两个数都是奇数包含的基本事件有：，，，共个； 所以这两个数都是奇数的概率是. 故选：C. 3. 在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量运算计算即得. 【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则， 所以. 故选：C 4. 总体由编号为01，02，…，30的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ） （第一行）1712 1340 3320 3826 1389 5103 7417 7637 （第二行）1304 0774 2119 3056 6218 3735 9683 5087 A. 20 B. 26 C. 17 D. 03 【答案】D 【解析】 【分析】先把编号按要求在随机数表中选出来，再剔除掉总体编号以外的编号，以及重复的编号，即可得到选出的个体编号. 【详解】从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字， 选出的编号依次为：12，13，40，33，20，38，26，13，89，51，03，…， 剔除掉总体编号以外的编号，以及重复的编号， 则选出来的个体的编号依次为：12，13，20，26，03，…， 所以选出来的第5个个体的编号为03. 故选：. 5. 已知点关于x轴的对称点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解． 【详解】由点关于x轴的对称点为， 所以． 6. 某次乒乓球单打比赛在甲、乙两人之间进行.比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛的胜利，比赛结束.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜出的概率都为，比赛不设平局，各局比赛的胜负互不影响.这次比赛甲获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】甲战胜乙包含两种情况：①甲连胜2局，②前两局甲一胜一负，第三局甲胜，由此利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出甲战胜乙的概率． 【详解】结合题意：甲队战胜乙队包含两种情况： 甲连胜2局，概率为， 前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为， 则甲战胜乙的概率为． 故选：D． 7. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果. 【详解】若不能构成空间的一个基底， 共面， 存在，使， 即， 解得， 故选：. 8. 素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对．其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”．在不超过的素数中，任选两个不同的素数、，令事件，，，记事件、、发生的概率分别为、、，则下列关系式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由古典概型公式求出、、的值，进而分析选项，综合可得答案． 【详解】根据题意，不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个， 从中任意取两个不同的素数、，有种取法，即， ，，，，， ，，，， ，，，，，，，，，， ，，，故C正确，B错误； 则有，， 选项A，D错误． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛场，甲胜场 B. 某医院治疗一种疾病的治愈率为，前个病人没有治愈，则第个病人一定治愈 C. 随机试验的频率与概率相等 D. 用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据概率和频率的概念即可判断答案. 【详解】概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性，则A，B是错的.频率受试验次数的影响，不稳定，但当试验次数较多时频率会稳定在概率附近，则C错误，D正确. 故选：ABC. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 的最大值为4 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用共线定理列方程求解判断，对于B，由，得求解，对于CD，表示出后利用二次函数性质求最值判断. 【详解】对于A，若，且， 则存在唯一实数使得，即， 则，解得，故A正确； 对于B，若，则，即， 化简得，因为，所以无实数解，故B错误； 对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误. 故选：AC. 11. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 的长为 【答案】AC 【解析】 【分析】A、B选项考查的是空间向量基本定理的应用，以，，为基底表示，就可以得到结论；C选项考查利用空间向量数量积求向量夹角的余弦，先用基底表示和，再求它们的数量积和模，利用可判断C是否正确；对D选项，先用基底表示，再结合可求的长. 【详解】 ∵，故A正确. ∵.故B错误. 又∵，. ，； ， . . ∴.故C正确. ∵，∴.故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，．若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码被成功破译的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，再利用对立事件的概率性质分析可得答案． 【详解】解：根据题意，甲乙两人能破译的概率分别是，， 则密码没有被破译，即甲乙都没有破译密码的概率， 所以密码被成功破译的概率． 13. 一组数据的方差为2，则的方差为________． 【答案】8 【解析】 【详解】记的方差为， 由方差的性质知的方差为． 14. 已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，都有（其中），则_________． 【答案】 【解析】 【分析】将向量两边平方，然后转化成求代数式的最小值，最后求解出即可. 【详解】已知，是空间单位向量，，. 因为对于任意，都有， 则当时，取得最小值. 记， 当时，有最小值，且. ，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系， ，，，，，， ，， 所以， 所以，故； （2） 【解析】 【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积与垂直的关系可证明； (2)直接结合（1）中的坐标系，利用向量夹角公式求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ，， 所以， ，， 所以， 因为异面直线所成角范围， 故异面直线与所成角的余弦值为 16. 某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图． （1）求直方图中的值； （2）估计月平均用电量的第50百分位数； （3）已知该城市一共有36万户居民，试估计该市月平均用电量在的用户有多少户？ 【答案】（1） （2）第50百分位数是224 （3）147600（户） 【解析】 【分析】（1）由各组数据频率之和即所有矩形面积之和为1可得答案； （2）第50百分位数左边和右边直方图面积相等，可得答案； （3）利用频率估计月平均用电量为的居民所占比例，即可得答案． 【小问1详解】 由题意知， 解得， 【小问2详解】 因为 所以月均用电量的第50百分位数在内，设第50百分位数为 由 解得， 故月均用电量的第50百分位数是224； 【小问3详解】 因为月均用电量在的频率为 所以月均用电量在的用户为（户）． 17. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求“星队”在两轮活动中全都猜对的概率； （2）求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率； （3）求“星队”在两轮活动中至少猜对1个成语的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先计算单轮甲乙都猜对的概率，再根据两轮独立的性质，用独立事件概率乘法公式计算两轮全猜对的概率； （2）分析出猜对3个成语的两种互斥情况，分别计算概率后用互斥事件加法公式求和得到结果； （3）利用对立事件简化计算，先计算两轮活动中所有成语全猜错的概率，再用1减去该概率得到至少猜对1个的概率. 【小问1详解】 分别用表示甲在第一轮、第二轮活动中猜对；用表示乙在第一轮、第二轮活动中猜对， 则，​； ​，​，所有事件相互独立. “全都猜对”即两轮共4个成语全部猜对，概率为​， 【小问2详解】 猜对3个即恰好1个猜错，分两类： 甲猜错1个，乙全对：概率为 ​ 乙猜错1个，甲全对：概率为 总概率为： 【小问3详解】 至少猜对1个成语的概率 “至少猜对1个”的对立事件是“全部0个猜对（全猜错）”， 全猜错的概率为：  因此至少猜对1个的概率为：. 18. 4月23日是世界读书日，树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图：（以各组的区间中点值代表该组的各个值） 男生一周阅读时间频数分布表 小时 频数 9 25 3 3 （1）从一周课外阅读时间为的学生中按比例分配抽取6人，从这6人中任意抽取2人，求恰好一男一女的概率； （2）分别估计男生和女生一周课外阅读时间的平均数，； （3）估计总样本的平均数和方差. 参考数据和公式：男生和女生一周课外阅读时间方差的估计值分别为和.，和分别表示男生和女生一周阅读时间的样本，其中. 【答案】（1） （2），； （3），. 【解析】 【分析】（1）分析数据，列举基本事件，利用古典概型的概率公式求概率； （2）计算样本的平均数，估计总体的平均数； （3）分别计算总样本的平均数和方差即可. 【小问1详解】 一周课外阅读时间为的学生中男生有3人，女生有人， 若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为，女生有5人，记为，，，，， 从这6人中任意抽取2人，则样本空间. 记事件“恰好一男一女”，则， 所以，所以从这6人中任意抽取2人恰好一男一女的概率为； 【小问2详解】 估计男生一周课外阅读时间平均数； 估计女生一周课外阅读时间的平均数； 【小问3详解】 估计总样本的平均数， ∵，， ∴，， ，， ∴， 所以估计总样本的平均数和方差分别是3.6和3. 19. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为．已知四棱锥在点的曲率为． ①求证：平面平面； ②在直线上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）取的中点F，连接，， 又为的中点，则，且， 又是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，且，， 则，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）①由题意知，， 又是等边三角形，底面为直角梯形， 则，，所以，即， 又因为，且，所以平面， 又平面，故平面平面． ②取的中点，连接，，则，， 又平面平面，且平面平面，所以平面， 所以以为坐标原点，直线，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 又， 则，，，，， 所以，，，， 因为点在直线上， 不妨设， 所以， 设是平面的法向量，则， 取，则，，即， 假设存在点，使得平面，则， 所以， 但此方程组无解，故不存在点，使得平面． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形，直角梯形的性质推出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质，及线面平行的判定即可证明； （2）①先根据曲率的定义求出，再根据线面垂直的判定及性质推出面面垂直即可证明； ②先证明，，两两垂直，再建立对应的空间直角坐标系，根据空间向量的线性关系求出，再求出平面的法向量，再根据线面垂直的关系得到，进而列方程组求解即可判断点是否存在． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $