精品解析：四川省南充市高坪中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学（文） 试题

高坪中学高2021级高二上期第一次月考 数 学 试 题（文） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上． 2.选择题用2B铅笔在对应的题号涂黑答案．主观题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上对应的答题区域内． 3.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡上交． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项． 1. 已知一直线经过点,且与轴平行,则该直线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件，结合直线的点斜式方程即可得解. 【详解】解：因为直线与轴平行,所以其斜率为,所以直线的点斜式方程为,即. 故选D. 【点睛】本题考查了直线的点斜式方程，属基础题. 2. 已知直线：，：，则与的关系（　　） A. 平行 B. 重合 C. 相交 D. 以上答案都不对 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】由已知可得 ，故两直线平行，故选A. 3. 某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取(　　) A. 10人 B. 15人 C. 20人 D. 25人 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． 【详解】由年龄分布情况图可得40岁以下年龄段应抽取40×50%=20人． 故选：C． 【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础． 4. 已知圆的方程为，则圆的半径为（ ） A. 3 B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，即可得出圆的半径. 【详解】把圆的方程化为标准方程是， 所以圆的半径为． 故选：A． 5. 下列结论中正确的是 A. 若直线上有无数个点不在平面内，则//． B. 若直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线都平行． C. 若直线与平面垂直，则直线与平面内的任意一条直线都垂直． D. 四边形确定一个平面． 【答案】C 【解析】 【分析】由线线平行的性质定理和线面平行的性质定理即可判断． 【详解】若直线上有无数个点不在平面内，直线与平面，有可能相交，故A错． 若直线与平面平行，则直线与平面内的直线有可能异面，故B错 空间四边形为两个平面组成不能确定一个平面，故D错 【点睛】线线平行的性质定理和线面平行的性质定理要熟练掌握． 6. 将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以表示：则7个剩余分数的方差为（ ） A. B. C. 36 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，去掉两个数据后，得到要用的7个数据，先根据这组数据的平均数，求出，再求出方差. 【详解】由题意知去掉一个最高分和一个最低分后， 所剩数据的数据是87，90，90，91，91，94，. 这组数据的平均数是，. 这组数据的方差是. 故选：B. 7. 点为圆上任意一点，直线过定点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程可构造方程组求得定点，由圆的方程确定圆心坐标和半径，则. 【详解】整理直线方程得：， 由得：，， 由圆的方程知圆心，半径， . 故选：D. 【点睛】结论点睛：若圆心与圆外一点间距离为，圆的半径为，则圆外一点到圆上的点的距离最大值为，最小值为. 8. 设、满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知画出可行域即可得，利用的几何意义即可求解. 【详解】由得，作出可行域， 因为，所以直线的斜率为负，截距最大时，也最大， 由图可知当直线经过时，直线的截距最大，所以， 的几何意义为直线上的点到原点距离的平方， 所以原点到的距离为，所以的最小值为， 故选：C. 9. 某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润如表所示： 体积（升/件） 重量（公斤/件） 利润（元/件） 甲 乙 在一次运输中，货物总体积不超过升，总重量不超过公斤，那么在合理的安排下，一次运输获得的最大利润为（　　）． A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【详解】分析：设运送甲件，乙件，利润为，则由题意得，且，利用线性规划可得结果. 详解： 设运送甲件，乙件，利润为， 则由题意得，即，且， 作出不等式组对应的平面区域如图： 由得， 平移直线，由图象知当直线经过点时， 直线的截距最大，此时最大， 由，得，即， 此时， 故选． 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 10. 在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ） A. 可求得 B. 这200名参赛者得分的中位数为65 C. 得分在之间的频率为0.5 D. 得分在之间的共有80人 【答案】B 【解析】 【分析】利用频率之和可以求出a，即可判断选项A ；利用中位数计算方法求出中位数，即可判断选项B；利用频率分布直方图中频率的计算方法求出频率，即可判断选项C；利用频率､频数､样本容量之间的关系，即可判断选项D. 【详解】解：由频率之和为1可得，， 故，故选项A正确； 的频率为，的频率为， 所以这200名参赛者得分的中位数为，故选项B错误； 得分在之间的频率为，故选项C正确； 得分在之间的人数为人，故选项D正确. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求频率分布直方图中的中位数，一般先确定中位数在哪一个矩形中，再设中位数为，根据中位数左边的矩形的面积和为得解. 11. 在平面直角坐标系中，已知圆，若直线上有且只有一个点满足：过点作圆的两条切线，切点分别为，且使得四边形为正方形，则正实数的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相切得圆心与点距离，即结合正方形的性质可得符合的点的位置，从而可得结论. 【详解】由可知圆心，半径为2， 因为四边形为正方形，且边长为圆的半径2，所以， 所以直线上有且只有一个点，使得，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以，解得或，又，所以． 故选：C. 12. 当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定曲线所表示的图形，再根据数形结合得出实数的取值范围. 【详解】直线恒过点， 由可得，等式两边平方得， 曲线表示圆的上半圆，作出示意图如下： 当直线与半圆相切时，即直线与半圆相切时， 有，解得， 当直线过时，，解得， 要想曲线与直线有个相异交点， 数形结合得到：实数的取值范围是. 故选：D. 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分． 13. 执行下边的程序框图，若，则输出的________． 【答案】5 【解析】 【分析】通过对程序框图的逐步执行，按照给定的条件和计算规则，来确定最终输出的值. 【详解】已知输入，程序开始时，初始化，.此时进入判断条件，即判断，该条件成立，执行循环体.  在循环体中，根据规则，此时，则；然后.再次判断，即判断，该条件成立，继续执行循环体.  根据，此时，则；然后.再次判断，即判断，该条件成立，继续执行循环体.  根据，此时，则；然后.再次判断，即判断，该条件成立，继续执行循环体.  根据，此时，则；然后.再次判断，即判断，该条件不成立，跳出循环.  故输出的值为. 故答案为：5. 14. 已知点在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】明确的几何意义，它表示平面区域内的点与原点连线的斜率.然后求出不等式组所表示的平面区域的顶点坐标，最后根据顶点与原点连线的斜率来确定的取值范围. 【详解】联立，解得,，所以交点坐标为. 联立，解得,，所以交点坐标为. 联立，解得, ，所以交点坐标为. 根据题意得到可行域图中阴影部分，不含边长上的点. 表示平面区域内的点与原点连线的斜率. 计算,,. 临界状态为直线和.对应的斜率分别为. 结合图形可知，的取值范围是. 故答案为：. 15. 已知圆，直线，若圆上至少有3个不同的点到直线的距离都等于，则的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】数形结合，找到满足题意的临界状态，再利用点到直线的距离公式，列出不等式，即可求得范围. 【详解】根据题意，作图如下所示： 因为圆的半径为，故当圆心到直线的距离小于等于时，满足题意， 也即当直线与平行，且介于之间（也可与重合）时，满足题意； 则圆心到直线的距离，解得. 故答案为：. 16. 已知圆，点，从坐标原点向圆作两条切线，，切点分别为，，若切线，的斜率分别为，，，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意得到直线，的方程，再根据直线与圆的位置关系得到，结合，即可求得圆心的轨迹方程，最后数形结合可得的取值范围． 【详解】由题意可知，直线，， 因为直线，与圆相切， 所以，， 两边同时平方整理可得， ， 所以，是方程的两个不相等的实数根， 所以．又， 所以，即．又， 所以， 即． 故答案为： 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，还考查了数形结合思想和运算求解能力，属于中档题. 三、解答题（共70分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，写在答题卷上． 17. 已知直线的方程为，若在x轴上的截距为，且． （1）求直线与的交点坐标； （2）已知直线经过与的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件求出的方程，与联立解方程组； （2）讨论过原点与不过原点，设直线方程将点代入求解. 【小问1详解】 因为，直线的方程为， 设的方程为，因为在x轴上的截距为， 所以，，即：． 联立得 所以直线与的交点坐标为． 【小问2详解】 因为在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍， 故当过原点时，的方程为． 当不过原点时，设的方程为， 又直线经过与的交点，所以，得， 所以的方程为． 综上，的方程为或． 18. 如图，在四棱锥中，底面四边形满足，且，，点和分别为棱和的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）先证明∥平面，∥平面，进而得到平面∥平面，然后根据面面平行的性质可得结论成立．（2）先证明平面，根据∥，可得平面，于是可得面面垂直． 【详解】（1）在底面四边形中，由，可得∥； 又，为的中点， 所以， 从而四边形为平行四边形， 所以∥， 又平面，平面， 所以∥平面． 由题意，是的中位线， 所以∥， 又平面，平面， 所以∥平面． 又与是平面内两相交直线， 所以平面∥平面； 因为平面， 所以∥平面． （2）由（1）知∥， 因为， 所以， 又，且是平面内两相交直线， 所以平面， 从而平面， 又平面， 所以平面平面． 【点睛】解答类似问题的关键是根据图形，并结合三种平行（垂直）间的相互转化关系进行求解，解题时注意解题步骤的完整性，特别是定理中的关键性词语，在证题过程中要得到体现，属于基础题． 19. 2020年是脱贫攻坚决胜之年，某棉花种植基地在技术人员的帮扶下，棉花产量和质量均有大幅度的提升，已知该棉花种植基地今年产量为2000吨，技术人员随机抽取了2吨棉花，测量其马克隆值(棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一，与棉花价格关系密切)，得到如下分布表： 马克隆值 重量(吨) 008 0.12 0.24 0.32 0.64 0.12 0.06 0.02 （1）求的值，并补全频率分布直方图； （2）根据频率分布直方图，估计样本的马克隆值的众数及中位数； （3）根据马克隆值可将棉花分为，，三个等级，不同等级的棉花价格如下表所示： 马克隆值 或 3.4以下 级别 价格(万元/吨) 1.5 1.4 1.3 用样本估计总体，估计该棉花种植基地今年的总产值. 【答案】（1），频率分布图答案见解析；（2）众数，中位数为；（3）(万元). 【解析】 【分析】（1）根据分布表重量之和为2吨求，计算频率/组距即可补全直方图； （2）由频率分布直方图求众数及中位数即可； （3）计算所抽2吨样本的产值，预测总的2000吨的产值即可. 【详解】解：（1）由分布表知， ， 解得 在直方图中对应的频率/组据值为，补全频率分布图如下， （2）由频率分布直方图知，马克隆值落在区间内的频率最大，故众数， 因为， ， 所以中位数在区间内，中位数为. （3）2吨样本的产值为 ，估算棉花种植基地今年的总产值为：(万元). 20. 如图是矩形和以边为直径的半圆组成的平面图形，．将此图形沿折叠，使平面垂直于半圆所在的平面．若点E是折后图形中半圆O上异于A，B的点． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若异面直线和所成的角为，求三棱锥的体积． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由面面垂直的性质得圆O，由线面垂直的性质得，根据线面垂直的判定可得面，再由线面垂直的性质可证. （Ⅱ）由题意知：，过E作于F，易证面，进而求、，应用等体积法有即可求三棱锥的体积． 【详解】（Ⅰ）∵面圆O，面圆O ，平面，， ∴圆O，又圆O， ∴，又是直角，即，而， ∴面，又面， ∴． （Ⅱ） 在矩形中，，直线和所成的角为， ∴直线和所成的角为，即． 过E作于F，则面． 又，，易得，即有， ∴，由． ∴三棱锥的体积是． 【点睛】关键点点睛： （Ⅰ）综合应用面面垂直、线面垂直的判定及性质证线线垂直. （Ⅱ）由等体积知，结合已知条件求及其对应的高即可求三棱锥的体积. 21. 已知圆C方程为：． （1）直线l过点，且与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程； （2）过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程． 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）设直线方程，利用弦心距，半弦长，半径所成的直角三角形列方程可解； （2）设点的坐标为，点坐标为，利用向量条件找出关系式，利用相关点法求得轨迹方程． 【小问1详解】 ①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意. ②若直线不垂直于轴，设其方程为，即. 设圆心到此直线的距离为，则，得， ∴，， 故所求直线方程为. 综上所述，所求直线方程为或. 【小问2详解】 设点的坐标为，点坐标为，则点坐标是. ∵，∴，即，. 又∵，∴. 由已知，直线轴，∴， ∴点的轨迹方程是 . 22. 已知圆与轴的正半轴交于点，直线与圆交于不同的两点，. （1）求实数的取值范围； （2）设直线，的斜率分别是，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由； 【答案】（1）；（2）是定值，定值为. 【解析】 【分析】 （1）求出圆的圆心与半径，根据题意只需圆心到直线的距离，解不等式组即可. （2）设，，联立方程组，消，利用韦达定理求出，，求出直线，的斜率，求和化简整理即可. 【详解】∵圆与轴的正半轴交于点， ∴圆心，半径，. （1）∵直线与圆交于不同的两点， ∴圆心到直线的距离， 即，解得. （2）设， 联立， 可得， ∴，， ∴ 为定值. ∴是定值，定值为. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考察了计算求解能力，属于基础题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高坪中学高2021级高二上期第一次月考 数 学 试 题（文） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上． 2.选择题用2B铅笔在对应的题号涂黑答案．主观题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上对应的答题区域内． 3.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡上交． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项． 1. 已知一直线经过点,且与轴平行,则该直线的方程为 A. B. C. D. 2. 已知直线：，：，则与的关系（　　） A. 平行 B. 重合 C. 相交 D. 以上答案都不对 3. 某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取(　　) A. 10人 B. 15人 C. 20人 D. 25人 4. 已知圆的方程为，则圆的半径为（ ） A. 3 B. 9 C. D. 5. 下列结论中正确的是 A. 若直线上有无数个点不在平面内，则//． B. 若直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线都平行． C. 若直线与平面垂直，则直线与平面内任意一条直线都垂直． D. 四边形确定一个平面． 6. 将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以表示：则7个剩余分数的方差为（ ） A B. C. 36 D. 7. 点为圆上任意一点，直线过定点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 设、满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润如表所示： 体积（升/件） 重量（公斤/件） 利润（元/件） 甲 乙 在一次运输中，货物总体积不超过升，总重量不超过公斤，那么在合理的安排下，一次运输获得的最大利润为（　　）． A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 10. 在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ） A. 可求得 B. 这200名参赛者得分的中位数为65 C. 得分在之间的频率为0.5 D. 得分在之间的共有80人 11. 在平面直角坐标系中，已知圆，若直线上有且只有一个点满足：过点作圆的两条切线，切点分别为，且使得四边形为正方形，则正实数的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 7 12. 当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分． 13. 执行下边的程序框图，若，则输出的________． 14. 已知点在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为_____． 15. 已知圆，直线，若圆上至少有3个不同的点到直线的距离都等于，则的取值范围是_________ 16. 已知圆，点，从坐标原点向圆作两条切线，，切点分别为，，若切线，的斜率分别为，，，则的取值范围为________． 三、解答题（共70分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，写在答题卷上． 17. 已知直线方程为，若在x轴上的截距为，且． （1）求直线与的交点坐标； （2）已知直线经过与的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求的方程． 18. 如图，在四棱锥中，底面四边形满足，且，，点和分别为棱和的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 19. 2020年是脱贫攻坚的决胜之年，某棉花种植基地在技术人员的帮扶下，棉花产量和质量均有大幅度的提升，已知该棉花种植基地今年产量为2000吨，技术人员随机抽取了2吨棉花，测量其马克隆值(棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一，与棉花价格关系密切)，得到如下分布表： 马克隆值 重量(吨) 0.08 0.12 0.24 0.32 0.64 0.12 006 0.02 （1）求的值，并补全频率分布直方图； （2）根据频率分布直方图，估计样本的马克隆值的众数及中位数； （3）根据马克隆值可将棉花分为，，三个等级，不同等级的棉花价格如下表所示： 马克隆值 或 3.4以下 级别 价格(万元/吨) 1.5 1.4 1.3 用样本估计总体，估计该棉花种植基地今年的总产值. 20. 如图是矩形和以边为直径的半圆组成的平面图形，．将此图形沿折叠，使平面垂直于半圆所在的平面．若点E是折后图形中半圆O上异于A，B的点． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若异面直线和所成角为，求三棱锥的体积． 21. 已知圆C方程为：． （1）直线l过点，且与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程； （2）过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程． 22. 已知圆与轴的正半轴交于点，直线与圆交于不同的两点，. （1）求实数的取值范围； （2）设直线，的斜率分别是，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $