精品解析：四川省广安市加德学校2025-2026学年高二上学期期末模拟(1月月考)数学试题

广安加德学校2025—2026学年度上期高2024级期末模拟考试（1月月考） 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 用简单随机抽样的方法从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，其中某一个体“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】A 【解析】 【分析】根据抽样中，每个个体在每一次被抽到的概率都是相等的，由此可得出结果. 【详解】在抽样过程中，个体每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为， 故个体“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为， 故选：A． 【点睛】本题考查抽样中概率的计算，属于基础题. 2. 从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用古典概型概率的计算公式即可求出结果. 【详解】根据题意可知，从6个数字中无放回地随机抽取两张，共有种， 若要是5的倍数，则两张卡片中必有一张是5； 若第一张抽到的是5，共有5种抽法；若第二张抽到的是5，共有5种抽法；共10种抽法； 所以所求概率为. 故选：A 3. 已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，设，，，则向量用 为基底表示为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图形可得，根据比例关系可得,, 再根据向量的减法,代入整理，并用基底代换得答案. 【详解】由 整理得， 由，，代入得， . 故选：D 4. 如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据线面平行可得，运算求解即可.或利用线面平行的判定结合条件可得. 【详解】解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则，，可得， 设是平面的法向量，则， 令，则，即， 由，且，可得， 又因为，则， 由平面，可得， 解得. 解法二：如图，取中点，连接，易证， 所以平面即为平面， 易知当为的中点时，，平面，平面， 从而平面，所以. 故选：C. 5. 直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得直线的斜率以及倾斜角，由此求得直线的倾斜角和斜率. 【详解】因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为， 又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍， 所以直线的倾斜角为， 所以的斜率为， 故选：D. 6. 在平面直角坐标系中，已知点，，，且动点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出点的轨迹图形，然后利用圆心到的距离求解即可. 【详解】设动点的坐标为 因为，故, 即，化简得：， 故点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 故， 且故. 故选：D 7. 已知抛物线的焦点是，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过，两点作直线的垂线，垂足分别为，．若，则直线斜率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线的方程为，，，作垂直轴，垂足为，作垂直轴，垂足为，利用几何关系得，从而得，进而求出点坐标，即可求解. 【详解】根据题意可得直线斜率一定存在，设直线的方程为，，，, 因为，由抛物线的定义知，① 作垂直轴，垂足为，作垂直轴，垂足为，则， 从而，得到，所以②，由①②解得， 因为在抛物线上，所以，解得， 则． 8. 已知异面直线、成，其公垂线段为，，长为的线段的两端点分别在直线、上运动，则中点的轨迹为（ ） A. 双曲线 B. 椭圆 C. 圆 D. 抛物线 【答案】B 【解析】 【分析】设的中点为，过作的垂面，则的中点必在平面内，过点分别作，，使得，以点为坐标原点，直线为轴，平面内的角平分线为轴，平面过点且垂直于轴的直线为轴建立空间直角坐标系，设出点、的坐标，并设线段中点的坐标为，再结合以及空间中两点间的距离公式化简可得结果. 【详解】设的中点为，过作的垂面，则的中点必在平面内， 因为异面直线、成，过点分别作，，使得， 以点为坐标原点，直线为轴，平面内的角平分线为轴， 平面过点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，直线、所成角为， 则直线的一个方向向量可以为， 直线的一个方向向量可以为，且、. 由题意可知，存在、，使得， ， 所以，即点， ，即点， 设线段的中点为， 则，所以， 因为， 即，化简得， 故线段的中点的轨迹为椭圆. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下一面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”；事件为“第一次记录的数字为奇数”；事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件是相互独立事件 B. 事件与事件是互斥事件 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用定义判断选项B的真假，利用公式计算判断选项ACD的真假，即得解. 【详解】对于A，对于事件A与事件B，， 事件A与事件B是相互独立事件，故选项A正确； 对于B，事件与事件不是互斥事件，因为它们有可能同时发生， 如第一次记录的数字为1，第二次记录的数字为4，故选项B错误； 对于C，因为，所以，故选项C正确； 对于D，事件等价于事件，即第一次记录的数字为奇数且第二次记录的数字为偶数 故，故D错误. 故选：AC． 10. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（ ） A. 四面体是鳖臑 B. 与所成角的余弦值是 C. 点到平面的距离为 D. 点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，结合向量的数量积的运算公式，以及向量的夹角公式和距离公式，准确运算，逐项判定，即可求解. 【详解】以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 对于A中，， 因为， 所以， 即， 所以四面体的四个面都为直角三角形，所以四面体是鳖臑，故A正确； 对于B中，， 则与所成角的余弦值为， 所以B正确； 对于C中，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 则点到平面的距离为，所以C错误； 对于D中，由，直线方 向上的单位向量是， 则到的距离为，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知点为双曲线右支上一点，，为双曲线的两条渐近线，点，在上，点，在上，且，，，，为坐标原点，记，的面积分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，，则四点在以OP为直径的圆上，从而有；根据双曲线方程写出渐近线方程，求得倾斜角，用PA，PB表示出PM，PN，从而求得面积关系；设，由点到直线距离求得PA，PB，从而验证的值；从而求得的值，在三角形中，由余弦定理表示出MN，从而求得范围. 【详解】 由，，四点在以OP为直径的圆上，则，故B正确； 由双曲线方程设，，则， 由，，则 则，， 则，， 则，故C错误； 设，满足，则， 则由点到直线距离知，同理有， 则，故A正确； 故，在三角形中，由余弦定理知， ， 故，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：根据条件写出渐近线方程，本题属于特殊角的相关计算，可以表示出具体的线段和三角形面积，验证是否满足选项答案即可.在求解范围问题时，首先需要求得线段的表达式，然后借助函数或基本不等式求得范围或最值. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线：，：，若两直线垂直，则______. 【答案】1或 【解析】 【分析】根据两直线垂直的条件，列式计算，即得答案. 【详解】由题意知直线：和直线：互相垂直， 故，解得或. 故答案为：1或. 13. 如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，利用，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】因为二面角的大小为，所以与的夹角为， 又因为， 所以，所以. 故答案为：. 14. 如图，在直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点、为椭圆上位于轴上方的两点，且，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】作点关于原点的对称点，连接、、，分析可知且、、三点共线，故，设直线的方程为，点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用弦长公式可求得的取值范围，即可得解. 【详解】解：作点关于原点的对称点，连接、、，易知点、， 由椭圆的对称性可知点也在椭圆上， 因为为、的中点，所以，四边形为平行四边形， 所以，且， 因为，故、、三点共线，则， 所以. 因为点、为椭圆上位于轴上方的两点，则直线不与轴重合， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则， 由韦达定理可得，， 所以，， 所以，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知点和直线点是点A关于直线的对称点. （1）求点的坐标； （2）为坐标原点，且点满足.若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点，根据点关于直线对称可列出方程，联立解得答案； （2）设点，根据求得P点轨迹方程，根据点的轨迹与直线有公共点，可知圆心到直线距离小于等于半径，解不等式可得答案. 【小问1详解】 设点，由题意知线段的中点在直线上， 故：，① 又直线垂直于直线，故，② 联立①②式解得：，故点的坐标为； 【小问2详解】 设点，由题，则， 故，化简得， 又直线与圆有公共点， 故，解得 . 16. 如图，已知正三棱柱分别为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）取中点，由正三棱柱性质得，互相垂直，以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设，则， 则． 证明：， 由，得， 由，得， 因为平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】利用线面垂直判定定理来证明；用向量法计算两平面夹角的余弦值，再求夹角的正弦值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知为平面的一个法向量，设平面的法向量， 则,故， 令，得面的一个法向量为， 设二面角的值为， 则，所以，二面角的正弦值为． 17. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． (1)求第七组的频率； (2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求． 【答案】(1)；(2)平均数为，中位数为；(3)． 【解析】 【分析】(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率； (2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数； (3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率. 【详解】解：(1)第六组的频率为， ∴第七组的频率为． (2)由直方图得，身高在第一组的频率为， 身高在第二组的频率为， 身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为， 由于，， 设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则， 由得， 所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为 ． (3)第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d， 第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B， 则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况， 因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以． 18. 已知四棱锥的底面是正方形，且，，二面角的大小为，M，N分别是的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）在棱上是否存在点G，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】先根据条件证明平面平面，再通过作辅助线建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，进而求出相关向量的坐标； 求出的坐标，确定为平面的一个法向量，根据向量的夹角公式计算即可； 假设存在符合条件的点，根据向量共线表示出其坐标，求出平面的法向量，利用进行计算，根据结果作出判断. 【小问1详解】 因为，且，平面, 所以平面，且∠SDC为二面角S-AD-C的平面角， 所以， 又，所以为正三角形， 又平面， 故平面平面, 连接,则,而平面，平面平面=， 则平面, 以N为坐标原点，过N作的垂线为x轴， 所在直线为y，z轴，建立空间直角坐标系，设， 则， ， （1）因为， 又为平面的一个法向量， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问2详解】 假设存在点G，使得平面， 设，，因为，， 所以，即， 所以， 设平面的法向量为，因为， 由得令，则， 所以为平面的一个法向量， 因为平面，所以， 所以， 解得，所以存在点G，使得平面，且. 19. 已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． （1）求抛物线的方程； （2）若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）联立方程组并利用韦达定理得到，再结合题意求解参数，得到抛物线方程即可. （2）（i）法一直接利用斜率公式结合韦达定理得到定值，法二利用齐次化结合直线系方程求解定值，（ii）法一结合已证定值，求出直线方程，进而求解定点，法二结合齐次化得到的定值求出直线方程，最后求出定点即可. 【小问1详解】 设直线的方程为， 代入得， 设点，则， 而线段中点纵坐标为4，则，解得， 故的方程为. 【小问2详解】 （i）法一：由（1），且， 则 所以. 法二：设直线方程为， 抛物线的方程可表示为， 由， 得 ， ， ， 直线的斜率为， ， . （ii）法一：如图，作出符合题意的图形， 由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 法二：由已知得， ， ， （舍）或， 直线的方程是， 直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安加德学校2025—2026学年度上期高2024级期末模拟考试（1月月考） 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 用简单随机抽样的方法从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，其中某一个体“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 2. 从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，设，，，则向量用 为基底表示为 （ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（ ） A. B. C. D. 5. 直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知点，，，且动点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点是，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过，两点作直线的垂线，垂足分别为，．若，则直线斜率（ ） A. B. C. D. 8. 已知异面直线、成，其公垂线段为，，长为的线段的两端点分别在直线、上运动，则中点的轨迹为（ ） A. 双曲线 B. 椭圆 C. 圆 D. 抛物线 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下一面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”；事件为“第一次记录的数字为奇数”；事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件是相互独立事件 B. 事件与事件是互斥事件 C. D. 10. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（ ） A. 四面体是鳖臑 B. 与所成角的余弦值是 C. 点到平面的距离为 D. 点到直线的距离为 11. 已知点为双曲线右支上一点，，为双曲线的两条渐近线，点，在上，点，在上，且，，，，为坐标原点，记，的面积分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线：，：，若两直线垂直，则______. 13. 如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则______. 14. 如图，在直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点、为椭圆上位于轴上方的两点，且，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知点和直线点是点A关于直线的对称点. （1）求点的坐标； （2）为坐标原点，且点满足.若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围. 16. 如图，已知正三棱柱分别为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 17. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． (1)求第七组的频率； (2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求． 18. 已知四棱锥的底面是正方形，且，，二面角的大小为，M，N分别是的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）在棱上是否存在点G，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． （1）求抛物线的方程； （2）若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $