精品解析：浙江宁波市三锋联盟2025-2026学年高一下学期6月期末练习数学试题

高一数学学科期末练习 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设为坐标原点， ， 所以点的坐标为. 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算及共轭复数的概念即可求解. 【详解】，所以共轭复数为. 故选：B. 3. 如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据斜二测画法可知，，又，所以，所以 4. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球（ ） A. 8个 B. 10个 C. 12个 D. 14个 【答案】C 【解析】 【详解】设袋中红球有个， 利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到红球的概率约为0.6， 由题意可得：，解得， 所以袋中约有红球12个. 5. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】若，则或，所以A错误； 若，则或，所以B错误； 若，则或与相交，所以C错误； 若，根据线面垂直的性质定理可知，，所以D正确. 6. 已知甲箱内放有形状、大小、质地都相同的6张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，6，从甲箱内有放回地依次抽出两张卡片，记录卡片上的数字，记“两张卡片上数字都是奇数”为事件，“两张卡片上数字都是偶数”为事件，“两张卡片上数字之积为偶数”为事件，“两张卡片上数字之和为奇数”为事件，则（ ） A. 事件与是对立事件 B. 事件与互斥 C. 事件与是对立事件 D. 事件与互斥但不对立 【答案】C 【解析】 【详解】选项A：事件A（两奇）和事件B（两偶）之外还有一奇一偶的情况， 故事件与不是对立事件，A错误； 选项B：当两张卡片上数字为一奇一偶时，事件D发生， 此时两张卡片上数字乘积一定是偶数，即C也会发生，二者不互斥，B错误； 选项C：事件A：两张卡片上数字都是奇数就是两张卡片上数字乘积为奇数， 其对立面为两张卡片上数字乘积不为奇数，即为偶数， 即为事件C，两个事件覆盖所有可能情况，且不可能同时发生，是对立事件，C正确。 选项D：当两张卡片上数字都是偶数时，事件B发生， 此时两张卡片上数字之积一定为偶数，即C也会发生，二者不互斥，D错误. 7. 如图所示，为测量一条河流的宽度，选取了与河宽在同一垂直平面内的两个观测点，，利用无人机在点处测得河岸点的俯角为，河岸点的俯角为，无人机沿方向飞行千米到达点，测得河岸点的俯角为，则（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】D 【解析】 【分析】由题目中条件分别在和中利用正弦定理解方程组可得. 【详解】根据题意可知， 在中，利用正弦定理可得，所以； 又易知， 在中，利用正弦定理可得，所以； 又，因此可得， 因此. 故选：D 8. 某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为，则得到的球的表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据圆台的结构特征和边角关系求出圆台上下底面的半径，然后求出圆台的高，然后将等腰梯形补成等边三角形求出内切圆半径，即可求出球的表面积的最大值. 【详解】设圆台的上、下底面的半径分别为，，则， 易知圆台的轴截面是一个等腰梯形，又母线与底面所成的角为，则等腰梯形的底角为． 由于，即，解得，， 则圆台的高为，将梯形补成边长为10的等边三角形， 所以该等边三角形的内切圆的半径为， 又，所以圆台加工成一个球体的半径最大值为， 所以球的表面积最大值为． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标运算求解判断A；根据向量垂直的坐标运算求解判断B；根据数量积的坐标运算求解判断C；根据投影向量公式求解判断D. 【详解】由，得，解得，A正确； 由，得，解得，B错误； 由，得，解得，所以，C正确； 当时，，， 所以在上的投影向量为，D正确． 故选：ACD． 10. 已知一组数据，，，…，（），则下列说法正确的是（ ） A. 该组数据的极差为 B. 该组数据的70%分位数为 C. 剔除，后得到的新数据的平均数小于原数据的平均数 D. 剔除，后得到的新数据的方差小于原数据的方差 【答案】AD 【解析】 【分析】利用极差、百分位数、平均数和方差的定义分析计算即可. 【详解】该组数据的极差为，A正确； 因为，所以该组数据的70%分位数为，B错误； 原数据的平均数为，新数据的平均数为，无法确定与的大小，C错误； 剔除数据，后得到的新数据的波动变小，所以方差变小，Ｄ正确． 11. 如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为 C. 点到平面的距离为定值 D. 当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时， 【答案】AC 【解析】 【分析】证明出平面，结合线面垂直的性质可判断A选项；取的中点，连接、、、，分析可知过点、、的平面截该正方体所得的截面为梯形，计算出其面积，可判断B选项；证明出平面，可判断C选项；分析可知当时，直线与平面所成角的正弦值取最大值，结合等腰三角形三线合一可求出的长，可判断D选项. 【详解】对于A选项，连接、、， 因为平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，、平面，所以平面， 又平面，所以，A正确； 取的中点，连接、、、， 因为、分别为、的中点，所以，且， 因为，，故四边形为平行四边形，所以， 所以，所以过点、、的平面截该正方体所得的截面为梯形， 又，，，同理得， 过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、， 由等腰梯形的几何性质可知， 又因为，，故，故， 在等腰梯形内，因为，，， 故四边形为矩形，故，所以， 故， 故，故B错误； 对于C选项，连接、、、， 因为、分别为、的中点，所以， 因为，，故四边形为平行四边形，所以， 所以，因为平面，平面，故平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，C对； 对于D选项，设点到平面的距离为定值，设直线与平面所成角为， 则，故当取最小值时，即当时，的长取最小值，此时取最大值， 连接、，则，同理可得，， 故当为的中点时，，此时，D错. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机事件与对立，与相互独立，若，则___________. 【答案】0.18## 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式求出，根据独立事件的概率公式求出． 【详解】因为与对立，所以， 又与相互独立，所以． 故答案为：0.18． 13. 已知三棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，点Q在上（不同于点E），则异面直线与所成角的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件证明平面，结合线面垂直定义可得，由此可得结论. 【详解】如图所示，连接， 由已知，，点为的中点， ，，又，平面， 所以平面，又平面ABE， 所以，故异面直线与所成的角的大小为． 14. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则__________，的最小值为__________． 【答案】 ①. 3 ②. ## 【解析】 【分析】第一空，利用余弦定理角化边，再化简计算即得；第二空，利用余弦定理将用表示，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】在中，由及余弦定理，得 ，因此； ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：3； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足 （1）求的值； （2）在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）令且，根据已知等量关系得，进而求复数的模； （2）由已知有，结合其所在象限列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 令且，则， 所以，则，可得， 所以，则； 【小问2详解】 由， 故对应点在第三象限，则， 所以，即. 16. 如图，在梯形中，，，为线段上靠近点的三等分点，为线段的中点． （1）用向量，表示； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据几何图形，结合向量的加法和减法运算公式，即可求解； （2）首先用基底表示向量和，再代入数量积的运算律公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，， ， 所以． 【小问2详解】 因为，，所以， 因为，，， 所以 ． 17. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式化简，结合正弦定理可得角； （2）根据正弦定理进行边角互化，结合三角函数性质可得最值. 【小问1详解】 由已知， 即， 又在中，， 则， 可得，即， 又由正弦定理可知， 即， 又， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得，， 则， 又在中，， 即， 由，，则， 所以当，即时，取最大值为. 18. 某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的分位数； （3）从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率的性质求 ，再根据平均数运算求解； （2）分位数表示频率分布直方图中从第一组开始往后累加的矩形面积之和为0.4, 运算即可求解. （3）先根据分层抽样求参赛成绩在的人数，再结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 第一至第五组对应的频率分别为；； ；；， 所以，解得， 所以参赛歌手的平均成绩为分. 【小问2详解】 由，， 得参赛歌手成绩的分位数为分. 【小问3详解】 由，得这6人中参赛成绩在的人数为人，分别记为，，，； 在的人数为人，分别记为，. 在这6个人中抽取2个人，共，，，，，，，，，，，，，，，15个基本事件， 这2名歌手比赛成绩在和内各1人，共，，，，，，，，8个基本事件， 故这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率为. 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，，点E是棱CD上的一点（不同于C，D两点）. （1）求证：平面平面PCD； （2）若，求二面角的正切值； （3）若直线PB与平面PAE所成角的正弦值为，求DE的长. 【答案】（1）证明见解析 （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理计算得，由勾股定理得，再由线面垂直性质定理证明，再由面面垂直判定定理证明即可； （2）因为线面垂直判定定理得平面PCD，再证明平面AFG，因为，所以为二面角的平面角，计算即可； （3）推导平面PAE，所以为直线PB与平面PAE所成的角，计算和，由正弦定理计算即可. 【小问1详解】 证明：因为，，， 所以，， 由余弦定理得， 所以，所以， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又，PA，平面PAC，因此平面PAC， 而平面PCD，所以平面平面PCD. 【小问2详解】 取PC的中点F，过点F作，垂足为G，连接AF，AG，如图所示. 因为，所以，，， 由（1）知平面PAC，而PC，平面PAC，所以，， 因为，CD，平面PCD， 所以平面PCD，又平面PCD，所以， 因为，，AF，平面AFG， 所以平面AFG，又平面AFG，所以， 所以为二面角的平面角. 因为，所以，， 所以， 所以，所以， 所以二面角的正切值为3. 【小问3详解】 在平面ABCD内，过点B作，垂足为O，连接PO，如图所示. 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又，PA，平面PAE，所以平面PAE， 所以为直线PB与平面PAE所成的角. 所以，解得， 所以，所以，， 所以， 又在中，由正弦定理得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学学科期末练习 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球（ ） A. 8个 B. 10个 C. 12个 D. 14个 5. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知甲箱内放有形状、大小、质地都相同的6张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，6，从甲箱内有放回地依次抽出两张卡片，记录卡片上的数字，记“两张卡片上数字都是奇数”为事件，“两张卡片上数字都是偶数”为事件，“两张卡片上数字之积为偶数”为事件，“两张卡片上数字之和为奇数”为事件，则（ ） A. 事件与是对立事件 B. 事件与互斥 C. 事件与是对立事件 D. 事件与互斥但不对立 7. 如图所示，为测量一条河流的宽度，选取了与河宽在同一垂直平面内的两个观测点，，利用无人机在点处测得河岸点的俯角为，河岸点的俯角为，无人机沿方向飞行千米到达点，测得河岸点的俯角为，则（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 8. 某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为，则得到的球的表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，在上的投影向量为 10. 已知一组数据，，，…，（），则下列说法正确的是（ ） A. 该组数据的极差为 B. 该组数据的70%分位数为 C. 剔除，后得到的新数据的平均数小于原数据的平均数 D. 剔除，后得到的新数据的方差小于原数据的方差 11. 如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为 C. 点到平面的距离为定值 D. 当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机事件与对立，与相互独立，若，则___________. 13. 已知三棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，点Q在上（不同于点E），则异面直线与所成角的大小为______． 14. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则__________，的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足 （1）求的值； （2）在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 16. 如图，在梯形中，，，为线段上靠近点的三等分点，为线段的中点． （1）用向量，表示； （2）若，求． 17. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求； （2）求的最大值. 18. 某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的分位数； （3）从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率. 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，，点E是棱CD上的一点（不同于C，D两点）. （1）求证：平面平面PCD； （2）若，求二面角的正切值； （3）若直线PB与平面PAE所成角的正弦值为，求DE的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $