浙江省湖州市2025-2026学年高一下学期6月教学质量监测数学试题

2025学年第二学期教学质量监测试卷 高一数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B B C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 BCD BD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.4π 13.18+2√5 14 16 81 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分13分) 为提升同学们的环保意识，某校高一年级举行了一次环保知识竞赛，为了解本次竞赛的 情况，随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计分析，绘制了如下的频率分布直方 图 频率组距 0.030 0.020 0.015 0.010 0 405060708090100得分 (1)若根据这次竞赛成绩，学校将对成绩前20%的学生进行表彰，估计获得表彰同学的最 低分数：（结果保留1位小数) (2)若采用按比例分层抽样的方法，从得分在[80,90)，[90,100]的两组中共抽取5人，再 从这5人中随机抽取2人进行座谈交流，求这2人得分均在[80,90)的概率 解：(1)由于0.1+0.15+0.2+0.3=0.75<0.8,0.1+0.15+0.2+0.3+0.15=0.9>0.8， 高一数学答案第1页共6页 所以第80百分位数在区间[80,90)中， …2分 第80百分位数为80+10×08-0.75 83.3， 0.9-0.75 所以获得表彰同学的最低分数为83.3分 …6分 (2)[80,90)与[90,10]的频率之比为015=3，所以5人中有3人得分在[80,90)，记为 0.12 4,☑，☑3，有2人得分在[90,100]，记为，b…9分 设事件A=“座谈交流的2人得分均在[80,90)”， 由于2={a2,443,4h,4b2,a43,ab,ab,4sh,b,bb}，A={aa,44,aa}’ 所以PA=n4-3 …13分 (2)10 16.(本题满分15分) 在△ABC中，BC=2,AC=1+V3,AB=V6,D在AB上，CD平分∠ACB. (1)求∠ACB的大小： (2)求CD的长. 解：(1)由余弦定理，cos∠4CB=1C2+BC2-AB ,…2分 2AC.BC -0+5)2+22-(621 一2，所以ACB=亚 3 …6分 21+V3)×2 (2)解法1：由于SAABC=S△4CD+SAECD, …8分 即4cBc.in4∠cB-4cCD-m∠4cD+BccD.CD, 前ua425a+-c02c0分 所以CD=2 …15分 解法2：在AMBC中，由正弦定理，BC- AB sinA sin∠ACB' 26 即nA,所以sim4= 2 …8分 2 高一数学答案第2页共6页 又BC<AB,所以∠A<∠ACB,所以A= 4 (或cosA=4B+AC-BC2-2) 2AB.AC 2 CD AC CD 1+3 在A4CD中，∠ADC=7π， 由正弦定理， 12 sinA sin∠ADC ,即2 6+V2, 2 4 所以CD=2 …15分 17.(本题满分15分) 己知平行四边形ABCD,AB=2W2,AD=4,BE=3EC,记AB=a,AD=b,c=1+xb, 且a.b=-8. (1)若x=1,求c.DE的值： (2)当c取最小值时，求c与夹角的余弦值. 解：解法1：(1)Di=DC+C2,B=3BC,C正=-五， 所以D正=a-五， …3分 因为a-i=ab1cos<a,b-8, 所以cos<ai-5,得<ai3. 2 4 所以c-D哑-=a+iG-b=@2+3ai-而2=-2 …8分 4 (2)1c2=(a+xb)2=(@2+2xa.b+x2(⑥2=16x2-16x+8, …10分 当x时，取最小值为2 -6=a+06=0, 所以c⊥五，即c与b的夹角是90°，夹角的余弦值为0. …15分 高一数学答案第3页共6页 解法2：(1)因为a.b=a·bcos<a,b>=-8, 所以o,5,故<a} 2 以A为原点建立如图直角坐标系， D(4,0),B(-2,2),C(2,2), …3分 因为BE=3EC,所以C(1,2),a=(←2,2)，b=(4,0), 当x=1时，c=(2,2),DE=（-3,2) 所以cDE=-2. …8分 (2)c=(-2+4x,2) 所以c=16x2-16x+8, …10分 当x方时，取最小值为2. 此时c=(0,2),c.五=0， 所以c⊥b,即c与b的夹角是90°，夹角的余弦值为0.… …15分 18.(本题满分17分) 己知偶函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)的图象与直线y=2x-1有且只有一个公共点. (1)求函数f(x)的解析式： (2)若0<x1<x,且gf(=gf(x,求4x+3的最小值： (3)将函数F)的图象向右平移一个单位得到函数g()的图象，并令函数)=8国若 1 2k 3冰=0(a>)有三个不同的实数解，求实数k的取值范围. 解：(1)由f(x)为偶函数，知b=0, …2分 由f(x)与y=2x-1只有一个交点， 知方程x2+bx+c=2x-1即方程x2-2x+(c+1)=0有且只有一个解， 所以△=(-2)2-4(c+1)=0,解得c=0, 所以fw)=x2. …5分 高一数学答案第4页共6页 (2)由gf(s=|gf(x,,即gx=gx,2； 即2gx=2gx, 又0<x1<x2,所以1gx1+lgx2=0,即x1x2=1, ……8分 由于4x1+x2≥2V4xx=4,当且仅当4x1=x3=2时取到等号， 所以4x1+x2的最小值为4. …10分 (3)由题意，g)=fc-)=K-),h)-83国-x-2+ 令t=a*-3(a>1), 则方-0动=0可化1-片兰-成=0 '11 即t2-(3k+2t+(2k+1)=0(t≠0)， …13分 考虑到函数t=c-3在(-o,loga3)上单调递减， 在(1oga3,+∞)上单调递增， 其草图为 所以要使方程口识=0有三个不洞的实数 只需方程t2-(3k+2)t+(2k+1)=0在区间(0,3)和[3，+∞)内各有一个解， …15分 设p)=t2-(3k+2)t+(2k+1),则)在区间(0,3)和[3，+0)内各有一个零点， 9(0)=2k+1>0 则 )=9-36+2+2+0得>号 或3)=0（另一个零点在(0,3）内)，得k=4 综上 …17分 高一数学答案第5页共6页 19.(本题满分17分) 如图，五面体ABCDEF中，AEI/BFIICD,AE=2,BF=4,CD=6,△ABC是边长为 2的等边三角形，∠EAB=∠EAC=. D (1)求证：AE⊥BC: (2)若a-行，求直线即与平面A5C所成角的正弦值： π2π E (3)若a∈ 3’3 求该五面体的体积V的取值范围， 解析（1)如图1，取BC的中点M,连接EB,EC,MA,ME, 由题意易得△EAB=△EAC,可得EB=EC,M是BC的中点， B 所以ME⊥BC,同理可得MA⊥BC, 所以BC⊥平面MAE, 所以AE⊥BC. …5分 D E 图1 图2 图3 (2)如图2，取BF的中点H,连接AH,EH, 易得EFAH,EHAB,EF=AH=2√5， H到平面ABC的距离即为E到平面ABC的距离为h,…7分 由(1)知即h为△4BM的高，其中AB=2,AM=BM=5.所以h=2S-25_26 AM 3 3 2W6 设直线BF与平面4BC所成角为9，则sin0=h 3 √2…11分 AH2√33 高一数学答案第6页共6页 (3)解法1：如图3，将该五面体补形成三棱柱ABC-C1B1A,…13分 设E到平面ABC的距离为h,由(I)知h为△AEM的高，如图4在四面体E-ABC中， 作ET⊥AM于T,过T作TK⊥AB于K,连接EK,由（1)知BC⊥平面MAE,故BC⊥ET, 所以ET⊥平面ABC,即h=ET,同理可得AB⊥平面KTE, E 所以cosa=AK ,cos∠BAM=4 r.cos=AK AE AF 6 AT' 进一步得cosa=cos∠EAM cos石→cos∠EM= 2 cosa M B 图4 r-i4-号xSac=2h5=2e[5.4]l17分 2 解法2：如图3，将该五面体补形成三棱柱ABC-C,B1A, 过B作BI⊥AE与I,由对称性，易得IC⊥AE, 1C=B=2sina,BC=2→Sasc=V4sina-1∈[V2,3], r=94-4csax=aar454可] …17分 高一数学答案第7页共6页2025学年第二学期教学质量监测试卷 高一数学 注意事项： 1.本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答 2.本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，共4页，全卷满分150分， 考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的： 1.设z=1+i（i为虚数单位)，则z2= A.2i B.-2i C.2 D.-2 2.若a=(-1,2),b=(2,t),a/b,则实数t= A.1 B.-1 C.4 D.-4 3.已知样本数据4,5,5,5,6的方差为s2,样本数据2,2,5,8,8的方差为5,2，则 A.2>52 B.52<52 C.2=2 D.S2与s,2无法确定大小关系 4.设随机事件A,B满足P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(AUB)=0.9,则P(AB)= A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 5.下列命题正确的是 A.过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面平行 B.过直线外一点，有且仅有一个平面与这个直线平行 C.过直线外一点，有且仅有一个平面与这个直线垂直 D.过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面所成的角为π 6.己知a∈(0，元)，3si=cosa+1,则tana= A.3 B.3 4 D.3 7.设f(x)、8(x)、h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)、g(x)、h(x)均 为奇函数，则f(x)+g(x)-h(x)为奇函数：②若f(x)+8(x)、f(x)+h(x)、8(x)+h(x)均 是以T为周期的函数，则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数，则 A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 高一数学试题卷第1页共4页 8.如图，已知二面角a-1-B的大小为π，B,C在直线l上，A在内，且AB⊥AC, 设AB,AC与B所成角分别为Q,6,则sin6+simn6,的值为 A、1 D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. i(i为虚数单位)，则 22 A.3=22 B.al=z C.31+z22=0 D. 2二巧 10.若实数x>0,y>0,且x+2y=4,则 A.y的最大值为4 B.x2+4y2的最小值为8 一的最小值为6 D.√+V少的最大值为√后 y 11.以1,11，√2，√2，√2为棱长的四面体的体积可以是 B. 6 12 12 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数y=sim (-的最小正周期为▲ 13.将一个棱长为2cm的正方体木料沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥后，剩余几何体的 表面积为▲一cm. 14.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比 对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为乙在每局中获胜的概率为； 且各局胜负相互独立.当比赛停止时，一共打满6局的概率为▲ 高一数学试题卷第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分13分) 为提升同学们的环保意识，某校高一年级举行了一次环保知识竞赛，为了解本次竞赛 的情况，随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计分析，绘制了如下的频率分布直 方图. 频率组距 0.030 0.020 0.015 0.010 0'405060708090100得分 (1)若根据这次竞赛成绩，学校将对成绩前20%的学生进行表彰，估计获得表彰同学的 最低分数：（结果保留1位小数） (2)若采用按比例分层抽样的方法，从得分在[80,90)，[90,100]的两组中共抽取5人， 再从这5人中随机抽取2人进行座谈交流，求这2人得分均在80,90)的概率. 16.(本题满分15分) 在△ABC中，BC=2,AC=1+V3,AB=V6,点D在边AB上，且CD平分∠ACB (1)求∠ACB: (2)求CD的长 17.(本题满分15分) 己知平行四边形ABCD,AB=2√2，AD=4,BE=3EC,记AB=a,AD=五， c=a+xb,且a.b=-8 (1)若x=1,求c.DE的值： (2)当c取最小值时，求c与夹角的余弦值 高一数学试题卷第3页共4页 18.(本题满分17分) 已知偶函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)的图象与直线y=2x-1有且只有一个公共点. (1)求函数f(x)的解析式： (2)若0<x<5,且gf(:)=gf(,求4x+5的最小值： (3)将函数的图象向右平移一个单位得到函数8()的图象，并令函数)=8) 需关于x的方程口-一别十”从=0α>)有三个不同的实数解，求实数k的取值范 围 19.(本题满分17分) 如图，五面体ABCDEF中，AEI/BFICD,AE=2,BF=4,CD=6,△ABC是边长 为2的等边三角形，∠EAB=∠EAC=. D (1)求证：AE⊥BC: (2)若Q=号，求直线BP与平面ABC所成角的正弦值： 元2π (3)若a∈ 3’3 求该五面体的体积V的取值范围. E F B 高一数学试题卷第4页共4页