浙江宁波市三锋联盟2025-2026学年高一下学期6月期末练习数学试题

2025学年第二学期宁波三锋教研联盟期末联考·高一年级数学学科试题 参考答案、提示及评分细则 1.A因为O-OA+AP=(1,4)+(-4,8)=(-3,12),所以点P的坐标为(-3,12).故选A 5(2-i) 2.B中22十D(25=2-i,所以共轭复数为2+i故选B 3.B根据斜二测画法可知，AB⊥AC,又A'B'=A'C=1,所以AB=1,AC=2,所以BC=√/22+12=√5.故 选B. 4C设袋中红球有x个，由题意可得3千。=0.6，解得x=12,所以袋中约有红球12个.放选C 5.D若m∥，m∥a,则n∥a或nCa,A错误：若a⊥3，m⊥3，则m∥a或mCa,B错误；若m∥a,m∥B,则a3 或a与3相交，C错误；若m⊥a,n⊥a,根据线面垂直的性质定理可知，m∥n,D正确.故选D. 6.C由题意，用(x,y)表示两张卡片上的数字，则2={(x,y)x,y∈{1,2,3,4,5,6}冫，则A={(1,1),(1,3), (1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)},B={(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2), (6,4),(6,6)},显然事件A与B互斥，但不对立，A错误；D={(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6), (5,2),(5,4),(5,6),(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5),(6,1),(6,3),(6,5)},C=BUD,所以事件C 与D不互斥，B错误；事件A与C是对立事件，C正确；事件B与C不互斥，D错误.故选C. 7.D由题意可知，∠CAD=Y-a,∠ABC=B,∠CAB=x-a,∠ACB=a-B,在△ACD中，由正弦定理得 RD2·所以Ac-0--学名在△Ac中，2R CD AB sin∠CAD 所以AB=C受-盟品放适D AC sin∠ABC 8.A设圆台的上、下底面的半径分别为n,r2(2>n),则r+n=6,易知圆台 D 的轴截面是一个等腰梯形，又母线与底面所成的角为60°，则等腰梯形的底角 ∠DAB=60°.如图所示，在Rt△ADE中，2(r2-n)=8,即r2-n=4,解得 =1,2=5,则DE=8sin60°=4√3，将梯形ABCD补成△PAB,则△PAB为边 660° 长为10的等边三角形，所以△PAB的内切圆的半径为r=号0-了=A1EO ,又罗>，所以圆台加工成一个球体的半径最大值为3，所以球的表面积最大值为R=1四严故 选A. .ACD由a/b,得4×1-2m=0,解得m=2,A正确：由a1b,得4m十2X1=0,解得m=一2，B错误：由a ·b=-2,得4m+2×1=-2,解得m=-1,所以|b=√(-1)2+1平=√2，C正确：a在b上的投影向量为 a·b.b Tb·Tb=2b,D正确.故选ACD 10.AD该组数据的极差为xn一2：，A正确：该组数据的70%分位数为，B错误；原数据的平均数为元 2 =西十十十十血，新数据的平均数为7=十西十十西，无法确定元与7的大小，C错误：剔除数 10 8 据x,后得到的新数据的波动变小，所以方差变小，D正确.故选AD, 高一数学学科试题·参考答案第1页（共4页） 26-L-635A 11.AC因为AD1⊥平面ABB1A,AB1C平面ABB1A,所以AD⊥AB1,又AB⊥AB1,AB∩AD1=A, AB,A1D1C平面ADB,所以AB1⊥平面ADB,又BDC平面ADB,所以BD⊥AB,A正确；取 AD的中点G,连接EG,GA,EC,易得EG∥AC,所以过点E,A,C的平面截该正方体所得的截面为梯形 BGAC.又BG=亿，AC=22,AGCB-5,易得持形BGAC的高为号所以我面面积为2士2亚×是 2 号，故B错误：因为点E,F分别是CD,DD的中点，易得EF/AB,又EPC平面ABC,ABC平面 ABC,所以EF∥平面ABC,又点P是线段EF上的一动点，所以点P到平面AB1C的距离为定值，故C 正确；因为点P到平面AB,C的距离为定值，所以当CP最小时，直线CP与平面AB]C所成角的正弦值取 得最大值，此时P是EF的中点，CP-3,放D错误放选AC 12.0.18因为A与B对立，所以P(B)=1-P(A)=1-0.4=0.6,又B与C相互独立，所以P(BC)= P(B)P(C)=0.6×0.3=0.18. 13.如图所示，连接BE,因为AE⊥PC,BE⊥PC,AE∩BE=E,所以PC⊥平面 ABE,又BQC平面ABE,所以PC⊥BQ,故异面直线BQ与PC所成的角的大小 为受 14.3(2分) 2号(3分)因为a-osC-osR.由余弦定理得3=C-cmsB =6.Q+B-C-c·2+位，整理得3a2=2-2,所以=3，所以cosA 2ab 2ac 2+c2-a1 +c2--c2 2bc 2bc -会+念会系-2号，当且仅当会-器即反：时等号成立，所 3 以sA的最小值为2号 15.解：(1)令x=a+bi,a,b∈R,则(1+i)(a+bi)=(a一bi)+1, 所以a一6+a+i=a十1一i,则a一6二a+1可得 =2, …… 4分 la+b=-6, b=-1, 所以之=2一i,则=5.…6分 (2)由名=2+i-3+(m2-3m+1Di=2-3+(m2-3m+2)i, m m 23 故对应点(2-品m-3m十2)在第三象限，则 0, … 10分 m2-3m+2<0, .3 0< 所以 即1<m< 13分 1<m<2, 16.解：1)油题意可知D心-3A本，元=号元-=2花， …2分 C市-成-=-号(B+Ai+D心=-号2AB+Ad)=-Ai-A市…5分 高一数学学科试题·参考答案第2页（共4页） 26-L-635A 所以成-EC+C市-2A店-A店-AD-A花-AD. 7分 (2)因为DC/AB,∠D-号，所以∠DAB=, 9分 因为AC=AD+D元=AD+3Ai,AB=1,AD=号， 3 11分 所以萨.AC-(A市-号AD)·(ò+3A=3A范-A店·A市-A市 =3x1-×1×号×w5-合×（是）》°-￥. ……15分 17.解：(1)因为bcos B=√2sin2B,所以bcos B=2W2sinB·cosB, …2分 又△AC为镜角三角形，放omsB≠0，则B2E=品 sin A 因为a=2,所以inA=夏 2 4分 又A∈(0，)，故A=平. 5分 (2由正弦定理得品BCA=2厄。 则b=2√/2sinB,c=2√2sinC. 7分 由(1)知A=至，则C--B, 所以(W3-1)b+√2c=2√2(5-1)sinB+4sinC 9分 =(26-2/2)simB+4sm(3-B） =26sinB+2W2cosB=4/2sin(B+否），… 11分 0<B<受， 因为△ABC为锐角三角形，所以 所以平<B<受， 所以登<B叶吾< 13分 所以当B+吾=受时，即B=号时，(5-1)b十2c取得最大值4W2.…15分 18.解：(1)第一至第五组对应的频率分别为0.010×10=0.1：0.015×10=0.15： 0.040X10=0.4;aX10=10a;0.005X10=0.05,…2分 所以0.1十0.15+0.4+10a十0.05=1，解得a=0.030,…3分 所以参赛歌手的平均成绩为0.1×55+0.15×65+0.4×75+0.3×85+0.05×95=75.5分.…5分 (2)由0.1+0.15=0.25<0.4,0.1+0.15+0.4=0.65>0.4，…6分 得参赛歌手成绩的40%分位数为70+0.40.25X10=73.75分.…9分 0.4 (3)由0.1：Q.05=2:1,得这6人中参赛成绩在[50,60)的人数为6×号=4人，分别记为a,6c,d:在[90， 100]的人数为6-4=2人，分别记为x,y.…11分 高一数学学科试题·参考答案第3页（共4页） 26-L-635A 在这6个人中抽取2个人，共(a,b),(a,c),(a,d),(a,x),(a,y),(b,c),(b,d),(b,x),(b,y),(c,d),(c,x), (c,y),(d,x),(d,y),(x,y),15个基本事件，… …14分 这2名歌手比赛成绩在[50,60)和[90,100]内各1人，共(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),(d,x), (d,y),8个基本事件，…16分 故这2名歌手比赛成绩在[50,60)和[90,10]内各1人的概率为是 …17分 19.(1)证明：因为BC∥AD,AD⊥AB,AB=BC=1,所以AC=√2，∠CAD=45°， 由余弦定理得CD=/AC十AD-2AC·ADcos45=√2，所以AC+CD=AD,所以AC⊥CD, …2分 因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD,…3分 又PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,因此CD⊥平面PAC,…4分 而CDC平面PCD,所以平面PAC⊥平面PCD.…5分 (2)解：取PC的中点F,过点F作GF⊥PE,垂足为G,连接AF,AG,如图 所示 因为PA=AC=√2，所以PC⊥AF,AF=1,PF=1, 由(1)知CD⊥平面PAC,而PC,AFC平面PAC,所以CD⊥PC,CD⊥AF, 因为CDOPC=C,CD,PCC平面PCD,所以AF⊥平面PCD,又PEC平面B C PCD,所以PE⊥AF, 因为PE⊥GF,AF∩GF=F,AF,GFC平面AFG,所以PE⊥平面AFG,又AGC平面AFG,所以AG⊥PE, 所以∠AGF为二面角C-PE-A的平面角.…8分 √2 因为CE=ED,所以CE号，PE√2+( 39,所以s∠CPE- C 2 PE 32 3P℉， 2 所以GF=专，所以tLAGF-品=3 所以二面角C-PE-A的正切值为3.…11分 (3)解：在平面ABCD内，过点B作BO⊥AE,垂足为O,连接PO,如图所示. 因为PA⊥平面ABCD,BOC平面ABCD,所以PA⊥BO, 又PA∩AE=A,PA,AEC平面PAE,所以BO⊥平面PAE, 所以∠BPO为直线PB与平面PAE所成的角.… …13分 所以nCBO器岩得解得B0台 ……14分 所以sinBA0器专，所以co∠DAE=sn∠BAO-专m∠DAE= 5, 所以sm∠AED血(x∠DAE-∠ADE)=sin(∠DAE+∠ADE)=是X号+告×号-7华 2 210 DE AD 2×号 又在△AED中，由正弦定理得s乙DAE sin/AED'所以DE4Ds<DAEQ 62 sin∠AED 71 …17分 72 10 高一数学学科试题·参考答案第4页（共4页） 26-L-635A绝密★考试结束前 /...ep[f[fy gg+~N 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。 4.考试结束后，只需上交答题纸。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知A(1,4),AP=(-4,8),则点P的坐标是 A.(-3,12)》 B.(-3,-14) C.(-4,-14) D.(-4,12) 2.复数2的共轭复数为 A.1+2i B.2+i C.-1+2i D.-2-i 3.如图，用斜二测画法作出△ABC的直观图△A'B'C',若A'B'=A'C'=1,则BC A.22 B.√5 C.2 n号 4.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次 /O(A) B 摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后， 发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球 A.8个 B.10个 C.12个 D.14个 5.设，n是两条不同的直线，α，3是两个不同的平面，则下列结论正确的是 A.若m∥n,m∥a,则n∥a B.若a⊥B,m⊥B,则m∥a C.若m∥a,m∥B,则a∥3 D.若m⊥a,n⊥a,则m∥n 6.已知甲箱内放有形状、大小、质地都相同的6张卡片，分别写有数字1,2,3,4,5,6，从甲箱内有放 回地依次抽出两张卡片，记录卡片上的数字，记“两张卡片上数字都是奇数”为事件A,“两张卡 片上数字都是偶数”为事件B,“两张卡片上数字之积为偶数”为事件C,“两张卡片上数字之和为 奇数”为事件D,则 A.事件A与B是对立事件 B.事件C与D互斥 C.事件A与C是对立事件 D.事件B与C互斥但不对立 SFLM高一数学学科第1页（共4页） 7.如图所示，为测量一条河流的宽度，选取了与河宽AB在同一垂直平面内的两个观测点C,D, 利用无人机在点C处测得河岸点A的俯角为α，河岸点B的俯角为3，无人机沿CE方向飞行 m千米到达点D,测得河岸点A的俯角为Y(y>a>3),则AB A.msin(y)sima-2千米 -E sin ysin B B.msin ysin(千米 sin(a-β)sin3 C.msin(-g》sin2千米 河岸A河宽 河岸B sin Ysin(y-a) D.sin sin(千米 sin(y-a)sin B 8.某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体.已知圆台的上、下 底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为60°，则得到的球的表面积的最大 值为 B.48π C.24π n号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量a=(4,2),b=(m,1),则下列说法正确的是 A.若a∥b,则m=2 以若ab,则阳=号 C.若a·b=一2，则|b=√2 D.当m=0时，a在b上的投影向量为2b 10.已知一组数据x1,2,x3,…,xo(x1<x2<…<xo),则下列说法正确的是 A.该组数据的极差为x1o一x1 B.该组数据的70%分位数为x C.剔别除x1,x1后得到的新数据的平均数小于原数据的平均数 D.剔除，x后得到的新数据的方差小于原数据的方差 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1CD1中，E,F分别是C1D1, D DD,的中点，P是线段EF上的一动点，则下列说法正确的是 A.BD1⊥AB B.过点E,A,C的平面截该正方体所得的截面面积为4√2 C.点P到平面AB,C的距离为定值 D.当直线CP与平面AB,C所成角的正弦值取得最大值时，CP-3y区 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机事件A与B对立，B与C相互独立，若P(A)=0.4,P(C)=0.3,则P(BC)= 13.已知三棱锥P-ABC的所有棱长均相等，E为PC的中点，点Q在AE上（不同于点E),则 异面直线BQ与PC所成角的大小为 SFLM高一数学学科 第2页（共4页） 14.已知△ABC的内角A.B,C的对边分别为a,b.c,且30=bsC-sB,则 cosA的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知i是虚数单位，表示之的共轭复数，复数x满足(1十i)·之=十1. (1)求|z|的值； (2)在复平面内，若=乏-3+(m2一3m十1)i对应的点在第三象限，求实数m的取值 m 范围. 16.(本小题满分15分)》 如图，在梯形ABCD中，DC∥AB,DC=3AB=2AD=3,E为线段DC上靠近点D的三等分 点，F为线段BC的中点 (1)用向量AB,AD表示EF: (2)若∠D=牙，求E萨.AC 17.(本小题满分15分)》 记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,bcos B=√2sin2B. (1)求A: (2)求(W3一1)b十√2c的最大值， SFLM高一数学学科第3页（共4页） 18.(本小题满分17分)》 某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，共有100人参赛，将 参赛歌手的成绩（满分100分）分成如下五组：第一组[50,60)，第二组[60,70)，第三组 [70,80),第四组[80,90)，第五组[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求α的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值 作代表)； (2)根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的40%分 4频率 T组距 位数； 0.040 (3)从参赛成绩在[50,60)和[90,100]的歌手中，采用分 层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌 手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在 0.015 0.010F [50,60)和[90,100]内各1人的概率 0.005 o 5060708090100成绩（分） 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,BC∥AD,AD⊥AB,PA=√2，AB=BC=1, AD=2,点E是棱CD上的一点（不同于C,D两点） (1)求证：平面PAC⊥平面PCD: (2)若CE=ED,求二面角C-PE-A的正切值： (3)若直线PB与平面PAE所成角的正弦值为普.求DE的长. SFLM高一数学学科 第4页（共4页）