第八章 立体几何初步章末测试卷高一下学期2025-2026学年必修二

**基本信息** 聚焦立体几何初步核心内容，通过线面关系、体积表面积、球与几何体组合等问题，考查空间观念与推理能力，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|线面平行判定（1）、异面直线成角（2）、球与圆锥组合（8）|基础概念辨析与空间想象结合| |多选题|3题|正方体切割（9）、三棱锥外接球（10）|多选项设计考查推理严谨性| |填空题|3题|正三棱锥体积与外接球（13）、正四棱台表面积（14）|综合计算与空间结构分析| |解答题|5题|线面垂直证明（15）、翻折问题（18）、面面平行判定（19）|分层设计，从体积计算到动态翻折，培养几何直观与创新意识|

■■■■ 2025-2026学年高一数学第，·十 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 目 题；字体工整、笔迹清晰。 3,请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][BJ[C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][CI[D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 前 三、填空题（每小题5分，共15分） 的1 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) E A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) G B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) C D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) D E C A D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 第八章 立体几何初步章末测试卷 一、单选题 1．已知是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．如图，在长方体中，，，则异面直线和所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 3．已知正三棱台的上、下底面的面积分别为和， 侧棱与底面所成角的余弦值为， 则该正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，用斜二测画法得到 的直观图是，，则 （   ） A． B． C． D． 5．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的侧面积与全面积的比是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在正方体中，，，，，分别是，，，，的中点，则下列结论错误的是（    ） A．，，，四点共面 B．平面平面 C．直线与是异面直线 D．直线和所成角的正切值为 7．在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过B，E，F三点的平面记为，则截该正方体所得截面的面积为（     ） A． B． C． D． 8．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的半径等于（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，得到一个几何体．则（   ） A．该几何体的体积为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的外接球半径为 D．该几何体有7个面 10．在三棱锥中，平面，，，，则（   ） A．异面直线与所成的角为 B．点A到平面的距离为 C．二面角的正弦值为 D．三棱锥各顶点均在半径为3的球的球面上 11．如图，是圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（     ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 三、填空题 12．如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______． 13．底面边长为3，侧棱长为2的正三棱锥的体积为__________；若该三棱锥的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为______________． 14．已知正四棱台的上、下底面边长分别是3cm和9cm，侧棱长为5cm，则该棱台的表面积为________． 四、解答题 15．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点． (1)求的体积； (2)求证：平面； (3)求证：平面． 16．如图，在三棱锥中，，，分别为棱，，的中点. (1)求证：平面平面； (2)如果，，为中点.求证：平面平面. 17．如图，在直三棱柱中，，，为中点． (1)证明：平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 18．如图，在平面图形中，四边形为菱形，，将沿边折起，使得点 到达点的位置，连接，得到四棱锥． (1)证明：． (2)设，且平面平面． （i）求 与平面所成角的正弦值； （ii）求点到平面的距离． 19．如图，在正方体中，，，分别为棱，，的中点.    (1)求证：四点共面. (2)设平面平面，求证：. (3)棱，上是否分别存在点，，使平面平面？若存在，求与的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年度高中数学期末考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A A D D D B ACD ACD 题号 11 答案 ABC 1．C 【分析】应用线面平行判断A，应用线面垂直判断D，应用面面平行判定B，应用面面垂直判定定理判断C. 【详解】若，，则可能在内，A选项错误； 当，，不在内，不在内，满足，，但是不平行，B选项错误； 若，则存在，又因为，所以，，则，C选项正确； 若，不在内，不在内，满足，但是，D选项错误. 2．A 【详解】因为，所以是异面直线和所成角或其补角， 所以在中，，所以， 即异面直线和所成角的大小是. 3．A 【分析】设正三棱台的上下底面的中心分别为，证得平面，得到为直线与底面所成的角，求得正三棱台的高，结合棱台的体积公式，即可求解. 【详解】设正三棱台的上下底面等边三角形的中心分别为, 分别连接，过作的垂线，垂足为，则， 因为平面，所以平面， 所以为直线与底面所成的角，所以， 因为正三棱台的上下底面的面积分别为和， 即等边的边长为，等边的边长为， 可得，所以， 因为，可得，所以， 即正三棱台的高， 所以正三棱台的体积为. 4．A 【详解】由斜二测画法可知， ，，， 由余弦定理得 故． 5．D 【详解】设圆柱底面半径为，已知侧面展开图是正方形， 则底面周长等于高，即， 故侧面积，底面积， 圆柱全面积， 故圆柱的侧面积与全面积的比为：． 6．D 【分析】根据线线平行即可判断A；根据面面平行判定定理即可判断B；利用反证法可得矛盾判断C；根据异面直线的几何法找到其角，即可由三角形边角关系求解D. 【详解】对于A，取中点，连接， 由于是的中点，在正方体中可知， 又，，所以四边形为平行四边形，故， 因此，故四点共面，故A正确； 对于 B，如图，连接， 由于均为中点，所以，， 平面，平面，所以平面， 同理平面，，平面， 所以平面平面，故B正确； 对于C，假设与不是异面直线，则两直线共面. 若与相交，则交点在和上， 平面，与平面仅交于点，而，故与不相交； 若与平行，则平面或平面，这与与平面仅交于点矛盾； 所以与是异面直线，故C正确； 对于D，由于，所以， 故为直线和所成角或其补角， 不妨设正方体的棱长为，则， 由于底面，平面，所以， 所以， 所以直线和所成角的正切值为，故D错误. 7．D 【分析】作出辅助线，得到截面图形，并求出面积 【详解】连接，，， 因为E，F分别是棱，的中点，所以， 又，故，，则四点共面， 故截该正方体所得截面为四边形， ，， ，四边形为等腰梯形， 过点分别作，交于点， 则，故， 故，所以截面面积为. 8．B 【分析】根据给定条件，求出圆锥母线及轴截面等腰三角形底角正弦，再利用圆锥及其外接球的关系，结合正弦定理求解. 【详解】由圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，得该圆锥母线长为， 令该圆锥轴截面等腰三角形底角为，则，， 由圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，得该圆锥轴截面等腰三角形外接圆为球的大圆， 由正弦定理，球的半径等于. 9．ACD 【详解】正方体的体积，截去三棱锥体积， 几何体，故A正确； 正方体的表面积， 截去3个直角三角形面积， 新增1个边长为的正三角形面积为， 该几何体的表面积为，故B错误； 该几何体与原正方体外接球相同，正方体外接球直径为， 解得，故C正确； 正方体有6个面，截去一个角后，每个截面多出一条边，整体新增1个面，共7个面， 故D正确． 10．ACD 【分析】由两两垂直的条件，先推导线面垂直，解决A选项异面直线垂直问题；固定体积不变，用等体积法列式求点面距，判断B选项；取等腰三角形底边中点构造棱的两条垂线，找到二面角平面角，解直角三角形求正弦值，判断C选项；利补体法，由体对角线求外接球半径，判断D选项. 【详解】对于A选项，因为平面，平面，所以， 又，，所以平面， 由平面知，故异面直线与所成的角为，故A正确； 对于B选项，显然三棱锥的体积， 而，，记M为中点，连接，由等腰三角形得， 由勾股定理得， 故的面积， 可知点A到平面的距离，故B错误； 对于C选项，连接，，由，，平面， 平面知为二面角的平面角，而， 可得，故C正确； 对于D选项，由两两垂直，可将三棱锥补成长方体， 其长宽高分别为，三棱锥外接球与长方体外接球相同， 外接球直径等于长方体体对角线：，，故D正确． 11．ABC 【分析】根据线面垂直的判定定理，性质定理，结合面面垂直的判定定理得到结果. 【详解】选项A：因为垂直于圆所在的平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面，故选项A正确； 选项B：因为平面，平面， 所以， 因为是圆的直径，且为圆周上不与点，重合的点， 所以，即， 因为，平面， 所以平面，故选项B正确； 选项C：因为平面，平面， 所以， 因为于点，，平面， 所以平面，因为平面， 所以， 因为于点，，平面， 所以平面，故选项C正确； 选项D：平面平面，平面，于点， 假设平面平面，则必有平面， 因为平面，则必有， 因为平面，平面，则有， 因为平面，则必有， 因为垂直于圆所在的平面，， 所以，因为于点， 所以为的中点，由，则为的中点， 又于点，则， 因为是圆的直径， 且为圆周上不与点，重合的点，，推出矛盾. 故假设错误， 选项D错误. 12． 【详解】根据正方体结构，将面以为轴旋转展开，与面在同一个平面内， 易知：要使最小，即为上述所得平面内． 13． / 【分析】先计算底面正三角形面积，再求出底面中心到顶点距离；利用侧棱长结合勾股定理算出正三棱锥的高，最后代入棱锥体积公式求解即可；设外接球半径为，球心在三棱锥高线上，根据球心到底面顶点距离均为半径建立方程解出，再用球表面积公式求解即可. 【详解】如图，设底面的中心为，连接，则球心在直线上，    由几何关系可知，，先将三角形转化成平面三角形， 如图，因为，由勾股定理可得， 所以正三棱锥的体积为； 设球心为，则在的延长线上，且，则，    由勾股定理可得，即， 解得，所以球体的表面积. 14．186 【详解】因为正四棱台的上、下底面边长分别是3cm和9cm，侧棱长为5cm，所以棱台的斜高为， 所以该棱台的表面积为． 15．(1)2 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用锥体体积求解即可； （2）利用线面垂直证明线线垂直，再证明线面垂直； （3）利用线线平行证明线面平行即可. 【详解】（1）因为在四棱锥中，平面， 由，，，， 所以． （2）证明：因为，， 所以， 又平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面． （3）    取的中点为，又为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，即， 又因为平面，平面， 所以平面． 16．(1)因为，分别为棱，的中点，所以， 又因为平面，而平面，所以平面， 同理，，分别为棱，的中点，所以， 又因为平面，而平面，所以平面， 由于和交于点，所以平面平面. (2)因为，为中点，所以， 同理，因为，所以， 在平面中，和交于点，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【分析】（1）根据中位线判断，，然后结合面面平行的判断定理即可判断； （2）根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，从而有平面，然后结合面面垂直的判断定理即可判断. 【详解】（1）略. （2）略. 17．(1)记与交于点，显然为的中点，由D为中点得，    由平面，平面可得平面． (2) (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由得直线与所成角即直线与所成角，由余弦定理计算得到夹角的余弦值； （3）记与交于点N，由等体积法可得B到平面的距离为d，根据直线与平面的定义求得所成角的正弦值； 【详解】（1）略 （2）由得直线与所成角即直线与所成角， 即或其补角为所求角，记为，而由勾股定理得， ，， 由余弦定理可得． （3）记与交于点N，易得，，， 由得，可得的面积， 记点B到平面的距离为d，由等体积法得， 即，可得， 而由平面几何知识显然可得， 记直线与平面所成角为，则．    18．(1)证明：取的中点，连接，，. 由折叠性质得，为等腰三角形，故. 四边形为菱形且，为等边三角形，因此. 又，平面，故平面. 因平面，因此，得证. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）通过证明线面垂直的方法证得. （2）（i）判断 与平面所成角，解直角三角形求得其正弦值. （ii）利用等体积法求得到平面的距离． 【详解】（1）略 （2）（i）由平面平面，平面平面，平面且， 故平面，即为与平面所成的角. 由得，故， 在中，. 等边中，. 在中，，故. （ii）设点到平面的距离为，由等体积法得. 菱形中，，， 故. 三棱锥的高为， 故. 在中，，，， 由余弦定理得， 故， 因此. 由，解得. 19．(1)因为分别是​的中点，所以是​的中位线，得​. 在正方体中，且，所以四边形是平行四边形，得， 因此由平行公理得，两条平行直线确定唯一平面， 所以共面，故四点共面. (2)由（1）分析知​，平面，平面​， 所以平面. 又平面，平面平面， 根据线面平行的性质定理，得，结合（1）中，得. (3) 存在，. 【分析】（1）根据中位线定理及平面的性质可得； （2）先证 平面，再由线面平行的性质可得 ，再结合（1）分析可得； （3）先由可得，再结合（1）的分析得 平面 .再构造平行四边形 ，进而可得 平面 ，再由面面平行的判定定理可得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）存在 点，且时，平面 平面 .理由如下： .   若，由线段成比例，所以. 又（1）分析知，得 ， 平面 ， 平面 ， 由线面平行的判定定理得 平面 . 设 分别为 的中点，连接 ，所以 . 又 分别是的中点，所以且. 因为 分别是的中点，所以，即， 又，所以，由线段成比例，所以且. 由平行公理得 且 ，所以四边形 是平行四边形， 所以 ，且 ，因此 . 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 因为 平面 ， 平面 ，且 ， 平面 ， 由面面平行的判定定理得平面 平面 . 因此，存在 点，且时，平面 平面 . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 立体几何初步章末测试卷 一、单选题 1．已知是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．如图，在长方体中，，，则异面直线和所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 3．已知正三棱台的上、下底面的面积分别为和， 侧棱与底面所成角的余弦值为， 则该正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，用斜二测画法得到 的直观图是，，则 （   ） A． B． C． D． 5．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的侧面积与全面积的比是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在正方体中，，，，，分别是，，，，的中点，则下列结论错误的是（    ） A．，，，四点共面 B．平面平面 C．直线与是异面直线 D．直线和所成角的正切值为 7．在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过B，E，F三点的平面记为，则截该正方体所得截面的面积为（     ） A． B． C． D． 8．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的半径等于（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，得到一个几何体．则（   ） A．该几何体的体积为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的外接球半径为 D．该几何体有7个面 10．在三棱锥中，平面，，，，则（   ） A．异面直线与所成的角为 B．点A到平面的距离为 C．二面角的正弦值为 D．三棱锥各顶点均在半径为3的球的球面上 11．如图，是圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（     ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 三、填空题 12．如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______． 13．底面边长为3，侧棱长为2的正三棱锥的体积为__________；若该三棱锥的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为______________． 14．已知正四棱台的上、下底面边长分别是3cm和9cm，侧棱长为5cm，则该棱台的表面积为________． 四、解答题 15．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点． (1)求的体积； (2)求证：平面； (3)求证：平面． 16．如图，在三棱锥中，，，分别为棱，，的中点. (1)求证：平面平面； (2)如果，，为中点.求证：平面平面. 17．如图，在直三棱柱中，，，为中点． (1)证明：平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 18．如图，在平面图形中，四边形为菱形，，将沿边折起，使得点 到达点的位置，连接，得到四棱锥． (1)证明：． (2)设，且平面平面． （i）求 与平面所成角的正弦值； （ii）求点到平面的距离． 19．如图，在正方体中，，，分别为棱，，的中点.    (1)求证：四点共面. (2)设平面平面，求证：. (3)棱，上是否分别存在点，，使平面平面？若存在，求与的值；若不存在，请说明理由 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $