第八章 立体几何初步 章末综合检测试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 立体几何初步章末综合测试卷，全面覆盖空间几何体、点线面关系等核心知识，通过基础计算、位置关系证明及空间角求解，梯度化考查空间观念与推理能力，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|圆锥体积、斜二测画法、异面直线关系|基础概念与计算，如圆锥侧面积与体积关联| |多选题|3/18|线面平行垂直、正方体中点线面关系|多选项辨析空间位置关系，如正方体中直线与平面平行判定| |填空题|3/15|圆台表面积、线面角正弦值|综合计算，如圆台表面积公式应用| |解答题|5/77|线面平行证明、体积比、二面角|分层设问，如四棱锥中动态点与平面平行时体积比，考查逻辑推理与空间想象|

第八章立体几何初步章末综合测试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知圆锥的侧面积是底面积的倍，且圆锥的底面半径为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（   ） A． B． C． D． 3．已知正三棱柱中，，则该正三棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．已知正方体中，、分别为和的中点，则直线和的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．相交 D．以上都有可能 5．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则m，n是异面直线 D．若m，n是异面直线，，，，，则 6．在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 7．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与直线所成角为90° B． C．直线平面 D．三棱锥的体积为1 11．如图，四面体中，分别为，的重心，则（   ） A．与可能平行 B．若与均为等边三角形，则平面⊥平面 C．平面 D．若与均为等边三角形，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．已知圆台的上、下底面的半径分别为1，2，高为，则该圆台的表面积为______． 13．在长方体中，，面对角线与截面所成的角为，则____. 14．如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 ________ ；二面角的正弦值为 __________ ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. (1)求证：平面； (2)在直线上是否存在点，使得？说明理由. 16（15分）．如图，在三棱锥中，、分别是、的中点，平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若三棱锥的各棱长均为，求它的表面积． 17.（15分）如图，在五面体ABCDEF中，是等边三角形，，， 平面平面是棱DF的中点.    (1)证明：平面ABC． (2)证明：平面ABC． 18（17分）．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值． 19（17分）.如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点， 平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求四棱锥体积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章立体几何初步章末综合测试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知圆锥的侧面积是底面积的倍，且圆锥的底面半径为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥母线长为，则，解得，则高， 因此体积，故B正确． 故选：B. 2．如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由斜二测画法还原梯形，明确线段的等量关系，根据梯形的面积公式，可得答案. 【详解】过作，垂足为，如下图： 由题意可得，， 由斜二测画法，还原可得下图： 易知，，， 所以原梯形面积为. 故选：D. 3．已知正三棱柱中，，则该正三棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知正三棱柱中，， 正三棱柱底面是边长为2的正三角形，高为2， 正三棱柱的底面面积，一个侧面的面积， 正三棱柱的表面积为：． 故选：A. 4．已知正方体中，、分别为和的中点，则直线和的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．相交 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】连接，证明出四边形为梯形，即可得出结论. 【详解】连接. 由、分别为和的中点，得，， 在正方体中，，，故四边形为平行四边形， 所以，，故，， 所以四边形为梯形，又，故直线和相交. 故选：C. 5．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则m，n是异面直线 D．若m，n是异面直线，，，，，则 【答案】D 【详解】对于A，由，得平行、相交或者是异面直线，A错误； 对于B，由，得或，B错误； 对于C，由，得平行、相交或者是异面直线，C错误； 对于D，由，得存在过的平面，则，而， 是异面直线，则是相交直线，又，不在内，则， 又，是内的两条相交直线，因此，D正确. 故选：D. 6．在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线面平行的性质定理可确定Q点位置，再利用等体积转换法，可知只需表示出即可得出比值. 【详解】如图所示，连接对角线交于点，连接. 因为正四棱锥的底面是正方形，所以是的中点. 因为平面，⊂平面，且平面平面，由线面平行的性质得. 因此是的中位线，故是的中点，即. 设正四棱锥的底面积为，高为h，则总体积， 因为 的面积是正方形面积的一半，即 ， 因为是中点，所以到底面的距离为. 所以 , . 故选：C. 7．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找出直线在平面上的射影，从而确定线面角，再通过计算相关线段的长度来求线面角的正弦值. 【详解】在长方体中，平面， 则直线与平面所成的角为，且， 因为，，所以，则． 故选：D. 8．如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用几何关系转化异面直线和所成的角为，再根据三角形性质求解角大小. 【详解】如图所示，取底面圆心（即中点），连接. 因为是中点，是中点，所以是的中位线，得. 因此异面直线和所成的角，等于与所成的角. 圆锥轴截面垂直于底面圆所在平面，交线为. 因为是弧的中点，所以， 由面面垂直的性质定理，得平面. 又平面，因此，是直角三角形，O是直角顶点. 设底面圆半径为，则，直径. 因为轴截面是等边三角形，所以， 由中位线性质得， 在中，，因此 ，得 ， 即异面直线和所成角为. 故选：A. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用空间中的线面、面面关系逐一判断. 【详解】由，得或，A错误； 由，得，B正确； 由，得或相交，C错误； 由，得，D正确. 故选：BD. 10．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与直线所成角为90° B． C．直线平面 D．三棱锥的体积为1 【答案】AC 【详解】A：由正方体的性质可知：平面，因为平面， 所以，因此直线与直线所成角为90°，所以A正确； B：由正方体性质可知：，所以有， 因为，所以不成立，因此B不正确； C：连接，由正方体的性质可得：，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以直线平面，故C正确； D：由正方体的性质可得：平面 三棱锥的体积为，故D不正确. 故选：AC. 11．如图，四面体中，分别为，的重心，则（   ） A．与可能平行 B．若与均为等边三角形，则平面⊥平面 C．平面 D．若与均为等边三角形，则 【答案】BCD 【分析】A选项，假设平行，推出矛盾，A错误；B选项，利用比例关系得到平行关系，得到线面平行；C选项，先得到线面垂直，进而证明面面垂直；D选项，在C基础上，根据锥体体积公式可得两者相等. 【详解】A选项，假设，因为平面，平面， 所以平面，但是与平面显然有交点，故假设不成立，A错误； B选项，如图，取的中点，连接，因分别为，的重心， 则分别过点，所以平面即为平面， 若与均为等边三角形，则⊥，⊥， 又，平面， 所以⊥平面，又平面，故平面⊥平面，B正确； C选项，由B作图知：， 所以，又因平面，平面，故平面，C正确； D选项，易知，所以为等腰三角形， 过点作⊥于点，过点作⊥于点，则， 由C可知，⊥平面，又平面，所以⊥， 又，平面，所以⊥平面， 同理可得⊥平面， 所以，， 又，，所以，D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．已知圆台的上、下底面的半径分别为1，2，高为，则该圆台的表面积为______． 【答案】 【详解】圆台的上底面半径 ，下底面半径 ，高 ， 所以母线长 ， 侧面积 ， 上底面积 ，下底面积 ， 表面积 ． 应填：. 13．在长方体中，，面对角线与截面所成的角为，则____. 【答案】 【分析】过点B作于点P，连接，可证平面，即就是与截面所成的角，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点B作于点P，连接， 因为平面，所以，又，平面， 所以平面，即就是与截面所成的角， ，因为， ， 所以，整理得，得． 应填：. 14．如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 ________ ；二面角的正弦值为 __________ ． 【答案】 【分析】①异面直线与所成角等价于直线与所成角，在中利用余弦定理即可求解；②找到二面角的平面角为，算出的正弦值即可. 【详解】①在正四棱柱中，平行于底面的对角线， 因此异面直线与所成角就等价于直线与所成角， 由于，，所以， 在中，由勾股定理得，，， 因此由余弦定理得， 故异面直线与所成角的余弦值为. ②在正四棱柱中，有平面，因此， 又因为，平面，平面，因此二面角的平面角为， 由于是直角三角形，，，，斜边， 则，故二面角的正弦值为. 应填： 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. (1)求证：平面； (2)在直线上是否存在点，使得？说明理由. 【分析】（1）由题意得，由线面平行的判定即可求证平面； （2）由题意可得平面，由线面垂直的性质可得，所以点与点重合时，得证. 【详解】（1）因为底面为正方形，所以.又平面平面， 所以平面. （2）在直线上存在点，使得，证明如下： 因为底面为正方形，所以， 因为平面，所以， 又平面，平面，，所以平面. 因为平面，所以. 所以当点与点重合时，. 16（15分）．如图，在三棱锥中，、分别是、的中点，平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若三棱锥的各棱长均为，求它的表面积． 【分析】（1）利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）利用面面平行的性质定理可证得结论成立； （3）分析可知该三棱锥为正四面体，利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为、分别是、的中点， 所以是的中位线，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）由（1）可知平面 因为平面，平面平面，所以. （3）若三棱锥的各棱长均为， 则该三棱锥为正四面体，四个面是全等的等边三角形， 一个等边三角形的面积为，故该几何体的表面积为. 17（15分）.如图，在五面体ABCDEF中，是等边三角形，，， 平面平面是棱DF的中点.    (1)证明：平面ABC． (2)证明：平面ABC． 【分析】（1）取棱的中点O，连接．先证得，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理可得平面，则，再，由线面垂直的判定定理即可证得. 【详解】（1）取棱的中点O，连接． 因为O，P分别是棱AC，DF的中点，所以， 且．因为，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以．因为平面，平面，所以平面． （2）因为是等边三角形，且O是棱AC的中点， 所以．因为平面平面， 且平面平面，平面， 所以平面．因为平面，所以． 因为，平面，平面， 且，平面， 所以平面．    18（17分）．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值． 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行； （2）由余弦定理求出，从而由勾股定理逆定理得到，由线面垂直得到，从而证明出结论； （3）作出辅助线，得到直线与平面所成角，求出各边长，求出余弦值. 【详解】（1）连接，因为底面为平行四边形， 为中点，故与相交于， 因为为的中点，则， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为，， 由余弦定理得，即，解得， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，且交于， 所以平面. （3）取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成角， 其中，故， 因为，， 由勾股定理得，故， 由勾股定理得，所以， 即直线与平面所成角的余弦值为． 19（17分）.如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点， 平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求四棱锥体积． 【分析】（1）要证明线面平行，转化为平行四边形，证明线线平行； （2）要证明面面垂直，根据线线，线面垂直关系的转化，转化为证明平面； （3）根据垂直关系，由二面角的大小转化为线线角，从而确定四棱锥的高，确定体积. 【详解】（1）因为且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面平面， 所以平面； （2）由平面，平面，得，连接， 由且， 所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，由平面， 所以平面平面； （3）由平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $