第八章 立体几何初步 章末综合检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 《立体几何初步》章末综合检测，120分钟150分，覆盖平面确定、体积计算等核心知识，通过商场装饰、簸箕制作等情境考查空间观念与推理能力，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|平面确定（第1题）、圆锥体积（第2题）|基础巩固，直接考查概念与公式应用| |多选题|3/18|正方体线面关系（第9题）、三棱台侧面积（第10题）|能力提升，多选项多角度考查空间想象| |填空题|3/15|圆柱体积变化（第12题）、簸箕制作（第14题）|结合实际，体现应用意识| |解答题|5/77|四棱锥线面平行（第15题）、翻折与外接球（第8题）|综合创新，符合高考命题趋势|

第八章《立体几何初步》章末综合检测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A C A D C C A AC ACD BCD 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列条件一定能确定一个平面的是（    ） A．空间三个点 B．两条相交的直线 C．两条相互垂直的直线 D．空间一条直线和一个点 【解析】B 若三点共线，可以确定无数个平面，故不一定能确定一个平面，故A错误； 根据平面基本性质，两条相交直线有且只有一个公共点，能确定一个平面，故B正确； 空间中存在无数异面且互相垂直的两条直线，而异面直线无法确定一个平面，故C错误； 若该点在直线上，则可以确定无数个平面，不能确定唯一平面，故D错误． 2. 已知圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为（     ） A． B． C． D． 【解析】A设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，体积为. 则， 由， 所以， 所以. 3. 如图是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A． B． C． D． 【解析】C 由直观图得到原图，如图所示， 由可知，且， ，所以， 所以的周长为. 4. 已知是两条直线，是两个平面．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解析】A 对于A，由可得，又有，且是两个平面，故，即A正确； 对于B，如图，取，，且，则易得，但得不到，故B错误； 对于C，由，可得或，故C错误； 对于D，如图，设为长方体的两个相对的底面，是长方体的一条竖直和一条水平的棱， 显然满足，但得不到，故D错误. 5. 某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【解析】D 设点到平面的距离为， 根据正方体的性质可知：点到平面的距离为， 因为，所以， 由正方体可得， 所以， 解得，即点到平面的距离为， 又因为平面与平面平行，直绳索的长度为米， 所以点到平面的距离为． 6. 正四棱锥中，侧面与底面所成二面角的余弦值为，则侧棱与底面所成角大小为（   ） A． B． C． D．以上都不对 【解析】C 设与的交点为，连接，则平面. 因为平面，所以，. 则即为侧棱与底面所成角. 过点作，交于，连接. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以， 所以即为侧面与底面所成二面角的平面角，故. 设正四棱锥底面正方形边长为，则，. 在中，，所以，， 在中，， 又，所以. 7. 如图，直三棱柱，平面平面，，，直三棱柱的体积为，则平面与平面所成的角为（ ） A． B． C． D． 【解析】C 直三棱柱，平面平面，平面平面，，平面，得平面， 平面，平面，所以， 由，，得， 直三棱柱的体积为，所以 又，可知平面与平面所成的角为， 因为，所以平面与平面所成的角为. 8. 已知正方形的边长为，将沿对角线翻折，使二面角的大小为，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【解析】A 如图所示，    设正方形对角线、交于原点，原正方形边长为， 因此对角线长，可得：. 翻折后，，的垂直关系不变， 因此二面角的平面角为，结合， 可得为等边三角形，. 由于翻折后四个顶点到的距离均为，因此就是三棱锥外接球的球心，外接球半径，. 结合图形和球的截面性质可得：（为截面圆半径，为球心到截面的距离）， 由：由平面，， 因此平面平面，交线为，是直角三角形（），. 因为是边长为2的等边三角形，到的距离为， 所以到平面的高为，则， 又在中，，，等腰三角形的高为， 所以， 由， 代入得：， 所以， 因此截面面积为：. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与直线所成角为90° B． C．直线平面 D．三棱锥的体积为1 【解析】AC A：由正方体的性质可知：平面， 因为平面， 所以，因此直线与直线所成角为90°，所以本选项结论正确； B：由正方体性质可知：，所以有， 因为，所以不成立，因此本选项结论不正确； C：连接，由正方体的性质可得：，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以直线平面，故本选项结论正确； D：由正方体的性质可得：平面 三棱锥的体积为，故本选项结论不正确； 10. 如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（   ）. A．该三棱台的侧面积为 B．该三棱台的高为 C．该三棱台的体积为 D．若点在棱上，则的最小值为 【解析】ACD 对于A，在等腰梯形中，过向作垂线，垂足为E， 在中， ， 所以等腰梯形的面积为， 所以，所以A正确； 对于B，正三棱台中，取上、下底面的中心，， 连接，，， 则，，高， 所以B错误； 对于C，因为，， 所以三棱台的体积，所以C正确； 对于D，把等腰梯形与展开置于同一平面，连结， 易知，，， 而边的中点到点的距离， 因此当点为线段与的交点时， 的最小值为，所以D正确. 11. 如图一，有一个半径为8的半圆形铁片（铁片厚度忽略不计），将其裁剪成如图二的形状并制成一个带底的封闭圆锥桶（如图三，连接处损耗不计），在该圆锥桶内放入一个注满水的半径为r的小球，下列说法正确的是（   ） A．所制成的圆锥桶的体积为 B．当球内水的体积最大时 C．将球内的水从圆锥顶点倒回圆锥桶内，水面高度一定小于 D．当时，让小球在该圆锥桶内自由运动，则小球能接触到圆锥桶内部的最大面积为 【解析】BCD 对于A，对制成的圆锥桶，设盖子的半径为r，母线长为l， 则，解得， 则圆锥桶的高， 所以圆锥桶的体积，A错误. 对于B，当圆锥桶内能放入最大球，则此球与圆锥的侧面和底面都内切， 设此球的半径为，轴截面如图所示， 由相似三角形知，，解得，B正确. 对于C，此时球内水的最大体积为：， 当圆锥桶内水的高度为时，没有装水的部分是一个底面半径为1，高为的圆锥， 没有水部分的体积， 所以当圆锥桶内水的高度为时，能装的水的体积． 又因为，所以将球内的水倒回圆锥桶内，水面高度一定小于，C正确. 对于D，如图，画出示意图，小球在圆锥桶内自由运动时，在圆锥桶侧面接触到的地方是一个圆台的侧面， 其中E，F，G，J为该圆台的截面上的点，在圆锥桶底面是一个圆， 其中H，K是这个圆的直径，，，， 所以圆台侧面积，底面圆的面积， 所以小球能接触到圆锥桶内部的最大面积， D正确. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个圆柱的体积为100，若将其高扩大为原来的3倍，底面半径缩小为原来的，得到的新圆柱的体积是_________． 【解析】设圆柱的底面半径为，高为，则， 若将其高扩大为原来的3倍，底面半径缩小为原来的，则得到的新圆柱的高为，底面半径为， 所以得到的新圆柱的体积为. 13. 三棱台上下底面为正三角形，，侧面是底角为的等腰梯形，棱台的高为，则与平面所成角的正弦值为______. 【解析】过点作平面的垂线，垂足为，连接， 则与平面所成角为， 因为，侧面是底角为的等腰梯形， 所以等腰梯形的高， 因为， 因为，设点B到面的距离为， 根据，即，解得， 所以与平面所成角的正弦值为. 14. 学校组织学生去工厂参加社会实践活动，任务是利用一块正方形的铁皮制作簸箕，方法如下：取正方形边的中点M，沿折叠，将用胶水粘起来，使得点A、B重合于点E，这样就做成了一个簸箕，如果这个簸箕的容量为，则原正方形铁皮的边长是多少______cm． 【解析】三棱锥中，为中点，连接， ，则， 平面，，得平面， 设正方形ABCD边长为，则，， ，，， 则，则，， ， 得，即. 所以原正方形铁皮的边长是． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【解析】（1）在中，分别是和的中点， ， 又平面平面 平面． （2）由题意得点到平面的距离为2 即三棱锥的高为2， 四边形是正方形， ， 三棱锥的体积为． 三棱锥的体积为． 16. 如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，． (1)证明：平面； (2)若，且与底面所成角的余弦值为．求的长； 【解析】(1)连接，交于点，连接， 因为，所以， 因为四边形是菱形， 所以，又，平面， 所以平面. （2） 取中点，连接， 因为，所以为正三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 由平面，所以，所以，又，即， 设，连接，显然是正三角形的中心， 所以平面，且即为直线与平面所成的角． 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以，则. 17. 已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求证：； (3)求证：． 【解析】（1）因为、、分别是、、的中点，所以，， 又因为底面为矩形，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，所以平面． 因为，、平面，所以平面平面． （2）因为底面为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． （3）因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故. 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点． (1)当为的中点时，求证：平面． (2)若平面， ①试确定点的位置并说明理由； ②求三棱锥的体积． 【解析】（1）证明：如图，取的中点为，连接，． 在中，为的中点，为的中点， ，． 在平行四边形中，为的中点， ，， 且， 四边形为平行四边形， ． 平面，平面， 平面． （2）①如图，连接交于点，连接． 平面，平面，平面平面， ． ． 四边形是平行四边形，为的中点， ， ， ，即点为上靠近点的三等分点． ②在四边形中，，，， ． 取的中点，连接． 是正三角形， ，且． 平面平面，且平面平面，平面， 平面． 为上靠近点的三等分点， 点到平面的距离为． 三棱锥的体积． 19. 如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点在棱上，且平面． (1)求出的值并说明理由; (2)若二面角的正切值为 （ⅰ）求出的长度; （ⅱ）求二面角的正切值. 【解析】（1）连接交于点，连接，如下图所示： 因为平面，又点在棱上，可知平面平面， 因此，所以， 因为，，所以，且， 所以. （2）（ⅰ）取的中点为，连接，如下图所示： 因为是边长为6的等边三角形，所以，且 又平面平面，且平面平面， 因此平面，平面， 所以， 又，分别为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 因此为二面角的平面角， 在直角中，，可得， 又因为，所以. （ⅱ）作，垂足为，作交于点，连接，如下图所示： 同理根据（ⅰ）中分析可知即为二面角的平面角， 由（1）中可得，， 因此， 可得二面角的正切值为. 第 2 页 共 18 页 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章《立体几何初步》章末综合检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列条件一定能确定一个平面的是（    ） A．空间三个点 B．两条相交的直线 C．两条相互垂直的直线 D．空间一条直线和一个点 2. 已知圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为（     ） A． B． C． D． 3. 如图是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A． B． C． D． 4. 已知是两条直线，是两个平面．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5. 某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 6. 正四棱锥中，侧面与底面所成二面角的余弦值为，则侧棱与底面所成角大小为（   ） A． B． C． D．以上都不对 7. 如图，直三棱柱，平面平面，，，直三棱柱的体积为，则平面与平面所成的角为（ ） A． B． C． D． 8. 已知正方形的边长为，将沿对角线翻折，使二面角的大小为，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与直线所成角为90° B． C．直线平面 D．三棱锥的体积为1 10. 如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（   ）. A．该三棱台的侧面积为 B．该三棱台的高为 C．该三棱台的体积为 D．若点在棱上，则的最小值为 11. 如图一，有一个半径为8的半圆形铁片（铁片厚度忽略不计），将其裁剪成如图二的形状并制成一个带底的封闭圆锥桶（如图三，连接处损耗不计），在该圆锥桶内放入一个注满水的半径为r的小球，下列说法正确的是（   ） A．所制成的圆锥桶的体积为 B．当球内水的体积最大时 C．将球内的水从圆锥顶点倒回圆锥桶内，水面高度一定小于 D．当时，让小球在该圆锥桶内自由运动，则小球能接触到圆锥桶内部的最大面积为 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个圆柱的体积为100，若将其高扩大为原来的3倍，底面半径缩小为原来的，得到的新圆柱的体积是_________． 13. 三棱台上下底面为正三角形，，侧面是底角为的等腰梯形，棱台的高为，则与平面所成角的正弦值为______. 14. 学校组织学生去工厂参加社会实践活动，任务是利用一块正方形的铁皮制作簸箕，方法如下：取正方形边的中点M，沿折叠，将用胶水粘起来，使得点A、B重合于点E，这样就做成了一个簸箕，如果这个簸箕的容量为，则原正方形铁皮的边长是多少______cm． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 16. 如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，． (1)证明：平面； (2)若，且与底面所成角的余弦值为．求的长. 17. 已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求证：； (3)求证：． 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点． (1)当为的中点时，求证：平面． (2)若平面， ①试确定点的位置并说明理由； ②求三棱锥的体积． 19. 如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点在棱上，且平面． (1)求出的值并说明理由; (2)若二面角的正切值为 （ⅰ）求出的长度; （ⅱ）求二面角的正切值. ( 第 2 页 共 18 页 ) ( 第 1 页 共 18 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $