2026年天津市中考数学试卷

**基本信息** 2026年天津中考数学试卷以智能产业博览会、《九章算术》等真实情境为载体，分层设置基础运算、空间想象、综合应用试题，覆盖代数、几何、统计核心知识，适配中考对数学眼光、思维、语言的考查要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|实数运算、三视图、科学记数法|结合130000平方米展览面积考查科学记数法，体现数据意识| |填空题|6/18|概率、直线平移、菱形性质|以《九章算术》买羊问题考查方程思想，渗透文化传承| |解答题|7/66|统计分析、圆的性质、函数综合|设计测纪念碑高度（几何直观）和抛物线综合题（模型观念），梯度提升推理与运算能力|

2026年天津市中考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）·【易】计算5+（﹣2）的结果等于（　　） A．﹣7 B．7 C．﹣3 D．3 2．（3分）·【易】如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）·【易】在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）·【易】2026年5月28日，2026世界智能产业博览会在天津开幕，展览面积达130000平方米，创历年之最．将数据130000用科学记数法表示应为（　　） A．0.13×106 B．1.3×105 C．13×104 D．130×103 5．（3分）·【较易】估计1的值在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 6．（3分）·【较易】若点A（x1，﹣2），B（x2，4），C（x3，8）都在反比例函数y的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x3＜x1 7．（3分）·【较易】sin30°﹣cos45°的值等于（　　） A．1 B．0 C．1 D． 8．（3分）·【易】《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”意思是：现有几个人共同买羊，每人出5钱，少45钱；每人出7钱，少3钱．那么人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可以列出的方程为（　　） A．5x+45＝7x+3 B．5x+3＝7x+45 C．5x+45＝7x﹣3 D．5x﹣45＝7x+3 9．（3分）·【易】计算的结果等于（　　） A．2a+2b B． C． D． 10．（3分）·【易】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，与射线BD相交于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G；③作直线DG，与边BC相交于点H．则∠CDH的大小为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 11．（3分）·【中档】如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，使点C的对应点E落在边AB上，点B的对应点为D，连接CE并延长，与BD相交于点F，若BF＝3，则△ABF的面积为（　　） A． B． C． D． 12．（3分）·【中档】矩形ABCD中，AB＝5cm，AD＝7cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿边AD．边DC向终点C运动；动点Q从点A同时出发，以1cm/s的速度沿边AB、边BC向终点C运动．设运动的时间为ts．当t＝3s时，点P，Q的位置如图所示．给出下面三个结论：①当t＝6s时，四边形APCQ是平行四边形；②△APQ的最大面积为cm2；③当△APQ的面积为10cm2时，t＝2s或t＝10s． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）·【较易】不透明袋子中装有15个球，其中有2个红球、6个黄球、7个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为　 　 ． 14．（3分）·【易】计算x2y•3x2的结果为　 　 ． 15．（3分）·【较易】计算的结果为 　 　 ． 16．（3分）·【较易】将直线y＝﹣x+b（b为常数）向上平移2个单位长度，若平移后的直线经过第二、第一、第四象限，则b的值可以是　 　 （写出一个即可）． 17．（3分）·【中档】如图，在菱形ABCD中，BC＝5，∠B＝60°，连接AC． （Ⅰ）线段AC的长为 　 　 ； （Ⅱ）点E在边AB上，点F在BC的延长线上，EF与AC相交于点G，H为CD的中点．若AE＝CF＝1，则线段GH的长为 　 　 ． 18．（3分）·【中档】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上，点C在网格线上，以AC为直径的半圆经过点B． （Ⅰ）线段AB的长为　 　 ； （Ⅱ）点M在线段BC上，点N在线段AM上，满足∠BNM＝∠CNM＝∠ACB．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）　 　 ． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（8分）·【较易】解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得　 　 ； （Ⅱ）解不等式②，得　 　 ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为　 　 ． 20．（8分）·【较易】某校为强化学生低碳生活的环保理念，随机调查了该校a名学生周末绿色出行的次数，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填空：a的值为　 　 ，图①中m的值为　 　 ，统计的这组学生周末绿色出行的次数数据的众数和中位数分别为　 　 和　 　 ； （Ⅱ）求统计的这组学生周末绿色出行的次数数据的平均数； （Ⅲ）根据样本数据，若该校共有1200名学生，估计该校学生周末绿色出行的次数是6的人数约为多少？ 21．（10分）·【中档】已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝120°，点C在上，点D在以A，B为端点的优弧上． （Ⅰ）如图①，当C为的中点时，若DB＝DC，求∠OBC和∠OBD的大小； （Ⅱ）如图②，当∠AOC＝90°时，过点D作⊙O的切线EF，且EF∥OB，CD与OB相交于点G，若⊙O的半径为3，求BD和DG的长． 22．（10分）·【中档】综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑AB的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，BC∥DE，AB的延长线与水平线DE相交于点O．从地面C处沿步道CD（看作斜坡）前行，至平台DE，CD＝22m；在平台D处测得纪念碑顶部A的仰角（∠ODA）为42°，斜坡CD的倾斜角（∠ODC）为12°；在平台E处测得纪念碑顶部A的仰角（∠OEA）为35°，DE＝9m．根据该学习小组测得的数据，求引滦入津工程纪念碑AB的高度（结果取整数）． 参考数据：tan35°≈0.7，tan42°≈0.9，sin12°≈0.2． 23．（10分）·【中档】已知小杰的家、民俗文化馆、体育公园依次在同一条直线上，民俗文化馆离家1km，体育公园离家2km．小杰从家出发，先匀速骑行了10min到体育公园，在体育公园停留了40min，之后匀速骑行了5min到民俗文化馆，在民俗文化馆停留20min后，再匀速骑行了5min回到家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小杰离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （Ⅰ）填表： 小杰离开家的时间/min 6 20 50 65 小杰离家的距离/km 　 　 2 　 　 　 　 （Ⅱ）当50≤x≤80时，请直接写出小杰离家的距离y关于时间x的函数解析式； （Ⅲ）当小杰离开家40min时，他的爷爷开始从体育公园出发，匀速步行了50min直接回到家．在50≤x≤80的时段内，对于同一个x的值，小杰离家的距离为y1，小杰的爷爷离家的距离为y2，当y1＝y2时，求x的值（直接写出结果即可）． 24．（10分）·【较难】将一个四边形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，O为原点，点B在x轴的正半轴上，点A，C分别在第一、第四象限，且关于x轴对称，OA＝6，∠A＝90°，∠AOC＝120°． （Ⅰ）填空：如图①，点B的坐标为　 　 ，点C的坐标为　 　 ； （Ⅱ）若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线l⊥x轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点O′落在x轴的正半轴上．设OP＝t． ①如图②，若直线l分别与边AB，CB相交于点D，E，当折叠后重叠部分为五边形时，点A，C的对应点分别为A′，C′，A′O′与DB相交于点F，C′O′与EB相交于点G．试用含有t的式子表示线段DF的长，并直接写出t的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为s，当2≤t≤8时，求s的取值范围（直接写出结果即可）． 25．（10分）·【难】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0，c＞0）的顶点为P． （Ⅰ）当a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3时，求点P的坐标； （Ⅱ）点A（﹣c，0）和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点． ①当a时，若∠PCA＝90°，求c的值； ②若点B（m，0），∠ACB＝75°，D为线段BC的中点，点M在线段AC上（不与点A，C重合），点N在线段AB上，且CMBN，当MN+ND取得最小值为5时，求c的值． 2026年天津市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B A B． C C B A D B C D 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】D 【解析】解：5+（﹣2）＝3． 故选：D． 2．【答案】B 【解析】解：从前面看，可得选项B的图形， 故选：B． 3．【答案】A 【解析】解：A、“奋”字可以看作是轴对称图形，符合题意； B、“楫”字不可以看作是轴对称图形，不符合题意； C、“争”字不可以看作是轴对称图形，不符合题意； D、“先”字不可以看作是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 4．【答案】B． 【解析】解：130000＝1.3×105． 故选：B． 5．【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值在4和5之间． 故选：C． 6．【答案】C 【解析】解：由题知， 因为反比例函数的解析式为y， 所以反比例函数的图象位于第一、三象限且在每个象限内y随x的增大而减小． 因为点A（x1，﹣2），B（x2，4），C（x3，8）都在该反比例函数的图象上且﹣2＜4＜8， 所以x1＜0＜x3＜x2， 即x1＜x3＜x2． 故选：C． 7．【答案】B 【解析】解：原式 ＝0， 故选：B． 8．【答案】A 【解析】解：根据题意得：5x+45＝7x+3． 故选：A． 9．【答案】D 【解析】解： ， 故选：D． 10．【答案】B 【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°， ∴∠ABC＝∠C40°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD∠ABC＝20°， ∵∠BDC是△ABD的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝120°， 由作图可得：HD⊥BF， ∴∠BDH＝90°， ∴∠CDH＝∠BDC﹣∠BDH＝30°， 故选：B． 11．【答案】C 【解析】解：如图，过点A作AH⊥BD于点H． 由旋转的性质可知AD＝AB，AC＝AE， ∴∠ADB＝∠ABD，∠AEC＝∠ACE， ∵∠CAB＝∠EAD， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠BEF＝∠AEC， ∴∠BFE＝∠CAE＝∠BAD， ∵∠EBF＝∠DBA， ∴△BFE∽△BAD， ∴BF：AB＝BE：BD， ∴3：8＝2：BD， ∴BD， ∵AD＝AB＝8，AH⊥BD， ∴DH＝BHBD， ∴AF， ∴△ABF的面积•BF•AH38． 故选：C． 12．【答案】D 【解析】解：由题意，∵AB＝5cm，AD＝7cm， ∴可分下面三种情形分析： 当0＜t≤5时，St2； 当5＜t≤7时，St； 当7＜t＜12时，S＝35t2+6t． ①当t＝6s时，如图所示， ∴CQ＝AB+BC﹣6＝12﹣6＝6（cm），AP＝6cm，即AP＝CQ， 又∵AP∥CQ， ∴四边形APCQ是平行四边形，故①正确； ②当0＜t≤5时，St2，则S最大值为； 当5＜t≤7时，St，则S最大值为； 当7＜t＜12时，S＝35t2+6t（t﹣6）2+18，此时最大值小于， 综上，△APQ的最大面积为cm2，故②正确； ③当0＜t≤5时，St2， 令S＝10，则t＝2s，负值舍去； 当5＜t≤7时，St， 令S＝10，则t＝4＜5，不合题意； 当7＜t＜12时，S＝35t2+6t， 令S＝10，则t2+6t＝10， ∴t＝2或10， ∵7＜t＜12， ∴t＝10． 综上，t＝2s或t＝10s，故③正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．【答案】． 【解析】解：由题意知，共有15种等可能的结果，其中它是红球的结果有2种， ∴它是红球的概率为． 故答案为：． 14．【答案】3x4y． 【解析】解：x2y•3x2 ＝3x4y． 故答案为：3x4y． 15．【答案】7 【解析】解：原式＝（）2﹣（）2 ＝10﹣3 ＝7． 故答案为：7． 16．【答案】1（答案不唯一）． 【解析】解：由题知，将直线y＝﹣x+b向上平移2个单位长度后，所得直线的函数解析式为y＝﹣x+b+2， ∴平移后的直线与y轴的交点坐标为（0，b+2）． 又∵平移后的直线经过第二、第一、第四象限，且k＝﹣1＜0， ∴b+2＞0， ∴b＞﹣2， ∴b的值可以是1． 故答案为：1（答案不唯一）． 17．【答案】（Ⅰ）5； （Ⅱ）． 【解析】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是菱形，且BC＝5， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，AD∥BC， 在△ABC中，AB＝BC＝5，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝5， 故答案为：5； （Ⅱ）连接FH，并延长交AD于点M，连接EM，过点E作EK∥BC，交AC于点K，EN⊥AD，交DA的延长线于点N，如图所示： ∴∠N＝90°， 由（Ⅰ）可知：△ABC是等边三角形，AB＝BC＝AC＝AD＝5， ∴∠B＝∠ACB＝60°， ∵EK∥BC，交AC于点K， ∴∠AEK＝∠B＝60°，∠AKE＝∠ACB＝60°， ∴∠AEK＝∠AKE＝60°， ∴△AEK是等边三角形， ∴EK＝AE， ∵AE＝CF＝1， ∴EK＝CF＝1， ∵点F在BC的延长线上，EK∥BC，AD∥BC， ∴EK∥CF，MD∥CF， ∴∠GEK＝∠GFC，∠GKE＝∠GCF， 在△GEK和△GFC中， ， ∴△GEK≌△GFC（ASA）， ∴GE＝GF， 即点G是EF的中点， ∵MD∥CF， ∴∠HMD＝∠HFC，∠D＝∠HCF， ∵点H为CD的中点， ∴HD＝HC， 在△HMD和△HFC中， ， ∴△HMD≌△HFC（AAS）， ∴DM＝CF＝1，HM＝HF， ∴点H是MF的中点，AM＝AD﹣DM＝5﹣1＝4， ∵点N在AD的延长线上，AD∥BC， ∴∠NAE＝∠B＝60°， 在△AEN中，∠N＝90°，AE＝1， ∴sin∠NAE，cos∠NAE， ∴EN＝AE•sin∠NAE＝1×sin60°，AN＝AE•cos∠NAE＝1×cos60°， ∴MN＝AM+AN， 在△MNE中，∠N＝90°， 由勾股定理得：EM， ∴点G是EF的中点，点H是MF的中点， ∴GH是△EFM的中位线， ∴GHEM． 故答案为：． 18．【答案】（I）； （II）；设AC，BC分别与格线交于点O，点D，连接OD并延长交格线于点E，连接AE交BC于点M，交格线于点F，设AB交格线于点G，连接FG并延长交格线于点H，连接BH交半圆于点K，连接KG交AB于点N，则点M，点N即为所求． 【解析】解：（Ⅰ）由网格的特点和勾股定理可得， 故答案为：； （Ⅱ）如图所示，连接BE，CE，BN，CN，AK，取格点P、Q， 可证明△AOP∽△ACQ，得到，则点O为AC的中点，即点O为半圆的圆心， 同理可得点D为BC的中点，点D为OE的中点，点G为AB的中点，点G为FH的中点， ∴四边形OCEB是平行四边形， 又∵OB＝OC， ∴四边形OCEB是菱形， ∴∠ACB＝∠BCE，BE＝CE， ∴∠CBE＝∠BCE＝∠ACB； 同理可证明四边形AHBF是平行四边形， ∴BH∥AF， ∴∠GKB＝∠GNA，∠GBK＝∠GAN， 又∵AG＝BG， ∴△GBK≌△GAN（AAS）， ∴BK＝AN， ∴四边形AKBN是平行四边形， ∴∠AKB＝∠ANB； ∵四边形ACBK是圆内接四边形， ∴∠AKB+∠ACB＝180°， 又∵∠ANB+∠BNM＝180°， ∴∠BNM＝∠ACB， ∴∠BNM＝∠BCE， ∴B、N、C、E四点共圆， ∴∠CNM＝∠CBE＝∠ACB， ∴∠BNM＝∠CNM＝∠ACB． 故答案为：设AC，BC分别与格线交于点O，点D，连接OD并延长交格线于点E，连接AE交BC于点M，交格线于点F，设AB交格线于点G，连接FG并延长交格线于点H，连接BH交半圆于点K，连接KG交AB于点N，则点M，点N即为所求． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．【答案】（Ⅰ）x≥﹣3； （Ⅱ）x≤2； （Ⅲ）； （Ⅳ）﹣3≤x≤2． 【解析】解：（Ⅰ）将不等式①移项，合并同类项得：x≥﹣3， 故答案为：x≥﹣3； （Ⅱ）将不等式②移项，合并同类项得：2x≤4， 系数化为1得：x≤2， 故答案为：x≤2； （Ⅲ）在数轴上表示其解集如下图所示： ； （Ⅳ）原不等式组的解集为﹣3≤x≤2， 故答案为：﹣3≤x≤2． 20．【答案】（Ⅰ）50，30，5，5； （Ⅱ）5次； （Ⅲ）该校学生周末绿色出行的次数是6的人数约为240人． 【解析】解：（Ⅰ）由条件可知a＝6+12+15+10+7＝50，m＝15÷50＝0.3＝30%， ∵周末绿色出行的次数5次的人数最多， ∴众数是5； ∵总的数据共50个，周末绿色出行的次数由小到大排列，中位数是第25，26位的两个数据的平均数， ∴由图②条形统计图可知，中位数是5， 故答案为：50，30，5，5； （Ⅱ）这组学生周末绿色出行的次数数据的平均数5（次）； （Ⅲ）1200×20%＝240（人）， 答：该校学生周末绿色出行的次数是6的人数约为240人． 21．【答案】（Ⅰ）∠OBC＝60°，∠OBD＝15°， （Ⅱ）BD＝3，DG＝2． 【解析】解：（Ⅰ）连接OC，如图①， ∵C为的中点， ∴， ∴∠AOC＝∠BOC∠AOB120°＝60°， ∵OC＝OB， ∴△OBC为等边三角形， ∴∠OBC＝60°， ∵∠BDC∠BOC60°＝30°， 而DB＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB（180°﹣30°）＝75°， ∴∠OBD＝∠DBC﹣∠OBC＝75°﹣60°＝15°； （Ⅱ）连接OD，如图②， ∵∠AOC＝90°，∠AOB＝120°， ∴∠COB＝30°， ∵EF为⊙O的切线， ∴OD⊥EF， ∵EF∥OB， ∴OD⊥OB， ∴∠BOD＝90°， ∵OD＝OB， ∴△OBD为等腰直角三角形， ∴BDOD＝3； ∵∠COD＝∠COB+∠BOD＝30°+90°＝120°， ∵OC＝OD， ∴∠ODC＝∠OCD（180°﹣120°）＝30°， 在Rt△ODG中，∵cos∠ODG， ∴DG2． 22．【答案】引滦入津工程纪念碑AB的高度约为24m． 【解析】解：过点C作CF⊥OE，垂足为F， 由题意得：BO＝CF， 在Rt△DCF中，CD＝22m，∠ODC＝12°， ∴CF＝CD•sin12°≈22×0.2＝4.4（m）， 设OD＝xm， ∵DE＝9m， ∴OE＝OD+DE＝（x+9）m， 在Rt△AOD中，∠ODA＝42°， ∴AO＝OD•tan42°≈0.9x（m）， 在Rt△AOE中，∠OEA＝35°， ∴AO＝OE•tan35°≈0.7（x+9）m， ∴0.9x＝0.7（x+9）， 解得：x＝31.5， ∴AO＝0.9x＝28.35（m）， ∴AB＝AO﹣BO＝28.35﹣4.4≈24（m）， ∴引滦入津工程纪念碑AB的高度约为24m． 23．【答案】（I）1.2；2；1； （II）； （III）52.5或65或77.5． 【解析】解：（I）小杰骑行到体育公园的速度为 2÷10＝0.2（km/min）， ∴当小杰离开家6min时，离家的距离为0.2×6＝1.2（km）； 由图象得，当小杰离开家50min时，离家的距离为2km； 当小杰离开家65min时，离家的距离为1km； 故答案为：1.2；2；1； （II）当50≤x≤55时，小杰离家的距离y与时间x的满足一次函数关系， 设y＝k1x+b1， 代入（50，2）和（55，1）得，， 解得， ∴y＝﹣0.2x+12（50≤x≤55）； 当55＜x＜75时，由图象得，y＝1， ∴y＝1（55＜x＜75）； 当75≤x≤80时，小杰离家的距离y与时间x的满足一次函数关系， 设y＝k2x+b2， 代入（75，1）和（80，0）得，， 解得， ∴y＝﹣0.2x+16（75≤x≤80）； 综上，小杰离家的距离y关于时间x的函数解析式为； （III）当小杰的爷爷回到家时，小杰离开家时间为40+50＝90（min）， 由题意得，y2与x满足一次函数关系， 设y2＝kx+b，代入（40，2）和（90，0）得， ， 解得， ∴y2＝﹣0.04x+3.6（40≤x≤90）； 当50≤x≤55时，y1＝y2， ∴﹣0.2x+12＝﹣0.04x+3.6， 解得x＝52.5； 当55＜x＜75时，y1＝y2， ∴1＝﹣0.04x+3.6， 解得x＝65； 当75≤x≤80时，y1＝y2， ∴﹣0.2x+16＝﹣0.04x+3.6， 解得x＝77.5； 综上，当y1＝y2时，x的值为52.5或65或77.5． 24．【答案】（Ⅰ）（12，0），（3，）； （Ⅱ）①DF，t的取值范围为3＜t＜6； ②． 【解析】解：（Ⅰ）连接AC交x轴于点Q，如图1所示， ∵OA＝6，∠OAB＝90°，∠AOC＝120°， ∴由对称性可得∠AOB＝∠COB∠AOC＝60°，AC⊥OB， ∴∠ABO＝∠CBO＝30°， ∴OB＝2AO＝12，OQ＝AO•cos∠AOB＝3，AQ， ∴B（12，0）、A（3，）， 故由对称性可得C（3，）， 故答案为：（12，0），（3，）； （Ⅱ）①当直线l过A点后形成的折叠部分才开始为五边形， 故t＞3，如图2所示，QP＝OP﹣OQ＝t﹣3，作DS⊥AC于点S， 则DS＝QP，∠ADS＝30°， 故AD，A'D＝AD， ∵∠A'O'O＝60°，∠ABO＝30°，∠A'＝90°， ∴∠A'FD＝∠BFO'＝30°， ∴DF＝2A'D（t﹣3）， 当O'点与B点重合时，重叠部分不再形成五边形，此时t＝6， 故t的取值范围为3＜t＜6； ②当2≤t≤3时，如图3所示，重叠部分为△DO'E，此时s＝S△DO'E， ∴DE＝2DP，O'P＝OP＝t， ∴s＝S△DO'E••t， 则当2≤t≤3时，； 当3＜t≤6时，如图4所示，连接FG交x轴于点R，则FG⊥OB． 此时BP＝12﹣t，DPBP（12﹣t）， PR＝DF•cos30°（t﹣3）2（t﹣3）， PO'＝PO＝t，FRO'R（PO'﹣PR）（6﹣t）， ∴s＝2（S△DPF+S△PFO'）＝DP•PR+PO'•FR（12﹣t）×2（t﹣3）+t•（6﹣t） ， 对称轴为直线t，图象开口向下， 在3＜t≤6内，当t时，s最大值为，当t＝3时，s最小值为9， 即当3＜t≤6时，， 当6＜t≤8时，重叠部分s＝S△BDE，如图5所示， 故DE＝2DP，BP＝12﹣t， 故sDE•BP（12﹣t）2，对称轴为直线t＝12， 在6＜t≤8内，当t＝6时，s最大为，当t＝8时，s最小为， 即， 综上可得：． 25．【答案】（Ⅰ）（﹣1，4）； （Ⅱ）①c＝6．②． 【解析】解：（Ⅰ）∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3， ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴该抛物线顶点P的坐标为（﹣1，4）． （Ⅱ）①由，得， ∴该抛物线顶点P的坐标为， ∵点A（﹣c，0），点C（0，c）， ∴OA＝OC， ∴∠ACO＝45°， 根据题意，点P在第二象限，过点P作PE⊥y轴于点E． 则∠PCE＝45°， ∴PE＝CE． ∴， 解得b1＝﹣2，b2＝0（舍）． ∵点A（﹣c，0）在抛物线上， ∴， 又∵c＞0， ∴， ∴c＝2﹣2b， ∴c＝6． ②由∠ACB＝75°，得∠OCB＝∠ACB﹣∠ACO＝30°，m＞0． 在Rt△OBC中，OB＝m，OC＝c，． ∴． 过点M作MF⊥y轴于点F，连接BF． 可得FM∥BN，， 又∵， ∴MF＝CF＝BN． ∴四边形BFMN为平行四边形． ∴BF＝MN． 在△OBC的外部，作∠OBG＝∠OCB，且BG＝BC，连接GN， ∴△CFB≌△BNG（sAs）． ∴BF＝GN． ∴MN＝GN． ∴MN+ND＝GN+ND≥GD． 当满足条件的点N落在线段GD上时，MN+ND取得最小值5，即GD＝5． ∵∠OBC+∠OCB＝90°， ∴∠OBC+∠OBG＝90°，即∠DBG＝90°， ∵D为线段BC的中点， ∴． 在Rt△DBG中，由GD2＝BD2+BG2，得，有BC2＝20， 在Rt△OBC中，由BC2＝OB2+OC2，得m2+c2＝20， 再将mc代入得c2＝15， 解得，（舍）． ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $