2026年山东省德州市中考数学试卷

**基本信息** 试卷依托真实生活情境（如社区交通调查、水果店利润计算），通过基础题（如科学记数法）、中档题（如圆的切线证明）的梯度设计，考查实数、函数、几何等核心知识，体现逻辑推理与模型应用素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|实数比较、中心对称图形、科学记数法|第3题以“483.5万”考查科学记数法，结合实际数据| |填空题|5/20|整式次数、概率、二次函数应用|第13题以座位选择考概率，第14题用二次函数求最大利润| |简答题|8/90|函数图像、几何证明、统计分析|第20题汽车油量函数图像解决行程问题，第21题圆的切线证明与面积计算综合考查推理能力|

2026年山东省德州市中考数学试卷 一、单项选择题：共10小题，每小题4分，共40分。 1．（4分）·【易】下列实数中比﹣2小的是（　　） A．﹣1 B．﹣3 C． D．0 2．（4分）·【易】下列标志中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）·【易】483.5万用科学记数法表示为（　　） A．4.835×106 B．0.4835×107 C．48.35×105 D．4.835×107 4．（4分）·【较易】商家为了更好的销售一种洗衣液的品牌，应该选择调查每种洗衣液的（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 5．（4分）·【较易】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，则cosB的值为（　　） A． B． C． D． 6．（4分）·【易】书店正在销售文学类和科技类的书籍，已知科技类单价是文学类单价的1.5倍，用700元和900元分别购买文学类和科技类，文学类可以比科技类多买5本．设文学类书籍的单价为x元，由已知可列方程（　　） A． B． C． D． 7．（4分）·【中档】如图，为了作出∠AOB的角平分线，小明利用尺规进行了如下操作：以点O为圆心，任意长度为半径画弧分别交OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，连接OE并延长，射线OE则为∠AOB的角平分线．小明说，可以通过判定△OCE≌△ODE得到对应角相等来证明射线OE是∠AOB的角平分线，他使用的全等判定方法是（　　） A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．两条边及其夹角相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D．三条边分别相等的两个三角形全等 8．（4分）·【较易】在反比例函数的图象上有两点A（﹣2，y1）和B（m，y2），若y2＞y1，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣2且m≠0 B．﹣2＜m＜0 C．m＜﹣2或m＞0 D．m＜﹣2或m＞2 9．（4分）·【较易】如图，在圆心角为60°，半径为R的扇形纸片OAB中，点O到AB的距离记为d，把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为h，下列关于d和h的大小关系正确的是（　　） A．d＜h B．d＝h C．d＞h D．无法确定 10．（4分）·【较易】若2a＝5b＝1000，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分。 11．（4分）·【易】整式3a2b2的次数为　 　 ． 12．（4分）·【较易】在平面直角坐标系中，若点（﹣3，2）向右平移m个单位长度后落在第一象限，请写出一个满足条件的m的值　 　 ． 13．（4分）·【中档】如图，甲、乙、丙、丁四个人选四个座位，已知甲选择了①号座位，剩下的座位由乙、丙、丁三人随机选择，则乙和丙邻座的概率是 　 　 ． 14．（4分）·【中档】某水果店单件水果售价y1（元）与销售月份x满足一次函数关系y1＝﹣2x+21，单件水果进价y2（元）与销售月份x满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为（6，3）并且经过（3，12），则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为　 　 元． 15．（4分）·【中档】如图，在四边形BCED中，∠B＝∠D＝90°，BD＝3，CE＝5．取BD的中点A，连接AC，AE，将△ABC和△ADE分别沿AC，AE折叠，若BC和DE恰好都能与EC重合，线段AE的长为　 　 ． 三、简答题：共8小题，总计90分。 16．（10分）·【易】（1）解不等式：； （2）化简：． 17．（10分）·【较易】为了防止交通拥堵，某社区开展了关于交通出行的问卷调查，问题如下： 问题一：您选择的出行方式是（　　） A．步行 B．私家车 C．自行车 D．电动车 E．公交车 问题二：（前值取等后值不取等）您的出行时间段为（　　） A.6：30～7：00 B.7：00～7：30 C.7：30～8：00 D.8：00～8：30 E.8：30～9：00 两项都为必填项，共收集了400份问卷，且收集到的数据全部有效．通过整理收集到的数据，绘制出了居民出行方式的不完整扇形统计图和私家车出行时间段的不完整条形统计图． （1）m的值为　 　 ； （2）请补全条形统计图； （3）若社区共有5000人，请估计社区在该时间段使用私家车出行的人数； （4）根据问卷调查，为防止交通拥堵提出一条建议． 18．（10分）·【中档】探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意框出3×3的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务． （1）如图，若九宫格的中心数为n，四个角的数字分别是A、B、C、D． ①用含n的式子表示A； ②探究B•C﹣A•D是否为定值，请证明； （2）若框选出的九宫格的中心数是方程x2﹣13x+22＝0的根，求九宫格中最大的数． 19．（12分）·【易】如图，在Rt△ACE中，∠CAE＝90°，点D是CE的中点．连接AD，在平面内找一点B，使得AB∥CE，BE∥AD． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）若，四边形ABED的面积为，求线段AC的长． 20．（12分）·【较易】一辆汽车出发向加油站行驶，加油后在加油站休息了一段时间，然后前往目的地．汽车油箱油量y（L）与时间x（h）的函数关系式图象如图所示． （1）汽车从出发到加油站行驶了　 　 小时，在加油站加了　 　 升汽油； （2）求汽车去往加油站的路上时汽车油箱油量y与时间x的函数关系式； （3）若目的地距离加油站200km，汽车的行驶速度为80km/h，且汽车去往目的地时的耗油速度与去往加油站时的耗油速度相同，求汽车到达目的地时，油箱的剩余油量． 21．（12分）·【中档】如图，在⊙O中，点A为⊙O上一点，点D是的中点，BC是⊙O的直径．过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点E，连接OD并延长交AE于点F，连接CF． （1）求证：CF与⊙O相切； （2）若AF：EF＝1：2，CF＝2，求阴影部分的面积． 22．（12分）·【中档】已知二次函数，m为常数． （1）当m＝0时，求该二次函数的对称轴； （2）若当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，求m的取值范围； （3）若在该二次函数的图象上有一点A，且点A到x轴的距离为21，求点A到对称轴的距离． 23．（12分）·【中档】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是CA延长线上一点，AD＜AC，过点D作DF⊥BC于点F交AB于点E． （1）求证：AD＝AE； （2）若，BC＝8，求线段BF的长； （3）若∠BAC＝45°，EF＝BC，请直接写出的值． 2026年山东省德州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B． C A． C B D D C A B 一、单项选择题：共10小题，每小题4分，共40分。 1．（4分）·【易】下列实数中比﹣2小的是（　　） A．﹣1 B．﹣3 C． D．0 【答案】B． 【解析】解：A．∵|﹣1|＝1，|﹣2|＝2，1＜2，∴﹣1＞﹣2，故不符合题意； B．∵|﹣3|＝3，|﹣2|＝2，3＞2，∴﹣3＜﹣2，故符合题意； C．2，故不符合题意； D．0＞﹣2，故不符合题意； 故选：B． 2．（4分）·【易】下列标志中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A，B，D不是中心对称图形，C是中心对称图形， 故选：C． 3．（4分）·【易】483.5万用科学记数法表示为（　　） A．4.835×106 B．0.4835×107 C．48.35×105 D．4.835×107 【答案】A． 【解析】解：483.5万＝4835000＝4.835×106． 故选：A． 4．（4分）·【较易】商家为了更好的销售一种洗衣液的品牌，应该选择调查每种洗衣液的（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【解析】解：商家为了更好的销售一种洗衣液的品牌，应该选择调查每种洗衣液的众数． 故选：C． 5．（4分）·【较易】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，则cosB的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，过点A作AM⊥BC于M， 由条件可知， 在Rt△ABM中， ． 故选：B． 6．（4分）·【易】书店正在销售文学类和科技类的书籍，已知科技类单价是文学类单价的1.5倍，用700元和900元分别购买文学类和科技类，文学类可以比科技类多买5本．设文学类书籍的单价为x元，由已知可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵科技类单价是文学类单价的1.5倍，且设文学类书籍的单价为x元， ∴科技类书籍的单价为1.5x元． 根据题意得：5． 故选：D． 7．（4分）·【中档】如图，为了作出∠AOB的角平分线，小明利用尺规进行了如下操作：以点O为圆心，任意长度为半径画弧分别交OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，连接OE并延长，射线OE则为∠AOB的角平分线．小明说，可以通过判定△OCE≌△ODE得到对应角相等来证明射线OE是∠AOB的角平分线，他使用的全等判定方法是（　　） A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．两条边及其夹角相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D．三条边分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【解析】解：根据作法得OC＝OD，CE＝DE， 而OE为公共边， 所以根据“SSS”可判断△OCE≌△ODE， 所以∠COE＝∠DOE， 即射线OE则为∠AOB的角平分线． 故选：D． 8．（4分）·【较易】在反比例函数的图象上有两点A（﹣2，y1）和B（m，y2），若y2＞y1，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣2且m≠0 B．﹣2＜m＜0 C．m＜﹣2或m＞0 D．m＜﹣2或m＞2 【答案】C 【解析】解：由题知， 因为反比例函数解析式为， 所以反比例函数的图象位于第一、三象限且在每个象限内y随x的增大而减小． 因为A（﹣2，y1）和B（m，y2）都在该反比例函数的图象上且y2＞y1， 所以m＜﹣2或m＞0． 故选：C． 9．（4分）·【较易】如图，在圆心角为60°，半径为R的扇形纸片OAB中，点O到AB的距离记为d，把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为h，下列关于d和h的大小关系正确的是（　　） A．d＜h B．d＝h C．d＞h D．无法确定 【答案】A 【解析】解：由题知， 扇形的弧长为：， 所以圆锥底面圆的周长为． 令圆锥底面圆的半径为r， 则， 所以r， 则圆锥的高h． 因为OA＝OB且∠AOB＝60°， 所以△AOB是等边三角形， 所以点O到AB的距离d． 因为d2， 则， 所以d＜h． 故选：A． 10．（4分）·【较易】若2a＝5b＝1000，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：若2a＝5b＝1000， 则2a＝103，5b＝103， 那么，， 两式相乘得10， 则1， 那么， 故选：B． 二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分。 11．（4分）·【易】整式3a2b2的次数为　4　 ． 【答案】4． 【解析】解：根据单项式定义得：3a2b2的次数为：2+2＝4． 故答案为：4． 12．（4分）·【较易】在平面直角坐标系中，若点（﹣3，2）向右平移m个单位长度后落在第一象限，请写出一个满足条件的m的值　4（答案不唯一）　 ． 【答案】4（答案不唯一）． 【解析】解：由题知， 因为若点（﹣3，2）向右平移m个单位长度后落在第一象限， 则﹣3+m＞0， 解得m＞3， 所以m的值可以是4． 故答案为：4（答案不唯一）． 13．（4分）·【中档】如图，甲、乙、丙、丁四个人选四个座位，已知甲选择了①号座位，剩下的座位由乙、丙、丁三人随机选择，则乙和丙邻座的概率是 　　 ． 【答案】． 【解析】解：列表如下： 共有6种等可能的结果，其中乙和丙邻座的结果数为4， 所以乙和丙邻座的概率． 故答案为：． 14．（4分）·【中档】某水果店单件水果售价y1（元）与销售月份x满足一次函数关系y1＝﹣2x+21，单件水果进价y2（元）与销售月份x满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为（6，3）并且经过（3，12），则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为　7　 元． 【答案】7． 【解析】解：由题意，设， 把（3，12）代入得：9a+3＝12， ∴a＝1， ∴抛物线为， 设单件水果利润为W元， ∴W＝y1﹣y2＝﹣2x+21﹣x2+12x﹣39 ＝﹣x2+10x﹣18 ＝﹣（x﹣5）2+7， ∵a＝﹣1＜0， ∴当x＝5时，单件利润W的最大值为7元． 故答案为：7． 15．（4分）·【中档】如图，在四边形BCED中，∠B＝∠D＝90°，BD＝3，CE＝5．取BD的中点A，连接AC，AE，将△ABC和△ADE分别沿AC，AE折叠，若BC和DE恰好都能与EC重合，线段AE的长为　　 ． 【答案】． 【解析】解：∵将△ABC和△ADE分别沿AC，AE折叠，点B，D的对应点为B'，D'，若BC和DE恰好都能与EC重合，则点B'，D'重合，如图，且点A是BD的中点， ∴AB＝AB'＝AD＝AD'，，DE＝D'E，BC＝B'C，∠ADE＝∠AD'E＝∠B＝∠AB'C＝90°， 过点C作CF⊥DE于点F， ∴∠CFD＝∠D＝∠B＝90°， ∴四边形BCFD是矩形， ∴∠CFE＝90°，CF＝BD＝3，BC＝DF， ∴， 设BC＝B'C＝DF＝x，则EB'＝CE﹣B'C＝5﹣x，DE＝DF+EF＝x+4， ∴5﹣x＝x+4， 解得， ∴， 在Rt△ADE中，． 故答案为：． 三、简答题：共8小题，总计90分。 16．（10分）·【易】（1）解不等式：； （2）化简：． 【答案】（1）2＜x＜5； （2）． 【解析】解：（1）解第一个不等式得x＞2， 解第二个不等式得x＜5， ∴不等式组的解集为2＜x＜5； （2）原式• • ． 17．（10分）·【较易】为了防止交通拥堵，某社区开展了关于交通出行的问卷调查，问题如下： 问题一：您选择的出行方式是（　　） A．步行 B．私家车 C．自行车 D．电动车 E．公交车 问题二：（前值取等后值不取等）您的出行时间段为（　　） A.6：30～7：00 B.7：00～7：30 C.7：30～8：00 D.8：00～8：30 E.8：30～9：00 两项都为必填项，共收集了400份问卷，且收集到的数据全部有效．通过整理收集到的数据，绘制出了居民出行方式的不完整扇形统计图和私家车出行时间段的不完整条形统计图． （1）m的值为　55　 ； （2）请补全条形统计图； （3）若社区共有5000人，请估计社区在该时间段使用私家车出行的人数； （4）根据问卷调查，为防止交通拥堵提出一条建议． 【答案】（1）55； （2）B组的人数为400×55%﹣（40+49+21+30）＝220﹣140＝80（人）， （3）社区在该时间段使用私家车出行的人数为2750人； （4）建议在条件允许的情况下选用公共交通出行或B时段市民选择早半小时出行． 【解析】解：（1）m%＝1﹣15%﹣15%﹣10%﹣5%＝55%， 故m＝55， 故答案为：55； （2）B组的人数为400×55%﹣（40+49+21+30）＝220﹣140＝80（人）， （3）社区在该时间段使用私家车出行的人数为5000×55%＝2750（人）， 故社区在该时间段使用私家车出行的人数为2750人； （4）建议在条件允许的情况下选用公共交通出行或B时段市民选择早半小时出行． 18．（10分）·【中档】探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意框出3×3的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务． （1）如图，若九宫格的中心数为n，四个角的数字分别是A、B、C、D． ①用含n的式子表示A； ②探究B•C﹣A•D是否为定值，请证明； （2）若框选出的九宫格的中心数是方程x2﹣13x+22＝0的根，求九宫格中最大的数． 【答案】（1）①A＝n﹣8； ②B•C﹣A•D为定值，证明如下： 由题意得：B＝n﹣6，C＝n+6，D＝n+8， ∴B•C﹣A•D ＝（n﹣6）（n+6）﹣（n﹣8）（n+8） ＝n2﹣36﹣（n2﹣64） ＝28， ∵结果为常数， ∴B•C﹣A•D为定值； （2）19． 【解析】解：（1）①由日历的排列规律可知，A在n的上一行且左一列， ∴A＝n﹣7﹣1＝n﹣8； ②B•C﹣A•D为定值，证明如下： 由题意得：B＝n﹣6，C＝n+6，D＝n+8， ∴B•C﹣A•D ＝（n﹣6）（n+6）﹣（n﹣8）（n+8） ＝n2﹣36﹣（n2﹣64） ＝28， ∵结果为常数， ∴B•C﹣A•D为定值； （2）解方程x2﹣13x+22＝0， 因式分解得：（x﹣2）（x﹣11）＝0， 解得：x1＝2，x2＝11， ∵日历中3×3九宫格中心数不能在最上行（第1行）或最下行（第5行）， ∴x＝2在第1行无法作为中心数，舍去， 当n＝11时，九宫格最大数为D， D＝n+8＝11+8＝19， ∴该九宫格中最大的数为19． 19．（12分）·【易】如图，在Rt△ACE中，∠CAE＝90°，点D是CE的中点．连接AD，在平面内找一点B，使得AB∥CE，BE∥AD． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）若，四边形ABED的面积为，求线段AC的长． 【答案】证明：（1）∵AB∥CE，点D在CE上， ∴AB∥DE． 又∵BE∥AD， ∴四边形ABED是平行四边形． 在Rt△ACE中，∠CAE＝90°，点D是CE的中点， ∴． ∵四边形ABED是平行四边形且 AD＝DE， ∴四边形ABED是菱形． （2）4． 【解析】证明：（1）∵AB∥CE，点D在CE上， ∴AB∥DE． 又∵BE∥AD， ∴四边形ABED是平行四边形． 在Rt△ACE中，∠CAE＝90°，点D是CE的中点， ∴． ∵四边形ABED是平行四边形且AD＝DE， ∴四边形ABED是菱形． 解：（2）设菱形ABED边DE上的高为h． ∵四边形ABED是菱形， ∴菱形ABED的面积． ∵AB∥CE， ∴点A到CE的距离等于h． ∴△ACE的面积． ∵点D是CE的中点， ∴CE＝2DE． ∴△ACE的面积． 在Rt△ACE中，∠CAE＝90°， ∴△ACE的面积． ∵， ∴， ∴， ∴AC＝4． 20．（12分）·【较易】一辆汽车出发向加油站行驶，加油后在加油站休息了一段时间，然后前往目的地．汽车油箱油量y（L）与时间x（h）的函数关系式图象如图所示． （1）汽车从出发到加油站行驶了　3　 小时，在加油站加了　35　 升汽油； （2）求汽车去往加油站的路上时汽车油箱油量y与时间x的函数关系式； （3）若目的地距离加油站200km，汽车的行驶速度为80km/h，且汽车去往目的地时的耗油速度与去往加油站时的耗油速度相同，求汽车到达目的地时，油箱的剩余油量． 【答案】（1）3，35； （2）y＝﹣10x+45（0≤x≤3）； （3）25升． 【解析】解：（1）根据题意得：汽车从出发到加油站行驶了3小时， 在加油站加了50﹣15＝35（升）汽油． 故答案为：3，35； （2）设汽车去往加油站的路上时汽车油箱油量y与时间x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（0，45），（3，15）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴汽车去往加油站的路上时汽车油箱油量y与时间x的函数关系式为y＝﹣10x+45（0≤x≤3）； （3）由（2）可知：汽车去往加油站时的耗油速度是10升/小时， ∴汽车去往目的地时的耗油速度是10升/小时， ∴50﹣1025（升）． 答：汽车到达目的地时，油箱的剩余油量为25升． 21．（12分）·【中档】如图，在⊙O中，点A为⊙O上一点，点D是的中点，BC是⊙O的直径．过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点E，连接OD并延长交AE于点F，连接CF． （1）求证：CF与⊙O相切； （2）若AF：EF＝1：2，CF＝2，求阴影部分的面积． 【答案】（1）连接OA， ∵BC是⊙O的直径， ∴点C在⊙O上， ∵D是的中点， ∴∠AOF＝∠COF， 在△AOF和△COF中， ， ∴△AOF≌△COF（SAS）， ∴∠OCF＝∠OAF＝90°， ∴OC⊥FC， ∵OC是⊙O的半径， ∴CF与⊙O相切； （2）． 【解析】（1）证明：连接OA， ∵BC是⊙O的直径， ∴点C在⊙O上， ∵D是的中点， ∴∠AOF＝∠COF， 在△AOF和△COF中， ， ∴△AOF≌△COF（SAS）， ∴∠OCF＝∠OAF＝90°， ∴OC⊥FC， ∵OC是⊙O的半径， ∴CF与⊙O相切； （2）解：∵AF，CF是⊙O的切线， ∴AF＝CF， ∵AF：EF＝1：2，CF＝2， ∴AF＝2，EF＝4， ∵∠FCE＝90°， ∴， ∴∠E＝30°， ∴∠CFE＝90°﹣∠E＝60°， ∴， ∴∠FOC＝90°﹣∠OFC＝30°， ∴OF＝2FC＝4， 由勾股定理得，， ∴，，， ∴阴影部分的面积为． 22．（12分）·【中档】已知二次函数，m为常数． （1）当m＝0时，求该二次函数的对称轴； （2）若当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，求m的取值范围； （3）若在该二次函数的图象上有一点A，且点A到x轴的距离为21，求点A到对称轴的距离． 【答案】（1）直线x； （2）； （3）． 【解析】解：（1）由题意，当m＝0时，二次函数为：， ∴二次函数的对称轴为直线； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小， ∴，解得：， ∴m的取值范围为：； （3）由题意，∵的对称轴为直线，而该二次函数的图象上有一点A，且点A到轴的距离为21， ∴|yA|＝21， ∴当yA＝21时，则，即， ∴，解得：，x2＝m﹣4， ∴A（m+2，21）或， ∴点A到对称轴的距离为：； 当yA＝﹣21时，，即， ∴， ∴方程无解， 综上：点A到对称轴的距离为：． 23．（12分）·【中档】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是CA延长线上一点，AD＜AC，过点D作DF⊥BC于点F交AB于点E． （1）求证：AD＝AE； （2）若，BC＝8，求线段BF的长； （3）若∠BAC＝45°，EF＝BC，请直接写出的值． 【答案】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DF⊥BC， ∴∠DFC＝∠BFE＝90°， ∴∠D+∠C＝90°，∠B+∠BEF＝90°， ∴∠D＝∠BEF， ∵∠AED＝∠BEF， ∴∠D＝∠AED， ∴AD＝AE； （2）3； （3）3﹣2． 【解析】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DF⊥BC， ∴∠DFC＝∠BFE＝90°， ∴∠D+∠C＝90°，∠B+∠BEF＝90°， ∴∠D＝∠BEF， ∵∠AED＝∠BEF， ∴∠D＝∠AED， ∴AD＝AE； （2）解：如图1，过点A作AG∥BC交DF于G，设AD＝m， 由（1）知，AD＝AE， ∴AE＝m， ∵ADAC， ∴AC＝4AD＝4m， ∴AB＝AC＝4m， ∴CD＝AD+AC＝5m，BE＝AB﹣AE＝3m， ∴△ADG∽△CDF， ∴， ∴CF5AG， ∵AG∥BC， ∴△AEG∽△BEF， ∴， ∴BF3AG， ∵BC＝BF+CF＝8， ∴3AG+5AG＝8， ∴AG＝1， ∴BF＝3； （3）解：如图2，过点A作AG∥BC交DF于G， 设AD＝a，AC＝b， ∴AB＝AC＝b， ∴CD＝AD+AC＝a+b，BE＝AB﹣AE＝b﹣a， 同（2）的方法得，CF， ∵AG∥BC， ∴△AEG∽△BEF， ∴， ∴BF， ∴BC＝BF+CF， ∵EF＝BC， ∴EF， 在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°， ∴∠ABC＝∠C（180°﹣∠BAC）＝67.5°， ∵DF⊥BC， ∴∠BFE＝90°， ∴∠BEF＝90°﹣∠ABC＝22.5°， 在FE上取一点H，使FH＝BF， ∴∠HBF＝∠BHF＝45°， ∴BHBF， ∵∠ABC＝67.5°，∠BEF＝22.5°， ∴∠EBH＝∠ABC﹣∠HBF＝22.5°＝∠BEH， ∴EH＝BH， ∴EF＝EH+FHBF+BF＝（1）BF， ∵BF，EF， ∴（1）•， ∴3﹣2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $