2026年湖南省中考数学试卷

**基本信息** 2026年湖南省中考数学试卷以非遗文化、治沙生态、校园科技等真实情境为载体，覆盖代数、几何、统计核心知识，通过基础巩固与创新探究的梯度设计，考查数学抽象、推理及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|整式运算、视图、概率等|非遗知识融入概率题（第7题），考查数据意识| |填空题|6/18|因式分解、函数、圆|正六边形组合求角度（第14题），体现空间观念| |解答题|8/72|统计分析、几何证明、函数应用|治沙面积问题（第19题）考查方程建模，阅读室桌椅调整（第22题）融合几何计算与实际应用|

2026年湖南省中考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）·【易】某品牌三角板的售价是每副3元，则买a副这样的三角板需要（　　） A．3a元 B．（3+a）元 C．a3元 D．元 2．（3分）·【易】如图，该电池的主视图是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）·【易】水的化学式是H2O，其中氢元素的化合价是+1，氧元素的化合价是﹣2．计算（+1）×2+（﹣2）的结果是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 4．（3分）·【易】已知点P在数轴上的位置如图所示，则点P表示的数可能是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）·【易】已知a＞0，b＞0，且（ab）n＝a2b2，则n的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．3 D．4 6．（3分）·【较易】若x＝1是分式方程3的解，则a的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 7．（3分）·【较易】在四张完全相同的卡片正面分别印上“湘剧”“花鼓戏”“阳戏”“祁剧”的非遗知识．将其背面朝上洗匀后随机抽取一张，恰好抽中“湘剧”卡片的概率为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）·【较易】如图，在四边形ABCD中，连接BD．若∠A＝∠BDC＝90°，∠C＝30°，AB＝AD，则下列说法正确的是（　　） A．BC＝2AD B．∠ADC＝135° C．AD∥BC D．BD平分∠ABC 9．（3分）·【较易】如图，在平面直角坐标系中，直角三角形ABC的斜边AB经过原点O，连接OC．已知OA＝OC，若点A的坐标为（1，0），则点B的坐标为（　　） A．（﹣1，0） B．（0，﹣1） C．（0，1） D． 10．（3分）·【中档】门与两面墙的平面示意图如图所示，墙AC与AB垂直，门CD可绕C旋转，F是门CD与门吸EF的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置），EF⊥AB于点E．已知AC＝a，EF＝b，∠ACD＝α，且a＞b，则门吸EF离墙AC的距离AE为（　　） A．a•tanα B．（a﹣b）sinα C．（a﹣b）cosα D．（a﹣b）tanα 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）·【易】化简：3a+2a＝　 　 ． 12．（3分）·【易】因式分解：t2﹣25＝　 　 ． 13．（3分）·【易】已知x2﹣4x＝0，则代数式2x2﹣8x+2026的值是　 　 ． 14．（3分）·【较易】如图，BD是两个正六边形的公共边，A和C是离B最远的顶点，则∠ABC＝　 　 ． 15．（3分）·【易】如图，⊙O的半径为6，若它的周长等于的长的6倍，则阴影部分的面积为　 　 ． 16．（3分）·【较易】如图，A，B，C是反比例函数y（k＞0，x＞0）图象上三个不同的点，AD⊥x轴于点D． （1）若C在△OAD的外接圆上，且A点的坐标是（4，2），则tan∠OCD＝　 　 ； （2）设E是线段OA的中点，且BE∥y轴．若BE＝mAD，则m＝　 　 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（6分）·【易】计算：2sin30°+|﹣3|+22． 18．（6分）·【易】解不等式组：． 19．（8分）·【较易】我国已有三代治沙人致力于沙漠改造，他们采用科学治沙、绿色发展的理念开展治沙工作，治沙成效大幅提升，某地区三代治沙人共完成治沙面积29万亩，比第一代治沙人治沙面积的3倍还多5万亩，求第一代治沙人的治沙面积． 20．（8分）·【中档】如图，在等腰△OAB中，OA＝OB．在OA上取一点E，以O为圆心，OE的长为半径画弧，交OB于点F；分别以E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点P；作射线OP交AB于点C；以O为圆心，OC的长为半径作⊙O． （1）求证：AB与⊙O相切； （2）已知OA＝10，AB＝12，求⊙O的半径． 21．（10分）·【较易】科技创新，从“小”做起．某校举办校园科技节活动，为了解学生选择参与的科技活动项目的情况，随机抽取若干名学生进行问卷调查、所有问卷全部回收且有效，并对所得数据进行整理，部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 学生选择参与的科技活动项目调查问卷你选择参与的科技活动项目是（　　）（单选题） A．小发明B．小制作C．小实验D．小论文 请根据上述信息，回答下列问题： （1）本次问卷调查中，参与调查的学生有　 　 人； （2）在扇形统计图中，项目C对应的圆心角的度数为　 　 ； （3）请补全条形统计图； （4）若该校有1200名学生，选择参与“小论文”项目的学生可能会被推荐为科技活动宣传员，请估计该校可能会被推荐为科技活动宣传员的学生人数； （5）该校准备给四个科技活动项目设置80个奖励名额，请你根据统计结果，合理分配每个活动项目的奖励名额． 22．（10分）·【中档】某中学为满足更多学生的阅读需求，决定对阅读室现有桌椅摆放进行调整． 【数据收集】 图1是每套桌椅摆放示意图，桌面是边长为1.2米的正方形ABCD，座椅预留活动空间为四个以桌边为斜边的等腰直角三角形．如图2，该阅读室摆放了5行8列共40套桌椅（阅读室门窗不影响桌椅摆放，未绘制），桌边平行于墙面，相邻两排桌椅间的过道宽度均为0.6米，靠墙座椅预留活动空间的直角顶点与墙壁无间隙． 【数据分析】 （1）如图1，连接FH，则FH＝　 　 米，取1.414，EH≈　 　 米（结果保留一位小数）； （2）求阅读室的长与宽； 【问题解决】 （3）调整桌椅摆放方向如图3所示（EH平行于墙面），阅读室可以容纳更多套桌椅．如图4，相邻两排桌椅间的过道宽度仍为0.6米，靠墙过道的宽度不低于0.5米，请利用前面的计算结果，判断阅读室能否摆下60套桌椅，并说明理由． 23．（12分）·【较难】如图1，公路l1与铁路l2垂直交汇于河岸O点处，公路l1与河岸的另一交点为A，其中河岸OCB段为抛物线的一部分，AB段为线段，OA＝7km，AB＝5km，点B到公路l1的距离BD＝3km，抛物线的顶点C到公路l1与铁路l2的距离分别为4km与2km．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路l1围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图2，栅栏EF紧靠公路l1（与公路l1的距离忽略不计），栅栏EH⊥EF，点H在该段抛物线上；栅栏FG⊥EF，点G在线段AB上．以点O为坐标原点，直线l1与l2分别为x轴与y轴，规定1个单位长度为1km，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出点B的坐标； （2）分别求直线AB与抛物线OCB的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）点E到铁路l2的距离小于1.5km，EH＝2FG，已知建1km长栅栏的各项开支为2万元，建完栅栏需花费17万元．求栅栏EH到铁路l2的距离． 24．（12分）·【较难】【问题背景】 如图1，给定平行四边形ABCD，点P是AD边上不与A，D重合的一动点．如图2，作△XYZ，使得XY＝AD，且当点P运动时，保持∠X＝∠ABP，∠Y＝∠DCP． 【动手操作】 将△XYZ拼接于平行四边形ABCD的上方： 操作一：如图3，使点X与A重合，点Y与D重合，将此时的Z点记为Q，作QS∥AB交AD于点S； 操作二：如图4，使点X与D重合，点Y与A重合，将此时的Z点记为R，连接RP． 【问题解决】 （1）如图1，当∠BPC＝80°时，∠APB+∠DPC＝　 　 °； （2）如图3，从结论①，②中选一个给出证明： ①△ASQ∽△BAP，②△DSQ∽△CDP； （3）如图3，在点P运动过程中，探究线段AP与线段DS的数量关系，并说明理由； （4）如图4，设AD＝4，AB＝3，当点P运动时，求PR+PD的最大值． 2026年湖南省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B D B C C B A D 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）·【易】某品牌三角板的售价是每副3元，则买a副这样的三角板需要（　　） A．3a元 B．（3+a）元 C．a3元 D．元 【答案】A 【解析】解：由题知， 因为三角板的售价是每副3元， 所以买a副这样的三角板需要3a元． 故选：A． 2．（3分）·【易】如图，该电池的主视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：根据主视图的定义，从正面观察，可得选项D的图形． 故选：D． 3．（3分）·【易】水的化学式是H2O，其中氢元素的化合价是+1，氧元素的化合价是﹣2．计算（+1）×2+（﹣2）的结果是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】解：（+1）×2+（﹣2） ＝（+2）﹣2 ＝0． 故选：B． 4．（3分）·【易】已知点P在数轴上的位置如图所示，则点P表示的数可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设点P表示的数是x，由数轴得2＜x＜3， ，，，， 所以点P表示的数可能是， 故选：D． 5．（3分）·【易】已知a＞0，b＞0，且（ab）n＝a2b2，则n的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解：∵（ab）n＝a2b2（a＞0，b＞0）， ∴n＝2， 故选：B． 6．（3分）·【较易】若x＝1是分式方程3的解，则a的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】解：若x＝1是分式方程3的解， 则2+a＝3， 解得：a＝1， 故选：C． 7．（3分）·【较易】在四张完全相同的卡片正面分别印上“湘剧”“花鼓戏”“阳戏”“祁剧”的非遗知识．将其背面朝上洗匀后随机抽取一张，恰好抽中“湘剧”卡片的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵在四张完全相同的卡片正面分别印上“湘剧”“花鼓戏”“阳戏”“祁剧”的非遗知识，将其背面朝上洗匀后随机抽取一张， ∴恰好抽中“湘剧”卡片的概率为， 故选：C． 8．（3分）·【较易】如图，在四边形ABCD中，连接BD．若∠A＝∠BDC＝90°，∠C＝30°，AB＝AD，则下列说法正确的是（　　） A．BC＝2AD B．∠ADC＝135° C．AD∥BC D．BD平分∠ABC 【答案】B 【解析】解：∵BC＝2BD≠2AD，故A选项错误． ∵∠A＝∠BDC＝90°，∠C＝30°，AB＝AD， ∴BC＝2BD，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，∠ABD＝∠ADB＝45°， ∴∠ADC＝90°+45°＝135°，故B选项正确； ∵∠CBD≠∠ADB， ∴AD与BC不平行，故C选项错误； ∵∠CBD≠∠ABD， ∴BD不平分∠ABC，故D选项错误； 故选：B． 9．（3分）·【较易】如图，在平面直角坐标系中，直角三角形ABC的斜边AB经过原点O，连接OC．已知OA＝OC，若点A的坐标为（1，0），则点B的坐标为（　　） A．（﹣1，0） B．（0，﹣1） C．（0，1） D． 【答案】A 【解析】解：∵点A的坐标为（1，0）， ∴OA＝1， 由题意可知，∠ACB＝90°， ∴∠OCA+∠OCB＝90°，∠OAC+∠OBC＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴OC＝OB， ∴OC＝OA＝1， ∴点B的坐标为（﹣1，0）， 故选：A． 10．（3分）·【中档】门与两面墙的平面示意图如图所示，墙AC与AB垂直，门CD可绕C旋转，F是门CD与门吸EF的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置），EF⊥AB于点E．已知AC＝a，EF＝b，∠ACD＝α，且a＞b，则门吸EF离墙AC的距离AE为（　　） A．a•tanα B．（a﹣b）sinα C．（a﹣b）cosα D．（a﹣b）tanα 【答案】D 【解析】解：过点F作 FG⊥AC于点G， ∵AC⊥AB，EF⊥AB，FG⊥AC， ∴四边形AEFG是矩形， ∴AE＝FG，AG＝EF＝b， ∵AC＝a， ∴CG＝AC﹣AG＝a﹣b， 在Rt△CGF 中，∠GCF＝∠ACF＝a， ∴， ∴FG＝CGtanα＝（a﹣b）tanα， ∴AE＝FG＝（a﹣b）tanα， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）·【易】化简：3a+2a＝　5a ． 【答案】5a． 【解析】解：3a+2a＝（3+2）a＝5a． 故答案为：5a． 12．（3分）·【易】因式分解：t2﹣25＝　（t+5）（t﹣5）　 ． 【答案】（t+5）（t﹣5）． 【解析】解：t2﹣25＝（t+5）（t﹣5）， 故答案为：（t+5）（t﹣5）． 13．（3分）·【易】已知x2﹣4x＝0，则代数式2x2﹣8x+2026的值是　2026　 ． 【答案】2026． 【解析】解：∵x2﹣4x＝0， ∴2x2﹣8x+2026＝2（x2﹣4x）+2026＝2×0+2026＝2026， 故答案为：2026． 14．（3分）·【较易】如图，BD是两个正六边形的公共边，A和C是离B最远的顶点，则∠ABC＝　120°　 ． 【答案】120°． 【解析】解：∵这两个多边形为正六边形， ∴每一个内角是120°， ∵∠ABD和∠CBD是正六边形的外角，根据多边形的外角和为360°， ∴每一个外角是60°， ∴∠ABD＝∠CBD＝60°， ∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝120°． 故答案为：120°． 15．（3分）·【易】如图，⊙O的半径为6，若它的周长等于的长的6倍，则阴影部分的面积为　6π　 ． 【答案】6π． 【解析】解：由题知， 设∠AOB的度数为n°， 则， 解得n＝60， 所以∠AOB＝60°， 所以阴影部分的面积为． 故答案为：6π． 16．（3分）·【较易】如图，A，B，C是反比例函数y（k＞0，x＞0）图象上三个不同的点，AD⊥x轴于点D． （1）若C在△OAD的外接圆上，且A点的坐标是（4，2），则tan∠OCD＝　2　 ； （2）设E是线段OA的中点，且BE∥y轴．若BE＝mAD，则m＝　　 ． 【答案】（1）2； （2）． 【解析】解：（1）∵AD⊥x轴， ∴∠ODA＝90°，OD＝4，AD＝2， ∵C在△OAD的外接圆上，∠OCD，∠OAD所对圆弧均为， ∴tan∠OCD＝tan∠OAD2， 故答案为：2； （2）如图，连接BE并延长，交x轴于点F， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由E是线段OA的中点得， ∵AD⊥x轴，BE∥y轴， ∴AD∥BE， ∴B，E两点横坐标相同， ∴，即x1＝2x2， ∵A，B都在反比例函数上， ∴x1y1＝x2y2＝k， ∴，即BF＝2AD， ∵AD∥BE， ∴△OEF∽△OAD， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（6分）·【易】计算：2sin30°+|﹣3|+22． 【答案】8． 【解析】解：2sin30°+|﹣3|+22 ＝1+3+4 ＝8． 18．（6分）·【易】解不等式组：． 【答案】x＞3． 【解析】解：， 解不等式①，得x＞3， 解不等式②，得x＞1， 所以不等式组的解集是x＞3． 19．（8分）·【较易】我国已有三代治沙人致力于沙漠改造，他们采用科学治沙、绿色发展的理念开展治沙工作，治沙成效大幅提升，某地区三代治沙人共完成治沙面积29万亩，比第一代治沙人治沙面积的3倍还多5万亩，求第一代治沙人的治沙面积． 【答案】8万亩． 【解析】解：设第一代治沙人的治沙面积为x万亩，则三代治沙人的治沙面积为（3x+5）万亩， 根据题意得：3x+5＝29， 解得：x＝8． 答：第一代治沙人的治沙面积为8万亩． 20．（8分）·【中档】如图，在等腰△OAB中，OA＝OB．在OA上取一点E，以O为圆心，OE的长为半径画弧，交OB于点F；分别以E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点P；作射线OP交AB于点C；以O为圆心，OC的长为半径作⊙O． （1）求证：AB与⊙O相切； （2）已知OA＝10，AB＝12，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明：由作法得OP平分∠AOB， ∵OA＝OB， ∴OC⊥AB， ∴OC为半径， ∴AB与⊙O相切； （2）8． 【解析】（1）证明：由作法得OP平分∠AOB， ∵OA＝OB， ∴OC⊥AB， ∴OC为半径， ∴AB与⊙O相切； （2）解：∵OA＝OB，OC⊥AB， ∴AC＝BCAB＝6， 在Rt△OAC中，∵OA＝10，AC＝6， ∴OC8， 即⊙O的半径为8． 21．（10分）·【较易】科技创新，从“小”做起．某校举办校园科技节活动，为了解学生选择参与的科技活动项目的情况，随机抽取若干名学生进行问卷调查、所有问卷全部回收且有效，并对所得数据进行整理，部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 学生选择参与的科技活动项目调查问卷你选择参与的科技活动项目是（　　）（单选题） A．小发明B．小制作C．小实验D．小论文 请根据上述信息，回答下列问题： （1）本次问卷调查中，参与调查的学生有　100　 人； （2）在扇形统计图中，项目C对应的圆心角的度数为　90°　 ； （3）请补全条形统计图； （4）若该校有1200名学生，选择参与“小论文”项目的学生可能会被推荐为科技活动宣传员，请估计该校可能会被推荐为科技活动宣传员的学生人数； （5）该校准备给四个科技活动项目设置80个奖励名额，请你根据统计结果，合理分配每个活动项目的奖励名额． 【答案】（1）100； （2）36°； （3）补全条形图： （4）由题意得，选择参与“小论文”项目的人数约为1200180（人）； （5）分配给项目A的名额为8人；分配给项目B的名额为40人；分配给项目C的名额为20人；分配给项目D的名额为12人； 【解析】解：（1）根据项目B的人数和占比求出本次调查所抽取的学生人数为：50÷50%＝100（人）， 即本次参与调查学生有100人， 故答案为：100； （2）项目C对应的圆心角的度数为：360°90°， 故答案为：90°； （3）项目A的人数为：100﹣50﹣25﹣15＝10（人）， 补全条形图： （4）由题意得，选择参与“小论文”项目的人数约为：1200180（人）； （5）分配给项目A的名额为：808（人）； 分配给项目B的名额为：80×50%＝40（人）； 分配给项目C的名额为：8020（人）； 分配给项目D的名额为：8012（人）． 22．（10分）·【中档】某中学为满足更多学生的阅读需求，决定对阅读室现有桌椅摆放进行调整． 【数据收集】 图1是每套桌椅摆放示意图，桌面是边长为1.2米的正方形ABCD，座椅预留活动空间为四个以桌边为斜边的等腰直角三角形．如图2，该阅读室摆放了5行8列共40套桌椅（阅读室门窗不影响桌椅摆放，未绘制），桌边平行于墙面，相邻两排桌椅间的过道宽度均为0.6米，靠墙座椅预留活动空间的直角顶点与墙壁无间隙． 【数据分析】 （1）如图1，连接FH，则FH＝　2.4　 米，取1.414，EH≈　1.7　 米（结果保留一位小数）； （2）求阅读室的长与宽； 【问题解决】 （3）调整桌椅摆放方向如图3所示（EH平行于墙面），阅读室可以容纳更多套桌椅．如图4，相邻两排桌椅间的过道宽度仍为0.6米，靠墙过道的宽度不低于0.5米，请利用前面的计算结果，判断阅读室能否摆下60套桌椅，并说明理由． 【答案】（1）2.4，1.7； （2）阅读室的长为23.4米，宽为14.4米； （3）可以摆下， 理由：设横向摆放x套桌椅，纵向摆放y套桌椅， 根据题意，得1.7x+0.6（x﹣1）≤23.4﹣0.5×2， 解得x≤10， ∴最大整数x为10， 根据题意，得1.7y+0.6（y﹣1）≤14.4﹣0.5×2， 解得， ∴最大整数y为6， ∵10×6＝60， ∴可以摆下． 【解析】解：（1）∵座椅预留活动空间为四个以桌边为斜边的等腰直角三角形， ∴EA＝FA＝ED＝DH，∠E＝90°， ∴FH＝2AD＝2.4 （米），EF＝EH， ∴EF2+EH2＝2EH2＝FH2＝2.42， ∴（米）， 故答案为：2.4，1.7； （2）阅读室的长为2.4×8+0.6×（8﹣1）＝23.4（米），宽为2.4×5+0.6×（5﹣1）＝14.4（米）， 答：阅读室的长为23.4米，宽为14.4米； （3）可以摆下， 理由：设横向摆放x套桌椅，纵向摆放y套桌椅， 根据题意，得1.7x+0.6（x﹣1）≤23.4﹣0.5×2， 解得x≤10， ∴最大整数x为10， 根据题意，得1.7y+0.6（y﹣1）≤14.4﹣0.5×2， 解得， ∴最大整数y为6， ∵10×6＝60， ∴可以摆下． 23．（12分）·【较难】如图1，公路l1与铁路l2垂直交汇于河岸O点处，公路l1与河岸的另一交点为A，其中河岸OCB段为抛物线的一部分，AB段为线段，OA＝7km，AB＝5km，点B到公路l1的距离BD＝3km，抛物线的顶点C到公路l1与铁路l2的距离分别为4km与2km．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路l1围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图2，栅栏EF紧靠公路l1（与公路l1的距离忽略不计），栅栏EH⊥EF，点H在该段抛物线上；栅栏FG⊥EF，点G在线段AB上．以点O为坐标原点，直线l1与l2分别为x轴与y轴，规定1个单位长度为1km，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出点B的坐标； （2）分别求直线AB与抛物线OCB的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）点E到铁路l2的距离小于1.5km，EH＝2FG，已知建1km长栅栏的各项开支为2万元，建完栅栏需花费17万元．求栅栏EH到铁路l2的距离． 【答案】（1）B（3，3）； （2）直线AB的函数表达式为：；抛物线OCB的函数表达式为：y＝﹣x2+4x； （3）1km． 【解析】解：（1）∵O为原点，l1为x轴，OA＝7km， ∴A（7，0）， ∵点B到l1的距离BD＝3km，AB＝5km， ∴， ∴OD＝OA﹣DA＝7﹣4＝3km， ∴B（3，3）； （2）设直线AB的函数表达式为：y＝kx+b， 将A（7，0）、B（3，3）代入得：， 解得， ∴直线AB的函数表达式为：， ∵顶点C到l1的距离为4km，到l2的距离为2km， ∴C（2，4）， ∴设抛物线OCB的函数表达式为y＝a（x﹣2）2+4， 将O（0，0）代入得0＝4a+4， 解得：a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x， ∴抛物线OCB的函数表达式为：y＝﹣x2+4x； （3）建1km长栅栏的各项开支为2万元，建完栅栏需花费17万元， ∴棚栏总长为， ∴， 设点E的坐标为（e，0），且0＜e＜3， ∵点E到铁路l2的距离小于1.5km， ∴e＜1.5， ∵点H在抛物线y＝﹣x2+4x上， ∴H（e，﹣e2+4e）， ∴HE＝﹣e2+4e， 设点F的坐标为（f，0），且f＞e， ∵点G在直线A上， ∴， ∴， ∵EH＝2FG， ∴， 整理得：， 又∵EF＝f﹣e， ∴， 将代入，整理得：5e2﹣14e+9＝0， 解得：e1＝1，， ∵e＜15， ∴e不合题意，舍去， ∴e＝1， ∴栅栏EH到铁路l2的距离为1km． 24．（12分）·【较难】【问题背景】 如图1，给定平行四边形ABCD，点P是AD边上不与A，D重合的一动点．如图2，作△XYZ，使得XY＝AD，且当点P运动时，保持∠X＝∠ABP，∠Y＝∠DCP． 【动手操作】 将△XYZ拼接于平行四边形ABCD的上方： 操作一：如图3，使点X与A重合，点Y与D重合，将此时的Z点记为Q，作QS∥AB交AD于点S； 操作二：如图4，使点X与D重合，点Y与A重合，将此时的Z点记为R，连接RP． 【问题解决】 （1）如图1，当∠BPC＝80°时，∠APB+∠DPC＝　100　 °； （2）如图3，从结论①，②中选一个给出证明： ①△ASQ∽△BAP，②△DSQ∽△CDP； （3）如图3，在点P运动过程中，探究线段AP与线段DS的数量关系，并说明理由； （4）如图4，设AD＝4，AB＝3，当点P运动时，求PR+PD的最大值． 【答案】（1）100； （2）选择①△ASQ∽△BAP， 证明：∵QS∥AB， ∴∠ASQ＝∠BAP， 又∵∠QAS＝∠ABP， ∴△ASQ∽△BAP； 选择②△DSQ∽△CDP， 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， 又∵QS∥AB， ∴QS∥CD， ∴∠QSD＝∠PDC， 又∵∠QDS＝∠DCP， ∴△DSQ∽△CDP； （3）AP＝DS，理由： ∵△ASQ∽△BAP，△DSQ∽△CDP， ∴①，， ∵AB＝CD， ∴②， 由①得AB•SQ＝AP•AS， 由②得AB•SQ＝DP•DS， ∴AP•AS＝DP•DS， ∴AP•（AD﹣SD）＝（AD﹣AP）•DS， ∴AP•AD﹣AP•SD＝AD•DS﹣AP•DS， ∴AP•AD＝AD•DS， ∴AP＝DS； （4）． 【解析】解：（1）∵∠BPC＝80°， ∴∠APB+∠DPC＝180°﹣∠BPC＝100°， 故答案为：100； （2）选择①△ASQ∽△BAP， 证明：∵QS∥AB， ∴∠ASQ＝∠BAP， 又∵∠QAS＝∠ABP， ∴△ASQ∽△BAP； 选择②△DSQ∽△CDP， 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， 又∵QS∥AB， ∴QS∥CD， ∴∠QSD＝∠PDC， 又∵∠QDS＝∠DCP， ∴△DSQ∽△CDP； （3）AP＝DS，理由： ∵△ASQ∽△BAP，△DSQ∽△CDP， ∴①，， ∵AB＝CD， ∴②， 由①得AB•SQ＝AP•AS， 由②得AB•SQ＝DP•DS， ∴AP•AS＝DP•DS， ∴AP•（AD﹣SD）＝（AD﹣AP）•DS， ∴AP•AD﹣AP•SD＝AD•DS﹣AP•DS， ∴AP•AD＝AD•DS， ∴AP＝DS； （4）根据题意，得图3中△ADQ和图4中△DAR全等， ∴DQ＝AR， ∵图3中△DSQ∽△CDP， ∴， 由（3）知：AP＝DS， ∴， 又∵∠RAP＝∠DCP， ∴△ARP∽△CPD， ∴， 设PD＝x，则AP＝4﹣x， ∴， 解得， ∴ ， ∴当时，PR+PD取最大值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $