23.4.1 解直角三角形-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

指南针·课堂优化· 专题练习4求锐角三角函数值的常用方法：11.路灯的高度约为8.4m 方法11.C2.AC的长为4，simA的值为号 12.(1)观景平台MN的长为(15√3-15)米， (2)轻轨所穿楼栋AB的高度约为35.7米 方法23.D4.D方法35.C6.A方法47.B8. 第3课时坡度 23.4解直角三角形 基础导学 第1课时解直角三角形 1.此i=h 2.1:m3.坡面与水平面4.越大越陡 基础导学 典例探究 1.解直角三角形2.(1)两条边(2)一条边一个锐角 【例1】斜坡AB的坡角a约为18°26'，坝底宽AD为132.5m, 典例探究 斜坡AB的长约为72.7m 【例1】AB=2W2,∠A=30°，∠B=60°， 【变式训练1】330°(65+2) 【变式训练1】(1)∠B=60°，a=45,c=85 【例2】树DE的高度为(3十23)米. (2)b=2W6,∠A=∠B=45°. 【变式训练2】大楼MN的高度约为92米. 【例2】AB=3+√5. 【例3】(1)所以整修后背水坡面的面积为90×8=720（平方米）. 【变式训练2】4455E (2)种植花草至少需要16000元. 3 3 【变式训练3】210 【例3】小岛A与小岛B之间的距离约为100km 课后演练 【变式训练3】花洒顶端C到地面的距离CE约为192cm 1.B2.A3.B4.75°5.(50W6-50W2) 课后演练 6.塔高约为115.5m 1c2c3.c4号 5.2√3或6√36.50 7.楼房AB的高为(35十10W3)米8.1 13 9.(83-5.5) 7.(1)c=2√15(2)b=2+√3(3)∠B=45° (4)a=35 10.(1)BG=8cos12°(cm); 8.A、B两点之间的距离约为94米. (2)DN=GH=BG+BH=(8cos12+20-8sin12)cm. 9910.35±81cD=15, 11.(1)两渔船M,N之间的距离为20米， 2 (2)该施工队原计划平均每天填筑600m的土石方. 第2课时仰角与俯角 第23章《解直角三角形》专题复习 基础导学 仰角俯角 【例1】tanl5°=2-√5. 典例探究 【例2】(1)点M的坐标是(8,6). (2)cos∠MN0=25 5 【例1】点P到AD的距离为(183一8)米. 【例3】 mc=最 【例4】25 【例2】电缆线BC至少长146.4m 【变式训练1】C 【例5】背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米. 【变式训练2】(1)C,D两点的高度差为9m, 第23章章末测试 (2)居民楼的高度AB约为24m 1.A2.D3.D4.D5.D6.A7.A8.C9.1 课后演练 10.30°30°120°11.√2-112.(30+103) 1.D2.A3.A4.1035.12.76.423 13.7414.(153+1)m15.(1)-2(2)-2 7.(1)300(2)白塔BC的高度约为45米. 8.旗杆的高EF为10.3m9.1710.(mtana十mtanB) 16.DAD=32(2)sina=号 43 九年级上册·数学(HS) 17.塔高CM约为27.7m 18.(1)证明略 (2)△ECG为等腰直角三角形，理由略 (3)sin∠BFE=子 第24章随机事件及其概率 24.1在重复试验中观察随机现象 第1课时事件的认识 基础导学 1.(1)试验一定会发生(2)一定不会发生 (3)必然事件不可能事件2.100%00~1 典例探究 【例1】解：必然事件：(1)不可能事件：(2) 随机事件：(3)(4)(5)(6)(7)(8) 【变式训练1】(1)B(2)B(3)必然不可能必然 随机 【例2】1号盒子中可能摸到红球，也可能摸不到红球；2号盒 子中一定能摸到红球；3号盒子中一定摸不到红球 【变式训练2】红灯 课后演练 1.B2.D3.D4.(3)5.D6.随机 7.必然事件：(4)不可能事件：(1)(5) 随机事件：(2)(3)确定事件：(1)(4)(5) 8.A9.(1)可能(2)必然(3)不可能(4)可能 10.(1)当n=7或8或9时，这件事情必然发生； (2)当n=1或2时，这件事不可能发生； (3)当n=3或4或5或6时，这件事可能发生， 第2课时在重复试验中观察不确定现象 基础导学 1.频率2.反复比较多 典例探究 【例1】(1)表中依次填：180.55(2)略 (3)“兵”字面朝上的机会大约为0.55. 【2】(1)3点朝上的颜率是品=0“5点朝上”的频率 1 是器 (2)小颖的说法是错误的，理由略 【变式训练】（①)A(2) 课后演练 1.D2.D3.A4.B5.(1)0.6(2)0.6(3)16个，24个 621.品 8.(1)相同(2)n=2 9.(1)a=120,b=0.1: (2)1<t≤1.5的人数为120X0.4=48,图略 (3)估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数为 1200×(0.4+0.1)=600(人) 10.(1)抽出黑桃K必胜，抽出方块A必输 (2)N队要胜出的可能性有号，理由略， 24.2随机事件的概率 第1课时随机事件的概率 基础导学 1.可能性大小2.频率 典例探究 【例1】投掷骰子的次数很多时，平均每投掷6次，会出现一 次掷得“6”. 【变式训练1】略 【例2】(1)0.6(2)0.60.4(3)白球个数：20×0.6=12 (个)；黑球个数：20×0.4=8（个）.(4)略 【变式训练2】0.9 【例3】(1)中奖的概率是号，不中奖的概率是号. (2)不同意他的想法，每次摸奖，得到一张精美图片的概率都 【变式训练3】A 课后演练 1.B2.C3.D4.D5.9 5 6.20 7.(1)1200.2(2)频数分布直方图略 (3)全体参赛选手成绩的中位数落在第4组 (4)这名选手恰好是获奖者的概率是0.55 8.是9.a+6=10 10.红球占40%，黄球占60%；盒中有红球40个 11.(1)共有三种可能.即第一种可能为：x2十2x2一1=3x2 44第23章解直角三角形 23.4 解直角三角形 【变式训练1】在Rt△ABC中，∠C=90°， 第1课时 解直角三角形 根据下列条件解直角三角形. (1)∠A=30°，b=12; 基 础 导学 (2)a=2√6，c=4V5. 1.在直角三角形中，由已知元素求未知元 素的过程，叫做 2.解直角三角形只有两种情况：(1)已知 ;(2)已知 和 ★注意：解决非直角三角形问题往往需要 构造直角三角形，常从非特殊角的顶点向对边 考 点2解非直角三角形 作垂线.对于较复杂的图形，往往通过“补形”或 【例2】 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B “分割”的方法，构造直角三角形，利用解直角三 =45°，AC=2W3,求AB的长， 角形的方法实现问题的转化. 3.方向角 从正北方向线或正南方向线到目标方向线 30 45 所形成的小于90的角叫做方向角 B 典例探究 考点1) 解直角三角形 【例1】△ABC中，∠C-90°，AC=√6，BC =√2，解这个直角三角形. 规律与方法：本题考查灵活运用解直角三角 形的知识求线段长，恰当引用辅助线，把AB化到 规律与方法：若已知两边，可先解出第三边， 两个直角三角形中去，把问题转化为解直角三角形 再利用边角关系，求出所有角。 的问题来解答是解决问题的关键， 131· 格南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS)》 【变式训练2】如图，在△ABC中，若AB= 规律与方法：“双直角三角形”是锐角三角函 4w2,∠B=45°，∠C=60°，AH⊥BC于点H,D为 数部分最常见的类型，一般分两种情况：一是两个 AC上的一点，且AD=√3，则AH=,CH= 直角三角形在公共边的同侧；二是两个直角三角形 DC= 在公共边的异侧.解题的一般方法就是设公共边为 x,然后利用锐角三角函数表示一些边的长度，最 后根据题意列出方程，即可求解。 【变式训练3】墙壁及淋浴花洒截面如图所 考点3)解直角三角形的应用 示.已知花洒底座A与地面的距离AB为170 【例3】如图，有小岛A和小岛B,轮船以45 cm,花洒AC的长为30cm,与墙壁的夹角∠CAD lkm/h的速度由C向B航行，在C处测得A的方 为43°.求花洒顶端C到地面的距离CE.(结果精 位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东 确到1cm参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73， 45°，轮船航行2h后到达小岛B处，在B处测得 tan43°≈0.93) 小岛A在小岛B的正北方向.求小岛A与小岛B 之间的距离.（结果保留整数.参考数据：√2≈ 1.41,W6≈2.45) 10 E 605 B E ·132· 第23章解直角三角形 5.(西宁中考)在平面直角坐标系xOy中，直线 课后演练 AB与x轴交于点A(6,0),与y轴交于点B (0,6),点P在y轴上，且满足∠PAB=15°， 【基础过关】 则OP的长为 1.(贵港中考)如图，在4×4网格正方形中，每个 6.(巴中中考)一艘轮船位于灯塔P的南偏东 小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的 60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏 东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 顶点均是格点，则cos∠BAC的值是 () 的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的 B.10 C.25 D.- 4 距离约为 海里.（参考数据：sin37°≈ 5 5 5,C0s37°≈4 an37 北 十东 第1题图 第2题图 167 30 2.(沈阳中考)如图，一条河的两岸互相平行，为了 160 测量河的宽度PT(PT与河岸PQ垂直)，测量 7.已知Rt△ABC中，∠C=90°，由下列条件解 得P,Q两点间距离为m米，∠PQT=a,则河 直角三角形 宽PT的长为 ( (1)已知a=4√3，b-2W3,求c; A.msina B.mcosa C.mtana D.m tang (2)已知∠A=60°，c=2W3+4,求b; 3.(乐山中考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， (3)已知a=10,c=10√2，求∠B; (4)已知b=35,∠A=45°，求a. BC=√5，点D是AC上一点，连结BD.若tan∠A 2am∠ABD-号则CD的帐为 A.25 B.3 C.√5 D.2 第3题图 第4题图 4.(常州中考)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°， 点D在边AB上，连接Cn,若BD-CD,品 -3,则amB= ·133· 格南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS)》 8.(淮安中考)如图，湖边A、B两点由两段笔直 10.(齐齐哈尔中考)在△ABC中，AB=3√6，AC= 的观景栈道AC和CB相连.为了计算A、B 6,∠B=45°，则BC= 两点之间的距离，经测量得：∠BAC=37°， ∠ABC=58°，AC=80米，求A、B两点之间的 【创新探究】 距离.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈ 11.一副直角三角板如图放置，点C在FD的延 0.80,tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈ 长线上，AB∥CF,∠F=∠ACB=90°，∠E 0.53,tan58°≈1.60) =45°，∠A=60°，AC=5,试求CD的长 589 【能力提升】 9.(深圳中考)如图，在△ABC中，AB=BC,tan ∠B=3,D为BC上一点，若满足CD=? BD,过D作DE⊥AD交AC延长线于点E, 暖 ·134·