23.3.3 用计算器求锐角三角函数值&专题练习4 求锐角三角函数值的常用方法-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

格南针·课堂优化·九年纸上册·数学(HS) 【创新探究】 13.如图，已知边长为2的正三角形ABC沿直 线l滚动，当△ABC滚动一周时，到△A1B1 C1的位置.设△ABC滚动240°时，C点的位 置为C',△ABC滚动480°时，A点的位置是 A'.请你利用三角函数中正切的两角和公式 tana+tanB tan(a+m=1-tana.ang求出∠CAC+ ∠CAA'的度数. 12 第3课时用计算器求锐角三角函数值 基础导学 1.利用计算器求任意锐角的三角函数值， 反过来知道某个锐角的三角函数值，可以求出 这个锐角， 2.计算器的使用方法，使用中注意按键的 顺序 3.利用直角三角形的边角关系解决一些实 际问题， 4.一个锐角的正弦值、正切值随着角度的 增大而增大，余弦值、余切值随着角度的增大而 减小. 典例探究 考点1已知角的度数，求锐角三角函数值， 【例1】求sinl6°、cos42°、tan85°、sin7238 25"的值.（精确到0.0001） 规律与方法：用计算器求出三角函数值时，结 果一般有10个数位，如无特别说明，计算结果一般 精确到万分位 【变式训练1】用计算器比较sin27°、 sin37°、sin47的大小关系是 A.sin27°<sin37°<sin47° 26 B.sin27>sin37>sin47 C.sin37°<sin47°<sin27 D.sin37>sin47°>sin27° 考点2 已知锐角三角函数值，求角的度数 【例2】计算：（精确到0.1） (1)若sinA=0.9816,求∠A; (2)若cosA=0.8607,求∠A; (3)若tanA=0.1890,求∠A. 规律与方法：上面的显示结果是以度为单位 的，再按SHFT网健可显示以“度分秒”为单位 的结果 【变式训练2】 已知a是锐角，且tana= √2，那么α的范围是 A.60°<a<90° B.45°<a<60° C.30°<a<45° D.0°<a<30° 考点③利用直角三角形的边角关系解决 问题 【例3】某海滨浴场东西走向的海岸线可 近似看作直线（如图）.救生员甲在A处的瞭望 台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有 人发出求救信号.他立即沿AB方向径直前往救 援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙.乙 马上从C处入海，径直向B处游去.甲在乙入海 10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去. 若CD=40米，B在C的北偏东35°方向，甲、乙 19 第23章解直角三角形 的游泳速度都是2米/秒.问谁先到达B处？请 说明理由.（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈ 0.57,tan55°≈1.43) 海岸线C 隙望台A 规律与方法：①运用计算器可使计算又快又 准；②善于将实际问题建立模型转化成解直角三 角形的问题 【变式训练3】如图，有一个三角形的钢架 ABC,∠A=30°，∠C=45°，AC=2(W3+1)m.请 计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个 直径为2.1m的圆形门. 指南针·课堂优化·九年纸上册·数学(HS) 课 后 演练 【基础过关】 1.已知sinA=0.8917,运用科学计算器求锐角A时， 若要显示以“度“分“秒”为单位的结果，按下的键 是 () A.sin1 B.2ndF C.DMS D.ab/c 2.用计算器求tan25°，sin27°，cos26的值，他们的大小 关系是 () A.tan25°<cos26°<sin279 B.tan25°<sin27°<cos26 C.sin27°<tan25°<cos26 D.cos26°<tan25°<sin27 3.如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路 AB走到山顶B点.已知坡角为20°，山高BC=2千 米.用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键 顺序正确的是 () A20° A.2÷sm20日 B.2☒sm20= C.2日os20▣ D.2☒tam20▣ 4已知e为锐角，号 <tana≤3，则a的取值范围是 A.30°≤a≤60° B.60≤a≤90° C.30°<a≤60 D.30°≤a<60 5若锐角a满足0<a<5,且sm2a号，则w 6.在△ABC中，∠A,∠B均为锐角，且|tanB √3|+(2cosA-√3)2=0，则∠C= 7.在△ABC中，∠C=90°，4b+3c2=4√3bc,则 12 8.用计算器求满足下列条件的锐角A:(精确 到0.01) (1)0sA=后 ( (2)tanA=18; ( (3)cosA=0.9511; ( (4)tanA=2.474. ( ) 9.为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区 对A、B两地间的公路进行改建.如图，A、B 两地之间有一座山.汽车原来从A地到B地 需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道 后，汽车可直接沿直线AB行驶.已知BC=80 千米，∠A=45°，∠B=30°. (1)开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走 多少千米？ (2)开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以 少走多少千米？ (结果精确到0.1千米.参考数据：√2≈1.41， √3≈1.73) 45° 30 28· 第23章解直角三角形 【能力提升】 【创新探究】 10.(1)如图，锐角的正弦值和余弦值都随着锐 11.如图，某水产养殖户开发一个三角形形状的 角的确定而确定，变化而变化，试探索随着 养殖区域，A、B、C三点的位置如图所示.已 锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化 的规律， 知∠CAB=105°，∠B=45°，AB=100√2米 (2)根据你探索到的规律试比较18°，34°， (参考数据：W2≈1.41，√3≈1.73，sin20°≈ 50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余 0.34,c0s20°≈0.94，tan20°≈0.36.结果保留 弦值的大小 整数) (3)比较大小（在空格处填写“>”“=”或 (1)求养殖区域△ABC的面积； “<”): (2)养殖户计划在边BC上选一点D,修建垂 若a=45°，则sina cosa; 钓栈道AD,测得∠CAD=40°，求垂钓栈道 若0°<a<45°，则sina cOSa; AD的长. 若45°<a<90°，sina cosa. 45CR C C.C C ·129· 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 专题练习4 求锐角三角函数值的常用方法 方法1定义法 的式子为 ( 1.如图，在中Rt△ABC,∠C=90°，AB=13,AC A.AB D B. CD c铝 BE D.OB =5,下列结论中，正确的是 () AaB-号 B B.tanA-1 13 c.sna贵 ■ 第5题图 第6题图 D.om 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D,下列式子正确的是 () 2.(湖州中考)如图，已知在Rt△ABC中，∠C= A.sinA- D 90°，AB=5,BC=3.求AC的长和sinA的值. B.coA B C.tanA= CD AB DmsB铝 方法④构造直角三角形法 7.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为 1的网格中，点A,B,C均在格点上，则tanC 的值是 () 方法2巧设参数法 3.已知在R△ABC中，∠C=90,siA-号，则 tanB的值为 ( ) A.2 B.4 C.1 D.3 4 A. B c D.4 8.如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个 角，其中点A、O、B均在格点上，则sin∠AOB 4.在R△ABC中，∠C=90,c0sA=号，则tanB 的值是 的值为 ( A日 B.② C.2② 3 D② 4 方法③等角代换法 5.如图，BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD与 CE相交于O,则图中线段的比不能表示sinA ·130·指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 22.5图形与坐标 课后演练 课后演练 第1课时 用坐标确定位置 1.B2.B3.C4.42π5.(9,0)6.(3,4) 1.B2.B3.D4.305.486.16 基础导学 7.(1)图略 (2)图略，A2(一2，一2) 7.能，AB=100米8.树高为4.2m9.2.310.54 11.旗杆AB的高度约为8.4m12.旗杆的高度为16m 1.平面直角坐标系坐标 8.(1)A(-2,0),C(1,2):(2)13. 典例探究 23.2直角三角形的性质 9.(4,4-43、 3) 10.(32,3)(64,0) 【例1】点M的坐标为(-3,0)或（一3,2）. 典例探究 【变式训练1】C 11.(1)点0的坐标为(W2,2一√2)； 【例1】BC1=3.75(m).【变式训练2】2 【例2】学校所在的位置在点O的南偏西（或南偏东）60°的方 (2)AA'=2√2，点A'的坐标为(1+√3,1十√3). 【例2】(1)证明略(2)BD的长度为号 向，距离点O为4. 第22章 《图形的相似》专题复习 【变式训练2】23 【变式训练2】(5,30)(3,300) 【例1】S四边形ABCE=8: 课后演练 课后演练 1.B2.A3.C4.(3,30)5.5 【例2】建筑物的高度为104m 1A2C3.C4B5.10°6,47.号a8证明略 【例3】GH垂直平分EF,理由略 6.(7,0) 【例4】平行四边形OABC关于y轴对称的图形平行四边形 9D1043 11.证明略12.(1)AP的长为2(2)ED=3 7.(1)A(4,6),B(14,4),C(8,12),D(2,14)(2)E,(14,14) OA'B'C的四个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都互为 23.3锐角三角函数 8.(1)码头在操场的正西面，距操场3个单位长度，哨所在码 相反数；这两个平行四边形的对角线的交点坐标也如此 头的东北方向上，距码头4W2个单位长度， 第1课时锐角三角函数的认识 第22章 章未测试 典例探究 (2)操场(0,0)，雷达(3,2)，哨所(1,4)，码头（一3,0），营房 1.D2.B3.C4.C5.A6.C7.D8.C (0,-2),伙房(4，-1). 【例】÷smB=号，cosB=是， ,tanB=4 3-5 9.(5,0)10.(1,3)11.31.5 9.1cm 2 10.袋 11.2712.1213.6 【变式训练】sn∠BCD=snA-青，cos∠BCD=cos 第2课时 图形的变换与坐标 14.(2891,-√3)15.证明略 3 .4 基础导学 16.证明略 5 tanBCD=tanA= 3 1.(x,-y)(-x,-y) 17.图略.(1)横坐标不变，纵坐标减3.(2)纵坐标不变，横坐标 【例2】C【变式训练2】 12 2.(x,y十a)(x,y-a)(x十a,y）(x-a,y） 变为原来的相反数.(3)点A是线段B:A的中点，点C是 课后演练 典例探究 线段B3C3的中点. 【例1】三个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都减小了4 18)证明路2与△OBF相似的三角形有△BCR,1D2B3D4C556号1号 5 个单位长度 △BAF,理由略(3)DE=3十√19 【变式训练1】(1，一3) &.sin∠CBD=25 5 sim∠ABD=5 5 第23章 解直角三角形 【例2】梯形OABC关于y轴的轴对称图形各对应顶点的纵 9anB-是10.里 11.32 坐标都未改变，而横坐标都分别互为相反数， 23.1测量 基础导学 12.(1)BD·cos∠HBD=4.(2)AB的长是6. 【变式训练2】(-1,3) 1.成正比 第2课时特殊角的三角函数值 【例3】(1)△ABC各顶点的坐标为：A(0,2),B(一3,1)， 基础导学 C(-2,一1)，△DEF各顶点的坐标为：D(0,-2),E(6,0),F 典例探究 【例1】B'C'=16(m) 【变式训练1】4.8 (4,4).(2)图略，M(3,-1),N(2,1).(3)△ABC△DEF,且 199 2 12.-半3.sin(90°-a)se coSa 【例2】正确，理由略 相似比为7，所以SAc=4SAEr, 典例探究 【变式训练2】旗杆的高度为11.5米. 【变式训练3】（一2.一2） 【例3】C【变式训练1】33 【例】1285(3)号5(2 41 【变式训练1】1)6-3反(23(3)-号 【p】5.【变式训维2】贵【】AC=14 【变式训练3】△ABC的面积为23或号3. 课后演练 1.D2.B3.A4.C5.16.2或37.(1)90°(2)75 8.a2 (2原式=。当a=2n60+m45=5+1 时，原式= 3 9.∠A=30°10.2+√311.30°或150°或90°. 12.(1)BC=16-2√5(2)tanl5°=0.3 13.∠CAC+∠CAA'=30°. 第3课时用计算器求锐角三角函数值 典例探究 【例1】sin16°≈0.2756，cos42°≈0.7431，tan85°≈11.4301， sin72°3825"≈0.9545， 【变式训练1】A 【例2】.(1)∠A≈79.0°.(2)∠A≈30.6°.(3)∠A≈10.7°. 【变式训练2】B【例3】乙先到达B处 【变式训练3】工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m 的圆形门. 课后演练 1.C2.C3.A4.C5.56.90°2.25 8.(1)∠A≈66.42°(2)∠A≈86.82 (3)∠A≈17.99°(4)∠A≈67.99° 9.(1)开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米 (2)开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走27.2 千米 10.(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随 角度的增大而减小 (2)sin88>sin62>sin50°>sin34°>sinl8°； cos88°<cos62°<cos50°<c0s34°<cos18°. (3)= <> 11.(1)13650(平方米).(2)垂钩栈道AD的长约为106米. 42 指南针·课堂优化· 专题练习4求锐角三角函数值的常用方法：11.路灯的高度约为8.4m 方法11.C2.AC的长为4，simA的值为号 12.(1)观景平台MN的长为(15√3-15)米， (2)轻轨所穿楼栋AB的高度约为35.7米 方法23.D4.D方法35.C6.A方法47.B8. 第3课时坡度 23.4解直角三角形 基础导学 第1课时解直角三角形 1.此i=h 2.1:m3.坡面与水平面4.越大越陡 基础导学 典例探究 1.解直角三角形2.(1)两条边(2)一条边一个锐角 【例1】斜坡AB的坡角a约为18°26'，坝底宽AD为132.5m, 典例探究 斜坡AB的长约为72.7m 【例1】AB=2W2,∠A=30°，∠B=60°， 【变式训练1】330°(65+2) 【变式训练1】(1)∠B=60°，a=45,c=85 【例2】树DE的高度为(3十23)米. (2)b=2W6,∠A=∠B=45°. 【变式训练2】大楼MN的高度约为92米. 【例2】AB=3+√5. 【例3】(1)所以整修后背水坡面的面积为90×8=720（平方米）. 【变式训练2】4455E (2)种植花草至少需要16000元. 3 3 【变式训练3】210 【例3】小岛A与小岛B之间的距离约为100km 课后演练 【变式训练3】花洒顶端C到地面的距离CE约为192cm 1.B2.A3.B4.75°5.(50W6-50W2) 课后演练 6.塔高约为115.5m 1c2c3.c4号 5.2√3或6√36.50 7.楼房AB的高为(35十10W3)米8.1 13 9.(83-5.5) 7.(1)c=2√15(2)b=2+√3(3)∠B=45° (4)a=35 10.(1)BG=8cos12°(cm); 8.A、B两点之间的距离约为94米. (2)DN=GH=BG+BH=(8cos12+20-8sin12)cm. 9910.35±81cD=15, 11.(1)两渔船M,N之间的距离为20米， 2 (2)该施工队原计划平均每天填筑600m的土石方. 第2课时仰角与俯角 第23章《解直角三角形》专题复习 基础导学 仰角俯角 【例1】tanl5°=2-√5. 典例探究 【例2】(1)点M的坐标是(8,6). (2)cos∠MN0=25 5 【例1】点P到AD的距离为(183一8)米. 【例3】 mc=最 【例4】25 【例2】电缆线BC至少长146.4m 【变式训练1】C 【例5】背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米. 【变式训练2】(1)C,D两点的高度差为9m, 第23章章末测试 (2)居民楼的高度AB约为24m 1.A2.D3.D4.D5.D6.A7.A8.C9.1 课后演练 10.30°30°120°11.√2-112.(30+103) 1.D2.A3.A4.1035.12.76.423 13.7414.(153+1)m15.(1)-2(2)-2 7.(1)300(2)白塔BC的高度约为45米. 8.旗杆的高EF为10.3m9.1710.(mtana十mtanB) 16.DAD=32(2)sina=号 43 九年级上册·数学(HS) 17.塔高CM约为27.7m 18.(1)证明略 (2)△ECG为等腰直角三角形，理由略 (3)sin∠BFE=子 第24章随机事件及其概率 24.1在重复试验中观察随机现象 第1课时事件的认识 基础导学 1.(1)试验一定会发生(2)一定不会发生 (3)必然事件不可能事件2.100%00~1 典例探究 【例1】解：必然事件：(1)不可能事件：(2) 随机事件：(3)(4)(5)(6)(7)(8) 【变式训练1】(1)B(2)B(3)必然不可能必然 随机 【例2】1号盒子中可能摸到红球，也可能摸不到红球；2号盒 子中一定能摸到红球；3号盒子中一定摸不到红球 【变式训练2】红灯 课后演练 1.B2.D3.D4.(3)5.D6.随机 7.必然事件：(4)不可能事件：(1)(5) 随机事件：(2)(3)确定事件：(1)(4)(5) 8.A9.(1)可能(2)必然(3)不可能(4)可能 10.(1)当n=7或8或9时，这件事情必然发生； (2)当n=1或2时，这件事不可能发生； (3)当n=3或4或5或6时，这件事可能发生， 第2课时在重复试验中观察不确定现象 基础导学 1.频率2.反复比较多 典例探究 【例1】(1)表中依次填：180.55(2)略 (3)“兵”字面朝上的机会大约为0.55. 【2】(1)3点朝上的颜率是品=0“5点朝上”的频率 1 是器 (2)小颖的说法是错误的，理由略 【变式训练】（①)A(2) 课后演练 1.D2.D3.A4.B5.(1)0.6(2)0.6(3)16个，24个 621.品 8.(1)相同(2)n=2 9.(1)a=120,b=0.1: (2)1<t≤1.5的人数为120X0.4=48,图略 (3)估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数为 1200×(0.4+0.1)=600(人) 10.(1)抽出黑桃K必胜，抽出方块A必输 (2)N队要胜出的可能性有号，理由略， 24.2随机事件的概率 第1课时随机事件的概率 基础导学 1.可能性大小2.频率 典例探究 【例1】投掷骰子的次数很多时，平均每投掷6次，会出现一 次掷得“6”. 【变式训练1】略 【例2】(1)0.6(2)0.60.4(3)白球个数：20×0.6=12 (个)；黑球个数：20×0.4=8（个）.(4)略 【变式训练2】0.9 【例3】(1)中奖的概率是号，不中奖的概率是号. (2)不同意他的想法，每次摸奖，得到一张精美图片的概率都 【变式训练3】A 课后演练 1.B2.C3.D4.D5.9 5 6.20 7.(1)1200.2(2)频数分布直方图略 (3)全体参赛选手成绩的中位数落在第4组 (4)这名选手恰好是获奖者的概率是0.55 8.是9.a+6=10 10.红球占40%，黄球占60%；盒中有红球40个 11.(1)共有三种可能.即第一种可能为：x2十2x2一1=3x2 44