22.5.2 图形的变换与坐标-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 第2课时 图形的变换与坐标 基 础 导学 1.点P(x,y)关于x轴的对称点P1的坐标 是 ;点P(x,y)关于y轴的对称点 P2的坐标是(-x,y);点P(x,y)关于原点的对 称点P3的坐标是 2.设a>0,将点P(x,y)向上平移a个单位 长度得到点 ;将点P(x,y)向下平 移a个单位，长度得到点 ;将点P (x,y)向右平移a个单位长度得到点 ;将点P(x,y)向左平移a个单位长度得到 点 典例探究 考点①用坐标表示图形的平移 【例1】如图，△ABC沿x轴向左平移4 个单位长度之后，得到△A'B'C'.三个顶点的坐 标有什么变化？ 规律与方法：图形平移后各对应点的坐标如 何变化，主要是看图形移动后的高低，左右位置 怎样变化 【变式训练1】（临沂中考）如图，在平面直 角坐标系中，△ABC的顶点A,B的坐标分别是A (0,2),B(2,-1).平移△ABC得到△A'BC,若点 A的对应点A的坐标为（一1,0），则点B的对应点 1 B的坐标是 考点2用坐标表示图形的轴对称 【例2】 如图，梯形OABC关于y轴的轴 对称图形是梯形OA'B'C',对应顶点的坐标有什 么变化？ 规律与方法：两图形关于y轴对称与两个点 关于y轴对称的情况类似， 【变式训练2】如图，如果△A'B'C'与 △ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A'的 坐标为 01 考点③位似与坐标 【例3】如图，图中的小方格都是边长为1 的正方形 (1)分别写出△ABC和△DEF的顶点 坐标； (2)以D为位似中心，把△DEF缩小一半， (只画出一个即可)得到△DMN,并写出M,N 两点的坐标； 04 (3)试说明△ABC和△DEF的面积关系， 规律与方法：本题主要考查图形运动与顶点 的坐标变化的知识，通过位似画图形，再利用关 于原点对称的点的坐标关系判断对应图形的相 似（全等）关系.掌握好中心对称和位似的知识是 解此类问题的关键。 【变式训练3】已知：如图△ABC三个顶 点的坐标分别为A(0,-3)、B(3,一2)、C(2, 4),正方形网格中，每个小正方形的边长是1个 单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出 △A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC位似，且△A B1C1与△ABC的位似比为2：1，此时点A1的 坐标为 0: :B ……… 10 第22章图形的相似 课 后 演练 【基础过关】 1.（成都中考)在平面直角坐标系xOy中，点P (1,一4)关于原点对称的点的坐标是() A.(-1,-4) B.(-1,4) C.(1,4) D.(1,-4) 2.如图，以某点为位似中心，将△OAB进行位似 变换得到△DFE,则△OAB与△DFE的位似 比为 A.3 B.2 C.1 n 3.如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A 在x轴上，点B的坐标为(2,1).如果将矩形 OABC绕点O旋转180°，旋转后的图形为矩 形OA1B1C1,那么点B1的坐标为 () A.(2,1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,-1) B(2,1) D B 第3题图 第4题图 4.(潍坊中考)《墨子·天文志》记载：“执规矩，以 度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图， 正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点 为位似中心，作它的位似图形A'B'CD',若 AB:AB=2:1,则四边形A'B'CD'的外接圆 的周长为 5 指南针·课堂优化·九年服上册·数学(HS) 5.如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，且顶点 都在格点上，则位似中心的坐标是 0123456789101112x 第5题图 第6题图 6.(淄博中考)如图，已知A,B两点的坐标分别 为A(-3,1),B(-1,3),将线段AB平移得 到线段CD.若点A的对应点是C(1,2),则点 B的对应点D的坐标是 7.已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A (0,一3)，B(3,一2)，C(2,一4)，正方形网格 中，每个小正方形的边长是1个单位长度. (1)画出△ABC向上平移6个单位得到的 △A1B1C1; (2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2 C2,使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2 与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2 的坐标 B ·106 8.如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条 直角边OA、OB分别在x轴的负半轴，y轴的 负半轴上，且OA=2,OB=1,将Rt△AOB绕 点O按顺时针方向旋转90°，再把所得的图象 沿x轴正方向平移1个单位，得到△CDO. (1)写出点A,C的坐标； (2)求点A和点C之间的 距离。 O D 【能力提升】 9.(潍坊中考)如图，在直角坐标系中，等边三角形 ABC的顶点A的坐标为(O,4),点B,C均在x轴 上.将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到 △ABC',则点C的坐标为 10.如图，在平面直角坐标系中，第一次将 △OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1 变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成 △OA3B3,已知A(1,3),A1(2,3),A2(4,3), A3(8,3),B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3 (16,0). 观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变 换规律，第五次变换后得到的三角形顶点A的 坐标是 ,B的坐标是 【创新探究】 11.在平面直角坐标系中，O为原点，点A(2,0), 点B(0,2),把△ABO绕点B逆时针旋转，得 △A'BO',点A,O旋转后的对应点为A',O. 记旋转角为α. (1)如图①，当点O落在边AB上时，求点O 的坐标； ·107 第22章田形的相d (2)如图②，当α=60时，求AA的长及点A' 的坐标 A A 图① 图②指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 22.5图形与坐标 课后演练 课后演练 第1课时 用坐标确定位置 1.B2.B3.C4.42π5.(9,0)6.(3,4) 1.B2.B3.D4.305.486.16 基础导学 7.(1)图略 (2)图略，A2(一2，一2) 7.能，AB=100米8.树高为4.2m9.2.310.54 11.旗杆AB的高度约为8.4m12.旗杆的高度为16m 1.平面直角坐标系坐标 8.(1)A(-2,0),C(1,2):(2)13. 典例探究 23.2直角三角形的性质 9.(4,4-43、 3) 10.(32,3)(64,0) 【例1】点M的坐标为(-3,0)或（一3,2）. 典例探究 【变式训练1】C 11.(1)点0的坐标为(W2,2一√2)； 【例1】BC1=3.75(m).【变式训练2】2 【例2】学校所在的位置在点O的南偏西（或南偏东）60°的方 (2)AA'=2√2，点A'的坐标为(1+√3,1十√3). 【例2】(1)证明略(2)BD的长度为号 向，距离点O为4. 第22章 《图形的相似》专题复习 【变式训练2】23 【变式训练2】(5,30)(3,300) 【例1】S四边形ABCE=8: 课后演练 课后演练 1.B2.A3.C4.(3,30)5.5 【例2】建筑物的高度为104m 1A2C3.C4B5.10°6,47.号a8证明略 【例3】GH垂直平分EF,理由略 6.(7,0) 【例4】平行四边形OABC关于y轴对称的图形平行四边形 9D1043 11.证明略12.(1)AP的长为2(2)ED=3 7.(1)A(4,6),B(14,4),C(8,12),D(2,14)(2)E,(14,14) OA'B'C的四个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都互为 23.3锐角三角函数 8.(1)码头在操场的正西面，距操场3个单位长度，哨所在码 相反数；这两个平行四边形的对角线的交点坐标也如此 头的东北方向上，距码头4W2个单位长度， 第1课时锐角三角函数的认识 第22章 章未测试 典例探究 (2)操场(0,0)，雷达(3,2)，哨所(1,4)，码头（一3,0），营房 1.D2.B3.C4.C5.A6.C7.D8.C (0,-2),伙房(4，-1). 【例】÷smB=号，cosB=是， ,tanB=4 3-5 9.(5,0)10.(1,3)11.31.5 9.1cm 2 10.袋 11.2712.1213.6 【变式训练】sn∠BCD=snA-青，cos∠BCD=cos 第2课时 图形的变换与坐标 14.(2891,-√3)15.证明略 3 .4 基础导学 16.证明略 5 tanBCD=tanA= 3 1.(x,-y)(-x,-y) 17.图略.(1)横坐标不变，纵坐标减3.(2)纵坐标不变，横坐标 【例2】C【变式训练2】 12 2.(x,y十a)(x,y-a)(x十a,y）(x-a,y） 变为原来的相反数.(3)点A是线段B:A的中点，点C是 课后演练 典例探究 线段B3C3的中点. 【例1】三个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都减小了4 18)证明路2与△OBF相似的三角形有△BCR,1D2B3D4C556号1号 5 个单位长度 △BAF,理由略(3)DE=3十√19 【变式训练1】(1，一3) &.sin∠CBD=25 5 sim∠ABD=5 5 第23章 解直角三角形 【例2】梯形OABC关于y轴的轴对称图形各对应顶点的纵 9anB-是10.里 11.32 坐标都未改变，而横坐标都分别互为相反数， 23.1测量 基础导学 12.(1)BD·cos∠HBD=4.(2)AB的长是6. 【变式训练2】(-1,3) 1.成正比 第2课时特殊角的三角函数值 【例3】(1)△ABC各顶点的坐标为：A(0,2),B(一3,1)， 基础导学 C(-2,一1)，△DEF各顶点的坐标为：D(0,-2),E(6,0),F 典例探究 【例1】B'C'=16(m) 【变式训练1】4.8 (4,4).(2)图略，M(3,-1),N(2,1).(3)△ABC△DEF,且 199 2 12.-半3.sin(90°-a)se coSa 【例2】正确，理由略 相似比为7，所以SAc=4SAEr, 典例探究 【变式训练2】旗杆的高度为11.5米. 【变式训练3】（一2.一2） 【例3】C【变式训练1】33 【例】1285(3)号5(2 41 【变式训练1】1)6-3反(23(3)-号 【p】5.【变式训维2】贵【】AC=14 【变式训练3】△ABC的面积为23或号3. 课后演练 1.D2.B3.A4.C5.16.2或37.(1)90°(2)75 8.a2 (2原式=。当a=2n60+m45=5+1 时，原式= 3 9.∠A=30°10.2+√311.30°或150°或90°. 12.(1)BC=16-2√5(2)tanl5°=0.3 13.∠CAC+∠CAA'=30°. 第3课时用计算器求锐角三角函数值 典例探究 【例1】sin16°≈0.2756，cos42°≈0.7431，tan85°≈11.4301， sin72°3825"≈0.9545， 【变式训练1】A 【例2】.(1)∠A≈79.0°.(2)∠A≈30.6°.(3)∠A≈10.7°. 【变式训练2】B【例3】乙先到达B处 【变式训练3】工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m 的圆形门. 课后演练 1.C2.C3.A4.C5.56.90°2.25 8.(1)∠A≈66.42°(2)∠A≈86.82 (3)∠A≈17.99°(4)∠A≈67.99° 9.(1)开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米 (2)开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走27.2 千米 10.(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随 角度的增大而减小 (2)sin88>sin62>sin50°>sin34°>sinl8°； cos88°<cos62°<cos50°<c0s34°<cos18°. (3)= <> 11.(1)13650(平方米).(2)垂钩栈道AD的长约为106米. 42